3.3.6. Prodori sa sferom

Kako svaka ravnina prostora siječe sferu po kružnici, kod konstrukcije prodorne krivulje sfere i bilo koje druge plohe, sustav ravnina određivat ćemo onako kako nam je najpovoljnije za drugu plohu u prodoru. Kod prodora sfere s rotacijskim plohama često odabiremo paralelni sistem kružnih presjeka rotacijske plohe.

Prodor dviju sfera

Svaka sfera prolazi jednom imaginarnom konikom beskonačno daleke ravnine koju nazivamo apsolutnom konikom prostora.

Stoga se prodorna krivulja dviju sfera uvijek raspada na dvije krivulje 2. reda - na apsolutnu koniku i još jednu kružnicu.

Dakle, ako se dvije sfere realno sijeku, onda je njihov presjek uvijek kružnica. Ravnina prodorne kružnice okomita je na spojnicu središta sfera, a središte prodorne kružnice leži na toj spojnici (vidi sliku 1).
Slika 1: Prodor dviju sfera - kružnica

Prodor sfere i valjka

Prodorna krivulja sfere i valjka je prostorna krivulja 4. reda. Ako je prava, može biti jednodijelna (nepotpun prodor ili zador), dvodijelna (potpuni prodor) ili s dvostrukom točkom (sfera i valjak imaju jednu zajedničku dirnu ravninu). Vidi slike 2, 3 i 4.


Slika 2: Jednodijelna krivulja - zador Slika 3: Dvodijelna krivulja - potpuni prodor Slika 4: Prodor s dvostrukom točkom

Kako na sferi nema pravaca, njena se prodorna krivulja s plohom 2. reda može raspasti jedino na dvije kružnice. Te se kružnice mogu sjeći u dvije točke, biti paralelne ili se podudarati. Do raspada na dvije kružnice koje se sijeku može doći jedino u slučaju prodora sfere i eliptičkog valja, jer na paraboličkom i hiperboličkom valjku nema kružnica (vidi sliku 5).
Ako središte sfere leži na osi rotacijskog valjka, njihova se prodorna krivulja raspada na dvije paralelne kružnice (vidi sliku 6). Ako je polumjer takve sfere jednak polumjeru baze rotacijskog valjka, te se dvije kružnice podudaraju, a valjak i sfera se duž te kružnice dodiruju (u svakoj njezinoj točki imaju istu tangencijalnu ravninu), vidi sliku 7.

Slika 5: Raspad na dvije kružnice Slika 6: Raspad na dvije paralelne kružnice Slika 7: Dodir duž kružnice

Prodor sfere i stošca

Prodorna krivulja sfere i stošca je prostorna krivulja 4. reda. Ako je krivulja prava, može biti jednodijelna, dvodijelna ili krivulja s dvostrukom točkom. Dvostruka točka prodorne krivulje nastaje u slučajevima kad plohe u nekoj svojoj regularnoj točki imaju zajedničku dirnu ravninu ili ako sfera prolazi vrhom stošca. Vidi slike 8, 9, 10 i 11.


Slika 8: Zador Slika 9: Potpuni prodor Slika 10: Dvostruka točka Slika 11: Dvostruka točka

Prodorna krivulja sfere i stošca može se raspasti samo na dvije kružnice koje se mogu sjeći u dvije točke (samo u slučajevima kad stožac nije rotacijski), biti paralelne ili se podudarati. Posljednja dva slučaja raspada javljaju se kod prodora rotacijskog stošca sa sferom koja ima središte na njegovoj osi. Vidi slike 12, 13 i 14.

Slika 12: Raspad na dvije kružnice Slika 13: Raspad na dvije paralelne kružnice Slika 14: Dodir duž kružnice



Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu