Mathematica

1. numericki i simbolicki kalkulator
2. graficki prikaz podataka i funkcija
3. programski jezik

Aktiviranje

Start->Programs->Mathematica 3.0 
File->Palettes->Basic Input
		->BAsic Calculations

Notebook

biljeznica koja se sastoji od celija koje se obradjuju 
Mathematicom

Celija

Osnovni element notebooka Mathematice  koji je karakteritiran sadrzajem i stilom i koji Mathematica moze izracunati.
Standardni stil je Input.
Celija se izracunava sa   Shift-Enter.
Stilovi se mijenjaju : Format->Style

Zagrade

(  ) prioritet operacija 
[    ] agrument funkcija 
{   } liste

Funkcije

ime funkcije VELIKO pocetno slovo.
BasicCalculation->Trigonometric and Exsponential function

1.Racunanje u R

\(\(+\ zbrajanje\)
 - \ 
      oduzimanje
*\ 
        mnozenje
/\ 
          dijeljenje\ ili\ Basic\ Input\ \(□\/□\)
^\ potenciranje\ ili\ Basic\ Input\ □\^\(\(□\)\(
\)\(
\)\(		\)\)\)

Primjer

\(\(17\ 5\ ^2\  + \ 15\ /\ 5
\)\)

\(\(17\ 5\^2\  + \ 15\/5
\)\)

Primjer

Sqrt[8]  +  32^(1/2)

Primjer

(Sqrt[8 ]) + (8^(1/3))

Priblizno racunanje

N[Sqrt[8]  +  32^(1/2)]

N[Sqrt[8]  +  32^(1/2), 8]

N[(Sqrt[5800]), 3]

2.Grafika

<< Graphics`Colors`

Plot[f (x), {x,  (Subscript[x, min]),  (Subscript[x, max])}, opcije]
PLot[f1 (x),  f2 (x), f3 (x), {x, xmin, xmax}]
ParametricPlot[x (t), y (t), {t, tmin, tmax}]
Plot3D[f (x, y), {x, xmax, xmin}, {y, ymin, ymax}]
\(opcije : 
PlotStyle -> {Black, Blue, \ Orange}\)
Axes -> True ili False
AspectRatio -> Automatic

Primjeri

\(Plot[{Sin[x], Sin[2  x], Sin[3  x]}, {x, 0, 2  π}, 
      PlotStyle -> {Black, Blue, \ Orange}, Axes -> True, 
      AspectRatio -> Automatic	, 
      Background -> RGBColor[1, 1, 0]]\)

\(\(
Plot[{x, x\^2}, {x, 0, 2}]\)\)

Plot3D[(x^(2 ))  + (y^2), {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

ParametricPlot[{Cos[t]^3, Sin[t]^3}, {t, 0, 2  π}]

ParametricPlot[{t - Sin[t], 1 - Cos[t]}, {t, 0, 4  π}]

\(\(<< Graphics`Shapes`
\)\)

Show[Graphics3D[ Cylinder[r,h,n ] ]]
Show[Graphics3D[ Cone[r,h,n ] ]]
Show[Graphics3D[ Sphere[r,n,m ] ]]
Show[Graphics3D[ Torus[ ] ]]

Primjeri

Show[Graphics3D[ Cylinder[2, 1, 10 ] ]]

\(\(Show[Graphics3D[\ Cone[2, 1, 100\ ]\ ]]
\)\)

3.Racunanje s polinomima

Zbrajanje  polinoma

(x^2) +  x  -  4 (x^2)

Plot[x - 3  (x^2), {x, -10, 10},  PlotStyle -> {Blue}]

Mnozenje polinoma

((x^(2 )) +  3  x) (x - 6)

Algebra ->Polynomial manipulation->Expand

Expand[((x^(2 )) +  3  x) (x - 6)]

Factor[%]

Factor[%19]

Factor[(x^(5 )) + 1]

4. Izracunavanje (supstitucija) izraza

\(\(\(\(\(Treba\ odrediti\ vrijednost\ matematickog\ izraza\ za\ zadanu\ vrijednost\ varijable\  . 
a\)\()\)\)	lokalne\ varijable\ 

        izraz\  /. \ x -> x\_0

        b\)\()\)\)\ globalne\ varijable\ \)
x = 3
izraz (x)

Primjeri

(x^(4 )) -  5 (x^(3 )) +  2 x  +  1  /.  x -> 0.2

(x^(4 )) -  5 (x^(3 )) +  2 x  +  1  /.  x -> 11

Sin[x]  /.  x -> (π/3)

Sin[x]  /.  x -> N[(π/3)]

((x^2) - 2) ((y^2)  - 2)  /.  {x -> 2, y -> 3}

x = 3

(x^2) - 1

x = a + 1

(x^2) - 1

\(\(x =. \)

?x\)

Limesi

Limit[f(x),x->c]
ili
BasicCalculation->Calculus->Limit[f(x),x->c]

Primjeri

Limit[Sin[x]/x, x -> 0]

Limit[Exp[x], x -> -∞]

Sume i Redovi

\(
Sum[a \((i)\), {i, imin, imax}]\)
ili BasicInput (∑_(i = 1)^n) a (i)
Series[
        f (x), {x,  x0,  n}] Taylorov  red za funkciju 
f (x) oko tocke a sa n clanova 
ili 
BasicCalculation -> Calculus -> 
        Series[ f (x), {x var,  tocka,  n clanova}]

Primjeri

1. a)Nadji  s(n) sumu prvih n clanova niza a(k)=1/[k(k+1)]
   b) Nadji limes  niza parcijalnih suma s(n)

\(\(
s[n] = ∑\+\(k = 1\)\%n 1\/\(k \((k + 1)\)\)\)\)

\(\(Limit[s[n], n -> ∞]
\)\)

\(\(\(2.\)\(\ \)\(Izracunaj\)\(\ \)\(sumu\)\(\ \)\(reda\)\(\ \)\(∑\+\(n = 1\)\%∞ 1\/\(n \((n + 1)\)\)\)\(
\)\)\)

\(\(∑\+\(n = 1\)\%∞ 1\/\(n \((n + 1)\)\)
\)\)

3. Razvij funkciju f(x) = x^2 u Taylorov red oko tocke 1 do 4-tog clana.

Series[(x^2), {x,  1,  3}]

4. Razvij funkciju F(x) = e^x u okolini tocke 0 do  4-tog clana.

Series[Exp[x], {x,  0,  3}]

5. Simbolicko racunaje

Deriviranje

D[f, 
        x]  racuna  prvu derivaciju funkcije (f' (x))
D[f, {x, 
          2}] racuna drugu derivaciju funkcije (f'' (x))
ili pomocu BasicInputa (∂_x) 
        f    (∂_(x, x))f

Primjeri

D[(x^(3 )) +  2 (x^2),  x]

D[(x^(3 )) +  2 (x^2), { x, 2}]

(∂_x) ((x^(3 )) +  2 (x^2))

(∂_(x, x)) ((x^(3 )) +  2 (x^2))

D[(x^x), x]

Integriranje

Integrate[f, x]      Neodredjeni integral 
Integrate[f, {x, a , b }]  Odredjeni integral 
ili 
\(∫f \((x)\) dx\ \ \ , \ \ ∫\_\(\_a\)\%b f \((x)\) dx\)

Primjeri

Integrate[(x/((x^2) + 1)), x]

\(\(
∫\(x\/\(x\^2 + 1\)\) \[DifferentialD]x\)\)

Funkcija logaritam 
Log[x] = lnx
Log[10, x]  =  log x
Log[a, x] =  (Subscript[log, a]) x

\(\(
Integrate[x\/\(x\^2 + 1\), {x, 0, 2}]\)\)

(∫_0^2) (x/((x^2) + 1)) \[DifferentialD]x

\(\(∫\_2\%3 Sin[2  x] \[DifferentialD]x
\)\)

N[%]

\(\(
∫\(\(5  x - 8\)\/\(x\^3 - 4  x\^\(2\ \) + 4  x\)\) 
        \[DifferentialD]x\)\)

\(\(∂\_x\ 
      \((\(-\(1\/\(\(-2\) + x\)\)\) + 2\ Log[\(-2\) + x] - 2\ Log[x])\)

    \)\)

\(1\/\((\(-2\) + x)\)\^2 + 2\/\(\(-2\) + x\) - 2\/\(x
	\)\)

Simplify[%]

Integrate[
        f, {x, a, b}, {y, c, d}]    Dvostruki integrali 
ili 
(∫_a^b)(∫_c^d) 
          f (x) dy dx

Primjeri

(∫_0^1)
        (∫_((x^2))^x)((x^(2 ))  + (y^2)) \[DifferentialD]y 
          \[DifferentialD]x

NIntegrate[f,{x,a,b}]      Numericko integriranje

NIntegrate[Exp[(x^2)], {x, 1, 2}]

Rjesavanje jednadzbi

Linearne i jed. do 5. stupnja

Solve[l==d,x] 
NSolve[l==d,x]

ili 
BasicCalculation  Algebra->SolvingEquations.

Primjer

\(\(
Solve[3  x + 9 == \(-4\) x + 6, x]\)\)

\(\(
NSolve[x\^3 + 1 == 0, x]\)\)

\(\(Solve[\(-3\) + 20\ x - 35\ x\^2 + 10\ x\^3 + 8\ x\^4 == 0, x]
\)\)

Algebarske i transcendentne

FindRoot[jed, {x, (Subscript[x, 0])}] 
ili 
BasicCalculation -> Calculus -> 
        Numeric Root Finding

Primjeri

\(\(
Plot[{Exp[x], x\^2}, {x, \(-1\), 1}]\)\)

\(\(FindRoot[Exp[x] == x\^2, {x, \(-0.5\)}]
\)\)

Plot[{1 - Sin[x],  x Cos[x]}, {x, -5, 5}]

\(\(
Plot[Sin[x]\  + \ x\ Cos[x] - 1, {x, \(-5\), 5}]\)\)

\(\(
FindRoot[Sin[x]\  + \ x\ Cos[x] == 1, \ {x, \ 0}]\)\)

\(\(
FindRoot[Sin[x]\  + \ x\ Cos[x] == 1, \ {x, \ 2}]
\)\)

\(\(Plot[{\@\(1 - x\^2\), x\ Exp[x], \(-\@\(1 - x\^2\)\)}, {x, \(-1\), 1}]
      
\)\)

FindRoot[{(x^2) + (y^2) == 1, y == x Exp[x]}, {x, .1}, {y, .5}]

FindRoot[{(x^2) + (y^2) == 1, y == x Exp[x]}, {x, -0.9}, {y, 
        -.5}]

Diferencijalne jednadzbe

DSlove[jed,y[x],x]
DSolve[{jed,poc uvjet}, y[x],x]
NDSolve[{jed,poc uvjet},y[x],{x,xmin,xmax}]

ili
BasicCalculation->Calculus->DifferentialEquations

Primjeri

1.a) Rijesi dif. jedn. y'x + y =0
  b) Rijesi Cauchy problem
      y' x + y= 0, y(1)=1

\(\(DSolve[\(y'\)[x]\ x\  + y[x]\  == \ 0, \ y[x], \ x]
\)\)

DSolve[{y'[x] x  + y[x] == 0, y[1] == 1}, y[x], x]

2. Rijesi dif. jed. y''-2y'+y =x+1

\(\(
DSolve[\(\(y'\)'\)[x] - 2 \( y'\)[x] + y[x]\  == \ x + 1, \ 
      y[x], \ x]\)\)

3. Rijesite dif. jed. y'' + y = 1/ cosx

DSolve[y''[x] + y[x]  ==  (1/Cos)[x],  y[x],  x]

4. Numericki rijesite dif .jed. y'=y  uz pocetni uvjet y(0)=1 na intervalu [0,1].

NDSolve[{y'[x] == y[x], y[0] == 1}, y[x], {x, 0, 1}]

\(\(Plot[Evaluate[y[x] /. \ %132], {x, 0, 1}]
\)\)

6.Liste

BAsicCalculation->Lists and Matrices

{a ,b,c } niz elemenata u { } zagradi
{a,b,c}[[n]]       n-ti clan liste

{ , , }.{ , , }     skalarni produkt vektora

Primjeri

{2, 3, 4}

v = {2, 3, 4}

v^2

{5, 8, 6, 9}[[2]]

\(\({5, 8, 6, 9}[\([{2}]\)]
\)\)

\(\(
v = Table[x, {x, 1, 4}]\)\)

\(\(
v = Table[x, {x, 1, 4, 2}]\)\)

