2.2.2. Projiciranje točke

Neka su u prostoru dane dvije okomite ravnine \(\small \Pi_1\) i \(\small \Pi_2\) koje se sijeku po pravcu \(\small x\).
Ravnina \(\small \Pi_1\) je horizontalna i nazivamo je prvom ravninom projekcije ili ravninom tlocrta.
Ravnina \(\small \Pi_2\) je vertikalna i nazivamo je drugom ravninom projekcije ili ravninom nacrta.

Neka je \(\small T\) bilo koja točka prostora.
Ortogonalnu projekciju točke \(\small T\) na ravninu \(\small \Pi_1\) nazivamo prvom projekcijom ili tlocrtom točke \(\small T\) i označavamo \(\small T'_1\).
Ortogonalnu projekciju točke \(\small T\) na ravninu \(\small \Pi_2\) nazivamo drugom projekcijom ili nacrtom točke \(\small T\) i označavamo \(\small T''\).

Rotiramo ravninu \(\small\Pi_1\) oko presječnice \(\small x\) u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke sata za kut od \(\small 90^\circ\).
Pri toj se rotaciji točka \(\small T'_1\) preslikava u točku \(\small T'\) u ravnini \(\small \Pi_2\).
Točku \(\small T'\in \Pi_2\) također nazivamo prvom projekcijom ili tlocrtom točke \(\small T\).

Pridruživanje \(\small T \longrightarrow (T',T'')\) nazivamo Mongeovim projiciranjem ili dvocrtnom projekcijom.

Spojnica \(\small T'T''\subset\Pi_2\) okomita je na presječnicu \(\small x\) i nazivamo ju ordinalom točke \(\small T\).

Slika 70

Slika 71


U prostor uvodimo lijevi pravokutni (Kartezijev) koordinatni sustav tako da se os \(\small x\) podudara s presječnicom ravnina
\(\small \Pi_1\) i \(\small \Pi_2\). Sada je svaka točka prostora određena sa svoje tri koordinate \(\small T(x,y,z)\), za koje vrijedi \(\small d(T,\Pi_1) = |z|\) i \(\small d(T,\Pi_2) = |y|\).

Slika 72

Slika 73


Svaka od ravnina projekcije \(\small \Pi_1\) i \(\small \Pi_2\) dijeli prostor na dva poluprostora, a zajedno ga dijele na četiri kvadranta.

Poluprostore opisujemo izrazima gornji i donji (iznad i ispod \(\small \Pi_1\)), odnosno prednji i stražnji (ispred i iza \(\small \Pi_2\)).

Kvadrante opisujemo kombinacijom tih izraza: I (gornji prednji), II (gornji stražnji), III (donji stražnji), IV (donji prednji).

Položaj točke \(\small T\) u prostoru određen je njezinim koordinatama \(\small (x,y,z)\).
  • Ako je \(\small z = 0\), tada \(\small T\) leži u ravnini \(\small \Pi_1\) (\(\small T \in \Pi_1\)).
  • Ako je \(\small y = 0\), tada \(\small T\) leži u ravnini \(\small \Pi_2\) (\(\small T \in \Pi_2\)).
    Točka \(\small T(x,y,z)\) pripada određenom poluprostoru ili kvadrantu ovisno o predznaku njezinih \(\small y\) i \(\small z\) koordinata (vidi sliku 74 i tablice).

    Slika 74

    poluprostorz
    gornji+
    donji−


    poluprostory
    prednji+
    stražnji−


    kvadrantyz
    I++
    II−+
    III− −
    IV+−

    Pripadnost točke određenom kvadrantu može se u projekciji očitati iz položaja njezinog tlocrta i nacrta.
    Na slici 76 prikazani su tlocrti i nacrti točaka koje leže u različitim kvadrantima (\(\small A\in\mathrm I\), \(\small B\in\mathrm {II}\), \(\small C\in\mathrm {III}\), \(\small D\in\mathrm IV\)).

    Slika 75

    Slika 76

    Posebni položaji točaka

    Ako točka leži u nekoj od ravnina projekcije, podudarat će se sa svojom projekcijom na tu ravninu dok će joj projekcija na drugu ravninu ležati na osi \(\small x\).
    • \(\small T \in \Pi_1\), onda je \(\small T' = T\) i \(\small T''\in x\), odnosno nacrt joj leži na osi \(\small x\).

    • \(\small T \in \Pi_2\), onda je \(\small T'' = T\) i \(\small T' ∈ x\), odnosno tlocrt joj leži na osi \(\small x\).

    • \(\small T \in x\), onda se ona podudara sa svojim tlocrtom i nacrtom, odnosno \(\small T = T' = T''\).
    Na slici 78 prikazane su projekcije sljedećih točaka: \(\small A,B \in \Pi_1\), \(\small C,D \in \Pi_2\) i \(\small E \in x\).

    Slika 77

    Slika 78

    Postoje još dvije ravnine prostora za čije su točke njihove projekcije (tlocrt i nacrt) u posebnom položaju:
    • \(\small \Sigma\, -\) ravnina simetrije koja raspolavlja I. i III. kvadrant, a tlocrt i nacrt svake točke te ravnine simetrični su s obzirom na os \(\small x\).
    • \(\small \mathrm K\, -\) ravnina koincidencije koja raspolavlja II. i IV. kvadrant, a tlocrt i nacrt svake točke te ravnine se podudaraju.

    Na slici 80 prikazani su tlocrti i nacrti dviju točaka \(\small A,B \in\Sigma\).

    Slika 79

    Slika 80

    Na slici 82 prikazani su tlocrti i nacrti točaka \(\small A,B \in\mathrm K\).

    Slika 81

    Slika 82







    Sonja Gorjanc - GeomTeh3D - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu