MATHEMATICA u nastavi matemati
ke analize
Application of MATHEMATICA in the Teaching of Mathematical Analysis
  

Vera
uljak
Zavod za matematiku
Graðevinski fakultet Sveu
ilišta u Zagrebu,
Ka
i
eva 26,10000 Zagreb, Hrvatska
e-mail vera@master.grad.hr

Saòžetak
Inteligentni tutorski sustavi su  realnost u suvremenom obrazovanju. Mathematica 4.0 je idealan programski paket za razvoj inteligentnog tutorskog sustava za nastavu matemati
ke analize. U realnosti našeg sveu
ilišnog studija (Graðevinski fakultet) dva faktora onemogu
uju interaktivni rad: brojnost studenata na prvoj godini studija (100 u grupi) i mali broj sati predviðen nastavnim planom i programom. Uz minimalnu trehni
ku podršku:
ra
unalo + videotop + MATHEMATICA  4.0
pokušala sam poboljšati kvalitetu predavanja novim metodi
kim pristupom nastavnim jedinicama. Naglasak je na prezentiranju teorije (definicije, teoremi) geometrijskim ilustracijama, animacijama i aktivnim dokazima.
U primjeru je dana jedna kompletna nastavna jedinica 'Lagrangeov teorem srednje vrijednosti' koja je napravljena kao jedna biljeòžnica (Mathematica notebook).
Prednost ovakvog nastavnog sata u odnosu na klasi
ni sat je višestruka. Nastavnikove pripreme su temeljitije, fokusirane na sistenmatizaciju i vizualizaciju gradiva, a realiziraju se jednostavno kao
Mathematica notebook. Klasi
ni student, sluša
-brzi prepisiva
sada postaje aktivni sudionik nastave. Cjelokupno gradivo dostupno mu je na disketi i ra
unalu u kompjuterskoj u
ionici.
Abstract
Iintelligent tutorial systems are the reality in the contemporary education. Mathematica 4.0 is an ideal program package for the development of an intelligent tutorial system for the teachnig of mathematical analysis. In the reality of our university studies, two factors make the interactive work impossible: the number of students in the first year of studies (100  in one group) and a small number of hours within the regular curriculum.
With the minimal technical equipment: computer+videotop+MATHEMATICA  4.0, I tried to improve the quality of lectures with the new methodic approach to the teaching units. The stress is on the presentation of theory (definitions, theorems) with geometric illustrations, animations and active proofs.
One complete teaching unit, "Lagrange's theorem of the middle value", was presented in form of a notebook .
The advantage of such lessons as compared to a classic one is a significant one. The teacher gets the chance to prepare himself thoroughly for the lecture, he is focused on the systematization and visualization of the subject matter and all this is being realised simply in form of a Mathematics notebook. A classical student,  a quick listener and a quick copier now becomes an active participator in the lecture. The whole subject matter is available on a disc and on a computer in a computer room.

Klju
ne rije
i: MATHEMATICA4.0, metodika nastave matematike, inteligentni tutorski sustavi.
Keywords: MATHEMATICA 4.0,  methods for the teaching of mathematical analysis, intelligent tutorial systems   .

O metodici nastave matemati
ke analize

Interaktivni tutorski sistemi su realnost u suvremenom obrazovanju. Na web stranicama Wolfram Research-a nastavnici mogu dobiti Mathematica notebooks, biljeòžnice koje se mogu koristiti u interaktivnim vjeòžbama u kompjutorskim u
ionicama. Saznali smo da je u Danskoj pokrenut projekt umreòžavanja škola kaje
e se koristiti Web Mathematica- om.  
U realnosti našeg sveu
ilišnog studija (Graðevinski fakultet) dva faktora onemogu
uju interaktivni rad za predmete matemati
ka analiza I i II: brojnost studenata na prvoj godini studija (100 u grupi)  i prostorno-organizacijski  problemi (dislokacija studenata prve godine od mati
nog fakulteta i postoje
ih kompjutorskih u
ionica). Na po
etku predava
ke prakse  bila sam zate
ena tim problemima u nastojanju da napravim pomak od klasi
nog predavanja. Nova generacija studenata, koja je prva slova nau
ila igraju
i se na ra
unalu, klasi
ni pristup predavanjima 'kreda i plo
a' bojkotiraju. 'òŽiva rije
' predava
a nije im dovoljan izazov jer na web stranici imaju tekstualnu skriptu. Naòžalost, ve
ina studenata opseòžno gradivo izloòženo u skripti nije sposobna sama razumjeti i usvojiti - nedostaje 'òživa kompjutorska rije
' - 'interaktivna tutorska skripta'.
Novi projekt: Nastava matemati
ke analize na sveu
ilišnom studiju tehni
kog usmjerenja
Cilj novog projekta je priprema predavanja koje
e omogu
iti studentima tehni
kog usmjerenja da prihvate i razumiju osnove matemati
ke analize. Student bi trebao razviti sposobnost da realne tehni
ke probleme pokuša  izraziti jezikom matemati
ke analize, prepozna alate matemati
ke analize,  riješi  matemati
ki zadatak i  na osnovu usvojene teorije obrazloòži rješenje problema.
Razvijanje sposobnosti za rješavanje problema je najteòži zahtjev koji bi nastavnik trebao ispuniti svojim predavanjima. Ona moraju uklju
iti studenta, njegov interes i kreativnu energiju.
Kako posti
i te ciljeve?
Mathematica 4.0 se pojavljuje kao savršeno okruòženje, dok  razli
ite nastavne metode trebaju potaknuti studenta da se aktivno uklju
i u proces u
enja i sam otkriva matemati
ke
injenice. Razli
itost metoda postigla bi se:
1. demostracijskim teorijskim predavanjima (velike grupe),
2. klasi
nim auditornim vjeòžbama,
3. problemskim vjeòžbama u kompjuterskoj u
ionici (male grupe).    

1. Pojedine nastavne jedinice (60 za dva semestra) treba pripemiti kao Mathematica notebook, biljeòžnice koje
e se mo
i primjeniti i u trenutnim klasi
nim uvjetima standardne u
ionice uz minimalne tehni
ke uvjete:
jedno ra
unalo + videotop + MATHEMATICA 4.0 .
Nastavnikove pripreme su temeljitije, fokusirane na sistenmatizaciju i vizualizaciju gradiva, a realiziraju se jednostavno kao Mathematica notebook. Naglasak je na prezentiranju teorije (definicije, teoremi) geometrijskim ilustracijama, animacijama i aktivnim dokazima.
Klasi
ni student, sluša
-brzi prepisiva
sada postaje aktivni sudionik nastave.
Na web stranicama studenti bi uz standardne skripte mogli pristupiti i Mathematica biljeòžnicama. U slu
aju idealnih uvjeta (kompjutorskih u
ionica)  te biljeòžnice bi se mogle dopuniti 'dijalozima' i koristiti  uz Web Mathematica-u.
2. i 3. Klasi
ni sat vjeòžbi  trebalo bi dopuniti s jednim satom u kompjutorskoj u
ionici s pripremljenom Mathematica biljeòžnicom realnih primjera koja bi bila dostupna i na web stranicama. Na kraju jedne tematske cjeline, u sklopu interaktivne biljeòžnice trebao bi se nalaziti i jedan problemski zadatak (primjenjeni zadatak) koji bi angaòžirao cijelu grupu studenata  za timski, istraòživa
ki rad.
Budu
i da je cilj matematika a sredstvo Mathematica 4.0, u sklopu vjeòžbi  predmeta Ra
unala (koji bi trebao biti uveden u prvi, a ne, kao sada, u  
etvrti semestar)  studenti bi se upoznali s alatima i mogu
nostima Mathematica-e:  simboli
ko ra
unanje, aproksimacijske procedure, grafi
ki 2D i 3D prikazi i analize, manipulacije s podacima, dodatni paketi za pojedina matemati
ka podru
ja.
O trenutnom stanju projekta:
Realizirano je par  demonstracijskih predavanja-notebook-a (problem su i minimalni tehni
ki uvjeti) i 5 interaktivnih vjeòžbi - u kompjutorskoj u
ionici .