Table[x, {x, 1, 4}, {y, 1, 3}]

1. Nadjite skalrni produkt vektora v ={2,3,4} i  c={3,6,1}

v = {2, 3, 4}

c = {3, 6, 1}

v.c

2. Nadjite vektorski produkt vektora v i c

Cross[v, c]

Matrice

\(lista\ sastavljena\ od\ lista\ jednake\ duljine . 
		BasicCalculation -> Lists\ and\ Matrices\)
Formiranje tablice    BasicInput (({{□, □}, {□, □}}))
Ctrl Enter dodavanje novog retka
\(Ctrl\ zarez\ dodavanje\ novog\ stupca\)

Primjeri

m = {{3, 2}, {-1, 3}}

MatrixForm[m]

m=(({{3, 2}, {-1, 3}}))

3. Mnozenje matrice i vektora

v = {2, 4}

m.v

v=(({{2}, {4}}))

m.v

4.Nadjite determinanatu matrice m

Det[m]

5. Nadjite inverznu matricu matrice m

Inverse[m]

Rjesavanje sustava linearnih jednadzbi

NSolve[{■==□,□==□},{□,□}]
 ili
LinearSolve[matrica sustava, vekt desne strane]

Primjer

Rijesite sustav linearnih jed.
		3x+2y=0
                        -x+3y=1

m=(({{3, 2}, {-1, 3}}))

b=(({{0}, {1}}))

LinearSolve[m, b]

\(\(
N[%]\)\)

\(\(
NSolve[{3  x + 2  y == 0, \(-x\) + 3  y == 1}, {x, y}]\)\)

7.Programiranje

1.Definiranje funkcija  f[x_]:= izraz
2.Brisanje funkcije     Clear[f]

ili

f(#)& 
#  (slot)je  prvi argument funkcije

#n  je n-ti argument funkcije

\(
\)

3.Uzastopna primjena funkcije f (ugnjezdenje) n puta naargument x

Nest[f,x,n]
NestList[f, x, n]

4.Uzastopna primjena funkcije f (ugnjezdenje) sve dok rezultat ne postane nepromijenjen

FixedPointList[f, x]

5.Primjena funkcije na listu argumenata
Apply[f, {a, b, c}]

6. Primjena funkcije na svaki elemenat liste
Map[f, {a, b, c}] ili  f/@  
{f[a], f[b], f[c]}
	ali
Map[f, a+b+c] daje f[a]+f[b]+f[c]

7.Generiranje liste duljine n oblika {f[1],f[2],..}

Array[f, n]

8.Selektiranje elemenata liste pomocu funkcije kriterija
Select[lista, f]

9.Funkcije kao PROCEDURE
Module[{u},izraz]     (  u je lok var za izraz)

10.Operacije ponavljanja:
		Table[ izraz(i),{i,i min,i max,korak}]

Do[izraz(i),{i,imax}]

1.Definiranje funkcija  f[x_]:= izraz
2.Brisanje funkcije     Clear[f]
ili
f(#)& 
#  (slot)je  prvi argument funkcije
#n  je n-ti argument funkcije

Primjeri

f[x_] := (x^2)

f[4]

f[a + 1]

?f

Clear[f]

?f

Global`f

(f[#] &)[x]

f[x, x]

(#^2 &)[5]

25

(#^2 &)[{2, 9, 13}]

{4, 81, 169}

pf[f_, x_] := f[x] + f[1 - x]

pf[Log, q]

Clear[pf]

3.Uzastopna primjena funkcije f (ugnjezdenje) n puta naargument x

Nest[f,x,n]
NestList[f, x, n]

Nest[f,x,4]

\(\(\(
\)\(f[x_] := \@x\)\)\)

Nest[f, x, 3]

Clear[f]

4.Uzastopna primjena funkcije f (ugnjezdenje) sve dok rezultat ne postane nepromijenjen

FixedPointList[f, x]

\(\(
FixedPointList[newton3, \ 1.0]\)\)

5.Primjena funkcije na listu argumenata
Apply[f, {a, b, c}]

6. Primjena funkcije na svaki elemenat liste
Map[f, {a, b, c}] ili  f/@  
{f[a], f[b], f[c]}
	ali
Map[f, a+b+c] daje f[a]+f[b]+f[c]
7.Generiranje liste duljine n oblika {f[1],f[2],..}
	Array[f, n]

