2.2.4. Projiciranje dužine - prava veličina

  • Tlocrt i nacrt neke dužine \(\small\overline{AB}\), koja ne leži na zraci projiciranja, uvijek su neke dužine \(\small\overline{A'B'}\) i \(\small\overline{A''B''}\) (slika 100).
  • Ako je dužina \(\small\overline{AB}\) u općem položaju prema ravninama projekcije, obje će njezine projekcije biti kraće od nje,
    \(\small d(A,B)>d(A',B')\,\,\land \,\,d(A,B)>d(A'',B'')\).

    Ta činjenica slijedi izravno iz svojstava pravokutnih trapeza prikazanih na slici 101.

Slika 100
Slika 101

Određivanje duljine neke dužine \(\small\overline{AB}\) na temelju njezinih projekcija (\(\small\overline{A'B'}\),\(\small\overline{A''B''}\)) vrlo je važan metrički zadatak. Rješavamo ga na sljedeći način:
  • Pravokutni trapez \(\small ABB'A'\) rotiramo oko stranice \(\small \overline{A'B'}\), za kut od \(\small 90^\circ\), u ravninu \(\small \Pi_1\). Vidi sliku 102.
Pri toj se rotaciji točke \(\small A\) i \(\small B\) preslikavaju u točke \(\small A_\circ\) i \(\small B_\circ\), i vrijedi: \(\small d(A,B) = d(A_\circ,B_\circ)\). Budući da je jedna stranica tog trapeza tlocrt \(\small\overline{A'B'}\), a paralelne stranice koje su na nju okomite imaju duljine jednake apsolutnim vrijednostima \(\small z\)-koordinata točaka \(\small A\) i \(\small B\), taj se trapez vrlo jednostavno konstruira u tlocrtnoj ravnini. Vidi sliku 103.

Taj konstruktivni postupak nazivamo prevaljivanjem u ravninu \(\small \Pi_1\).

KONSTRUKCIJA
(Interaktivna slika 37)
Slika 102 Slika 103

Ukoliko su \(\small z\)-koordinate točaka \(\small A\) i \(\small B\) suprotnih predznaka, dužine čije su duljine jednake njihovim apsolutnim vrijednostima, nanosit ćemo prilikom prevaljivanja na suprotne strane okomica kroz \(\small A'\) i \(\small B'\) (slika 104). Stoga ćemo u prevaljenom položaju umjesto pravokutnog trapeza dobiti dva pravokutna trokuta (slika 105).

Slika 104 Slika 105

Prevaljivanje u ravninu \(\small \Pi_2\) je postupak koji je analogan onom pri prevaljivanju u \(\small \Pi_1\). Pritom ćemo pravokutni trapez \(\small ABB''A''\) rotirati oko pravca \(\small A''B''\), za kut od \(\small 90^\circ\) u ravninu \(\small \Pi_2\). Duljine paralelnih stranica pravokutnoga trapeza jednake su apsolutnim vrijednostima \(\small y\)-koordinata točaka \(\small A\) i \(\small B\), a rotirane položaje označavat ćemo \(\small A^\circ\) i \(\small B^\circ\). Vidi slike 106 i 107.
Isto kao i pri postupku prevaljivanja u \(\small \Pi_1\), ako su \(\small y\)-koordinate točaka \(\small A\) i \(\small B\) suprotnih predznaka, u rotiranom ćemo položaju umjesto pravokutnog trapeza konstruirati dva pravokutna trokuta.

KONSTRUKCIJA
(Interaktivna slika 38)
Slika 106 Slika 107


Slučajevi kada se dužina projicira u pravoj veličini
  • Pri ortogonalnom projiciranju, dužina se projicira u pravoj veličini ako i samo ako je paralelna s ravninom projekcije.



Slika 108: Dužine \(\small \overline{AB}\) i \(\small\overline{CD}\) paralelne su s \(\small \Pi_1\), u tlocrtu se projiciraju u pravoj veličini.

Slika 109: Dužine \(\small\overline{EF}\) i \(\small\overline{GH}\) paralelne su s \(\small \Pi_2\),
u nacrtu se projiciraju u pravoj veličini.

Slika 110: Dužina \(\small\overline{IJ}\) paralelna je s osi \(\small x\), projicira se u pravoj veličini u obje projekcije.



Sonja Gorjanc - GeomTeh3D - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu