5. FORMULA KONAČNIH PRIRASTA

Napomena
Lagrangeov teorem daje samo postojanje točke c ∈ I.
Točka c ovisi o zadanoj funkciji i izboru točaka a,b ∈ I.
Uvedemo oznaku  θ = (c - a)/(b - a), za c∈ (a, b) . Sada  c = a + θ (b - a),   θ∈ (0, 1) .

Lagrangeov teorem srednje vrijednosti ima oblik

f(b) - f(a) = f '(a+ θ (b-a)) (b-a),  θ∈(0,1).

Lagrangeov teorem srednje vrijednosti za interval
(x, x+△x) ⊆ I:

f(x+△x) - f(x) = f ' (x+ θ △x) △x, θ ∈ (0,1).

LAGRANGEOVA FORMULA KONAČNIH PRIRASTA Ako je △f = f (x + △x) - f (x) ... da vrijedi △f/△x = f ' (x + θ △x), θ∈ (0, 1) . 

Definicija 3. DIFERENCIJAL FUNKCIJE
Neka je f :I→R funkcija derivabilna u tocki x i neka je Δx prirast argumenta.
Diferncijal funkcije f u tocki x∈ I oznacava se df i definira se  df= f'(x) Δx.
Za funkciju f(x)=x  definiramo dx=Δx.
Zato, možemo pisati: df=f'(x) dx

Geometrijska interpretacija diferencijala- promjenu vrijednosti funkcije po tangenti
Ako △x=x-x_0           df(x)=f '(x_0) (x-x_0)

[Graphics:../HTMLFiles/lagrangeov5_58.gif]

LAGRANGEOVA FORMULA KONAČNIH PRIRASTA I DIFERENCIJAL △f = f ' (x + θ △x) △x, θ∈ (0, 1) ; df = f ' (x) △x ; df≈△f .

Primjena Lagrangeove formule konacnih prirasta i diferencijala
f (x_0+△x)≈f (x_0)+f '(x_0)△x

[Graphics:../HTMLFiles/lagrangeov5_68.gif]

Created by Mathematica  (November 27, 2003)