INTEGRALI

NEODREDENI INTEGRAL

Funkcija F(x) je primitivna funkcija zadane funkcije f(x) ako 
F'(x)=f(x).
Neodredjeni integral je skup svih primitivnih funkcija i oznacava se ∫f dx

Integrate[f,x]  naprdba za ∫f dx

Za racunanje primitivne funkcije i neodredenog integrala koristimo 
FILE->PALETTES->BASIC INPUTS \(TraditionalForm\`∫□ d□\)

Za upis elementarnih funkcija kao podintegralnih funkcija  koristimo 
FILE->PALETTES->BASIC CALCULATIONS->Trigonometric and Exponential Function

POTENCIJE

Integrate[x^ n, x]

∫(x^n) \[DifferentialD]x

Inttegrate[1/x, x]

∫(1/x) \[DifferentialD]x

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

∫Sin[x] \[DifferentialD]x

∫Cos[x] \[DifferentialD]x

∫Tan[x] \[DifferentialD]x

∫Cot[x] \[DifferentialD]x

∫(1/Cos)[x]^2 \[DifferentialD]x

∫(1/Sin)[x]^2 \[DifferentialD]x

EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE

∫(E^x) \[DifferentialD]x

∫(a^x) \[DifferentialD]x

∫x (E^x) \[DifferentialD]x

∫((E^(a x))/x) \[DifferentialD]x

∫(E^(-(x^2))) \[DifferentialD]x

HIPERBOLNE FUNKCIJE

∫Sinh[x] \[DifferentialD]x

∫Cosh[x] \[DifferentialD]x

∫Tanh[x] \[DifferentialD]x

∫Coth[x] \[DifferentialD]x

∫(1/Cosh)[x]^2 \[DifferentialD]x

∫(1/Sinh)[x]^2 \[DifferentialD]x

RACIONALNE FUNKCIJE

∫(1/((a^2) + (x^2))) \[DifferentialD]x

∫(1/((a^2) - (x^2))) \[DifferentialD]x

∫(1/((x^2) - (a^2))) \[DifferentialD]x

IRACIONALNE FUNKCIJE

∫(1/(Sqrt[(a^2) - (x^2)])) \[DifferentialD]x

∫(1/(Sqrt[(a^2) + (x^2)])) \[DifferentialD]x

∫(1/(Sqrt[(x^2) - (a^2)])) \[DifferentialD]x

∫(Sqrt[(a^2) - (x^2)]) \[DifferentialD]x

SLOZENIJE  FUNKCIJE

∫(1/((x^3) + 4  x)) \[DifferentialD]x

∫((1 + 
              Sin[x])/(Sin[
                x] (Cos[x] + 1))) \[DifferentialD]x

Integrate[1/(x^4 - a^4), x]

∫(1/Log)[x] \[DifferentialD]x

∫((x - 1)/Log)[x] \[DifferentialD]x

Integrate[Log[1 - x^2], x ]

∫(1/(Sqrt[1 - (k^2) Sin[x]^2])) \[DifferentialD]x

Integrate[Exp[1 - x^2], x]

Integrate[(1 - x^2)^n, x]

ODEDENI INTEGRAL

Newton-Leibnitzova formula
Ako je 
∫f(
              x) dx  = F(x) +  C

      
onda 
(∫_a^b) f(
              x) dx = F(b) - F(a)

Integrate[f, {x, xmin, xmax}] naredba za (∫_("\!\(\*StyleBox[\"\\\"xmin\\\"\", \"TI\"]\)")^("\!\(\*StyleBox[\"\\\"xmax\\\"\", \"TI\"]\)")) f dx.

Za racunanje odredjenog  integrala koristimo 
FILE->PALETTES->BASIC INPUTS \(TraditionalForm\`∫\_□\%□ □ d□\)

Za upis elementarnih funkcija kao podintegralnih funkcija  koristimo 
FILE->PALETTES->BASIC CALCULATIONS->Trigonometric and Exponential Function

Integrate[x^n, {x, a, b}]

(∫_a^b) (x^n) \[DifferentialD] x

Integrate[x^n, {x, 0, 1}]

(∫_0^1) (x^n) \[DifferentialD] x

Primjeri

(∫_0^a)(Sqrt[ (a^2) - (x^2)]) \[DifferentialD]x

(∫_0^1) 
        x (E^x) \[DifferentialD]x

(∫_0^1)(( x - 1)/Log)[x] \[DifferentialD]x

(∫_0^((1/2)))(E^(-(x^2))) \[DifferentialD]x

N[(∫_0^((1/2)))(E^(-(x^2))) \[DifferentialD]x]

NEPRAVI INTEGRAL

Neizmjerne granice

Nepravi integrali:
a) Integral s neizmjernim granicama 	\(TraditionalForm\`∫\_a\%∞ □ d□\)
					\(TraditionalForm\`∫\_\(-∞\)\%b □ d□\)
					\(TraditionalForm\`∫\_\(-∞\)\%∞ □ d□\)

a) (∫_a^∞) 
            f (x) dx = 
      (lim_(B -> ∞))(∫_a^B) 
            f (x) dx

     (∫_(-∞)^b) 
          f (x) dx = 
      (lim_(A -> -∞))(∫_A^b) 
            f (x) dx

\(\ \ \ \ \ ∫\_\(-∞\)\%∞ 
          f \((x)\) dx = \(lim\+\(\(A -> \(-∞\)\)\+\(B -> ∞\)\)\)\+\(A -> \(-∞\), 
B -> ∞\)∫\_A\%B 
            f \((x)\) dx\)

Ako limesi postoje nepravi integrali postoje ili konvergiraju.
 Ako limesi  ne postoje nepravi integrali ne postoje ili divergiraju.

(∫_1^∞) (1/x) \[DifferentialD]x

(∫_2^∞) (1/x) \[DifferentialD]x

(∫_(-∞)^∞) 
            (1/(1 + (x^2))) \[DifferentialD]x

Prekinute funkcije

Nepravi integral:
b) Integral prekinutih funkcija		 (∫_a^b) f dx, 
 gdje f ima prekid u c∈[a, b] ili (lim_(x -> c))f(x) = ∞;
 ili (lim_(x -> a))f(x) = ∞;
 ili (lim_(x -> b))f(x) = ∞

\(\(\(b\)\()\)\) \(∫\_a\%b f \((x)\) dx\) = 
      lim\+\(ϵ -> 0\)∫\_a\%\(c - ϵ\)f \((x)\) dx\  + \ 
        lim\+\(δ -> 0\)\( \(∫\_\(c + δ\)\%b 
                f \((x)\) dx\)\)\)
     (∫_a^b) f (x) dx = 
      (lim_(ϵ -> 0))(∫_(a + ϵ)^b) 
            f (x) dx 
\(\ \ \ \ \ ∫\_a\%b f \((x)\) dx = 
      lim\+\(ϵ -> 0\)∫\_a\%\(c - ϵ\)f \((x)\) dx
\)

Ako limesi postoje nepravi integrali postoje ili konvergiraju.
 Ako limesi  ne postoje nepravi integrali ne postoje ili divergiraju.

(∫_0^b) (1/(Sqrt[x])) \[DifferentialD]x

(∫_0^((π/2)))Tan[x] \[DifferentialD]x

\(∫\_\(-1\)\%8\( 1\/\@x\%3\) \[DifferentialD]x\)

(∫_(-1)^1) (1/x) \[DifferentialD]x

(∫_(-2)^2)(( 2 x)/((x^2) - 
              1)) \[DifferentialD]x