Biljeòžnica 'Lagrangeov teorem srednje vrijednosti'

Lagrangeov teorem srednje vrijednosti  i Taylorov teorem srednje vrijednosti su centralni teoremi diferencijalnog ra
una i njihovo usvajanje je neophodno za razumijevanje osnovnih tehnika za isptivanje toka funkcija i aproksimacja funkcije.
Nastavna jedinica 'Lagrangeov teorem srednje vrijednosti'  je pogodna za novi metodi
ki pristup. Nastavnikove pripreme (Mathematica  4.0) omogu
ile su da se teorijsko gradivo izraòženo jezikom definicija, lema, teorema i posljedica,  vizualizira i tako pribliòži studentu.
Radna biljeòžnica (Mathematica notebook) 'Lagrangeov teorem srednje vrijednosti'  nalazi se na web stranici Graðevinskog fakulteta:
www.master.grad.hr/nastava/matematika

O sadròžaju biljeòžnice:

U prvom dijelu biljeòžnice studenti se upoznaju sa geometrijskom interpretacijom Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti i definicijom eksterma funkcije.

LAGRANGEOV TEOREM SREDNJE VRIJEDNOSTI

LAGRANGEOV TEOREM SREDNJE VRIJEDNOSTI
GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA

Na "glatkoj" krivulji  postoji tangenta koja je usporedna s danom sekantom.

Korak 1.

Korak 2.

Slika  1. Animacija Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti

Dokaz - Fermatova lema i Rolleov teorem

Posljedice - ispitivanje monotonosti funkcije i njenih  lokalnih ekstrema

Slika  2. Animacija definicje stogog lokalnog maksimuma

U drugom dijelu dana je geometrijska interpretacija Fermatove leme i na primjeru funkcije f(x) =x^3 ispituju  se nuòžni i dovoljni uvjeti za postojanje lokalnog eksterma. Uveden je pojam stacionarne to
ke.
U tre
em poglavlju obraðuje se Rooleov teorem i upozorava na vaòžnost ispitivanja pretpostavki teorema za njegovu primjenu, npr. za funkcije koje imaju šiljak.

etvrto poglavlje daje preciznu formulaciju Lagrangeovog teorema i ukazuje vaòžnost Fermatove leme i Rooleovog teorema za njegov dokaz. Naglašava se da je Rooleov teorem specijalan slua
aj Lagrangeovog teorema za to
ke sekante A(a,0) i B(b,0).  
U petom poglavlju je izloòže Lagrangeova formula kona
nih prirasta koja se moòže demonstrirati u primjerima za interaktivne vjeòžbe u kompjutorskoj u
ionici.

Šesto poglavlje ilustrira teoreme koji govore o vezi derivacije i monotonosti funkcije.   

VEZA ZNAKA DERIVACIJE I MONOTONOSTI FUNKCIJE

Korak 1.

Korak 2.  

Korak 3.

Slika  3. Animacija za ilustraciju ovisnosti  derivacije i monotonosti funkcije

Sve animacije koriste grafi
ki paket

Animacija (Slika 1.) je ostvarena sljede
im kodom:

Animacija  (Slika 2.) je ostvarena sljede
im kodom:

Animacija (Slika 3.) je ostvarena sljede
im kodom:

     1. S.Wolfram,TheMathematicabook,Fourth Edition,Cambridge University Press (on line).
     2. S.Kurepa,Matematii
ka analiza.Drugi dio.Funkcije jedne varijable,Tehnii
ka knjiga Zagreb, 1971.