Apply[Plus,  {a,  b,  c}]

Map[h,  {a,  b,  c}]

kvadr[x_] := x^2

\(\(
Map[kvadr, {2, 7, 13}]\)\)

\(\(
kvadr/@{2, 7, 13}\)\)

\(\(
kvadr/@{a, b, c}\)\)

\(\(
kvadr/@{a + b + c}\)\)

\(\(
Clear[kvadr]\)\)

Map[ Function[x,  x^2],  a  +  b  +  c ]

Array[p,  5]

10.Operacije ponavljanja:
		Table[ izraz(i),{i,i min,i max,korak}]

Table[p[i],  {i,  5}]

8.Selektiranje elemenata liste pomocu funkcije kriterija
Select[lista, f]

Select[{2,  15,  1,  a,  16,  17},  #  >  4 &]

t = (x + 2)^2

T = Expand[t]

\(\(Coefficient[T, x\^2]
\)\)

\(\(
Select[T, \ FreeQ[#, x]&]\)\)

\(\(
Select[T, \ MemberQ[#, x]&]\)\)

1. Napisat proceduru za racunanje koficijenta uz i-tu potenciju  izraza t =(2+x)^n.
a) Izracunati koeficijent uz 2-tu potenciju izraza t=(2+x)^2
b) Izracunati koeficijent uz 5-tu potenciju izraza t=(2+x)^13

9.Funkcije kao PROCEDURE
Module[{u},izraz]     (  u je lok var za izraz)

bp[n_] := Expand[(((x + 2))^n)]

cbp[n_, i_] := Module[{u}, u = bp[n];  Coefficient[u, (x^i)]]

cbp[2, 2]

cbp[13, 5]

2.Formirati tablicu od prvih 5 faktorijela .

10.Operacije ponavljanja:
		Table[ izraz(i),{i,i min,i max,korak}]	
			Do[izraz(i),{i,imax}]

Table[i!, {i, 5}]

\(\(
p[i_] := \(i!\)\)\)

Array[p,  5]

\(\(
Do[Print[\(i!\)], {i, 5}]\)\)

3. Nadjite sumu prvih 1000 prirodnih brojeva

s = 0

Do[s += i, {i, 1000}]

s

4. Nadjite prvih pet uzastopnih itercija za 3^{1/2} Newton aproksimacija polazeci od tocke x=1.

\(\(
newton3[x_] := \ N[1/2 \((x + 3/x)\)]\)\)

NestList[newton3,  1.0,  5]

8.Vektorska analiza

\(\(
<< Calculus`VectorAnalysis`\)\)

SetCoordinates[Spherical[r, Ttheta,  phi]]

CoordinatesFromCartesian[{x, y, z},
  Cylindrical]

SetCoordinates[Cartesian[x,  y,  z]]

Grad[x^2 + y^2 + z^2]

\(\(Grad[x^2 + y^2 + z^2, \ Cartesian[x, \ y, \ z]]
\)\)

\(\(
SetCoordinates[Spherical[r, Ttheta, \ phi]]\)\)

\(\(Grad[r^2]
\)\)

CoordinatesToCartesian[{r, Ttheta, phi},
  Spherical]

CoordinatesFromCartesian[{x, y, z},
  Spherical]

CoordinatesToCartesian[{r, pfi, z},
  Cylindrical]

CoordinatesFromCartesian[{x, y, z},
  Cylindrical]

\(\(f = \ {x + 3  y, \ y - 2  z, \ x + z}
\)\)

Div[f, Cartesian[x, y, z]]

SetCoordinates[Cartesian[x,  y,  z]]

\(\(
f = {\ x, \ y, \ z}\)\)

\(\(
Curl[f]\)\)

\(\(f = \ {x + 3  y, \ y - 2  z, \ x + z}
\)\)

\(\(
Curl[f]\)\)

DotProduct[{x1,  y1,  z1},  {x2, y2, z2}]

CrossProduct[{x1,  y1,  z1},  {x2,  y2,  z2}]

DotProduct[{2,  4,  0},  {1, 1, 1}]

\(\(
CrossProduct[{2, \ 4, \ 0}, \ {1, 1, 1}]\)\)