Zasnovati neku geometriju znači na skupove osnovnih elemenata i relacija među njima (koji se ne definiraju, ali su intuitivno jasni) primijeniti sustav aksioma (tvrdnji koje se ne dokazuju, ali su intuitivno razumljive i uzimaju se kao istinite) i na temelju toga definirati sve ostale figure te izvesti sve moguće posljedice (teoreme).

U ravninskoj geometriji (planimetriji) koju ste tijekom školovanja na više načina upoznavali (konstruktivno i analitički), osnovni su elementi točke i pravci, a jedna od osnovnih relacija među njima je relacija incidencije*.

* Za incidenciju u našem jeziku često koristimo i izraze "ležati na" (točka leži na pravcu), "pripadati" (točka pripada pravcu), "prolaziti kroz" (pravac prolazi kroz točku), "spajati" (pravac spaja točke), "sjeći" (pravci se sijeku) i slično. Za točke koje leže na istom pravcu kažemo da su kolinearne, a za pravce koji prolaze istom točkom da su konkurentni.

Tu je geometriju, još u starom vijeku, aksiomatski zasnovao grčki matematičar Euklid i danas je nazivamo euklidskom geometrijom ravnine. Konstrukcije unutar te geometrije izvode se ravnalom i šestarom. Sustav aksioma sastoji se od pet grupa i uključuje mjerenje duljine, kuta i površine, pri čemu prema Hilbertovoj aksiomatici euklidske ravnine aksioma ima 16. Nećemo ih sve ispisivati (to je sadržaj za studente matematike), ali ćemo istaknuti dva aksioma:

    A1 (1. aksiom incidencije): Postoji točno jedan pravac koji je incidentan s dvije dane različite točke.
    A5 (aksiom o paralelama): Neka je \(\small p\) bilo koji pravac i \(\small T\) bilo koja točka koja s njim nije incidentna. Tada postoji najviše jedan pravac koji prolazi točkom \(\small T\) i ne siječe pravac \(\small p\).
  • U euklidskoj ravnini dva se pravca ili sijeku ili su usporedni (paralelni).

Projektivna geometrija ravnine također kao osnovne elemente ima točke i pravce te samo jednu osnovnu relaciju među njima, relaciju incidencije. Sustav se aksioma može svesti na samo tri sljedeća:

    A1: Postoji točno jedan pravac koji je incidentan s dvije dane različite točke.
    A2: Postoji točno jedna točka koja je incidentna s dva dana različita pravca.
    A3: Postoje četiri različite točke od kojih nikoje tri nisu incidentene s istim pravcem (nikoje tri nisu kolinearne).
  • Zbog A2, u projektivnoj ravnini ne postoje pravci koji se ne sijeku.

Projektivnu geometriju možemo opisati kao proučavanje geometrijskih svojstava koja se ne mijenjaju pri centralnom projiciranju (bit će poslije prikazano). Centralna je projekcija najbliža slici koja nastaje u našem oku (vidi sliku 1).

Slika 1: Centralna projekcija paralelnih tračnica.

Treba uočiti da se aksiomi A1 i A2 mogu dobiti jedan iz drugog zamjenom riječi pravac i točka. Ta činjenica uvjetuje dualnost projektivne geometrije - ako je istinita neka tvrdnja, bit će istinita i ona koja iz nje nastaje međusobnom zamjenom riječi točka i pravac te spajati i sjeći (ležati na i prolaziti kroz). Figure (teoreme) čije su definicije (iskazi) povezane na takav način nazivamo dualnim figurama (teoremima). Takve su, primjerice, sljedeće dvije tvorevine:

- niz točaka \(\small (p)\) - čine ga sve točke ravnine koje leže na pravcu \(\small p\)

- pramen pravaca \(\small (P)\) - čine ga svi pravci ravnine koji prolaze točkom \(\small P\).

Kada u projektivnoj geometriji dokažemo neki teorem, ujedno smo dokazali i njemu dualni.

Euklidsku ravninu možemo nadopuniti na sljedeći način:

  • Svaki pravac nadopunimo s jednom beskonačno dalekom točkom u kojoj ga sijeku svi s njim paralelni pravci. Različite klase paralelnih pravaca imaju različite beskonačno daleke točke.
  • Beskonačno daleke točke svih pravaca ravnine leže na jednom pravcu te ravnine kojeg nazivamo njezinim beskonačno dalekim pravcem.

Beskonačno daleki elementi ravnine (pravac i točke na njemu) realni su kao i svi ostali elementi ravnine.

Tako nadopunjenu euklidsku ravninu nazivamo proširenom euklidskom ravninom ili realnom projektivnom ravninom. To je projektivna ravnina i u njoj se svaka dva pravca sijeku (paraleni se pravci sijeku u beskonačno dalekoj točki).

Kartezijeve koordinate, kod kojih je točka određena uređenim parom realnih brojeva \(\small (x,y)\), nisu dostatne za analitičku obradu proširene euklidske ravnine. Analitička geometrija takve ravnine koristi homogene koordinate u kojima je točka određena uređenom trojkom realnih brojeva \(\small (x,y,w)\). Pritom, međusobno proporcionalne trojke određuju istu točku (\(\small (x_1,y_1,w_1)\) i \(\small (x_2,y_2,w_2)\) određuju istu točku ako i samo ako je \(\small (x_1,y_1,w_1)= k\cdot (x_2,y_2,w_2),\,\,k\in\mathrm R\)\\(\small \{0\}\)), a trojka \(\small (0,0,0)\) ne određuje niti jednu. U homogenim koordinatama svaka realna točka u konačnosti, čije su Kartezijeve koordinate \(\small (x,y)\), određena je uređenom trojkom \(\small (x,y,1)\), dok za beskonačno daleke točke vrijedi \(\small w=0\). Primjerice, trojka \(\small (x_1,y_1,0)\), \(\small x_1\cdot y_1\neq 0\), određuje beskonačno daleku točku pravca \(\small y=y_1/x_1\cdot x\), a trojke \(\small (1,0,0)\) i \(\small (0,1,0)\), beskonačno daleke točke osi \(\small x\) i \(\small y\).

Za neka naša daljnja opća razmatranja čak niti ovo realno proširenje neće biti dovoljno. Naime, pojavit će se i neke imaginarne točke koje pri analitičkom tretmanu zahtijevaju uvođenje kompleksnih brojeva - vidi Primjer u uvodnom odjeljku o algebarskim krivuljama.

Projektivna geometrija ne koristi mjeru (udaljenost točaka i veličinu kutova). Mjera je karakteristika euklidske geometrije, a nužna je u inženjerstvu. Stoga ćemo u nastavnom predmetu proširenu euklidsku ravninu (a zatim i prostor) koristiti za izvođenje nekih općenitih zaključaka o ravninskim (prostornim) figurama, dok ćemo za konstrukciju (na papiru ili računalu) koristiti euklidsku ravninu (prostor) u kojoj za sve elemente (u konačnosti) vrijedi euklidska metrika.