U prethodnom je dijelu prikazano čime je određena perspektivna kolineacija i kako se u zadanoj perspektivnoj kolineaciji za bilo koju točku konstruira njezina slika. To je ujedno i temeljna konstrukcija za slike ostalih ravninskih figura.

Na interaktivnoj slici 19 zadana je perspektivna kolineacija \({\small (S,o,X_1,X_2)}\) i pravac \({\small a_1}\).

Treba konstruirati perspektivno kolinearnu sliku pravca \({\small a_1}\), odnosno pravac \({\small a_2}\).

Interaktivna slika 19

1. korak: Na pravcu \({\small a_1}\)odabrana je točka \({\small A_1}\) i konstruirana njezina perspektivno kolinearna slika \({\small A_2}\). Kao na interaktivnoj slici 18.

2. korak: Kako je svaki pravac jednoznačno određen sa svoje dvije točke, pravac \({\small a_2}\) konstruiran je kao spojnica točke \({\small A_2}\) i sjecišta pravca \({\small a_1}\) s osi perspektivne kolineacije.

- Točku \({\small A_1\in a_1}\) odabrali smo po volji. Pomičite sada točku \({\small A_1}\) i uočite da slika pravca \({\small a_1}\) (pravac \({\small a_2}\)) ne ovisi o izboru položaja te točke.

- Položaj točaka \({\small X_1}\) i \({\small X_2}\) odredio je perspektivnu kolineaciju. Pomičite bilo koju od tih točaka dovodeći ih u razne međusobne položaje (s iste ili sa suprotnih strana središta ili osi), i mijenjajte time zadanu perspektivnu kolineaciju. Promatrajte promjene i stalnost konstrukcije.

3. korak: Pomicanjem točke \({\small Y}\) dovedite pravac \({\small a_1}\)u položaj paralelan s osi. Sada je i slika \({\small a_2}\) paralelna s osi. Ponovno mijenjajte položaj odredbenih točaka \({\small X_1}\) i \({\small X_2}\) te uočite da to vrijedi za svaku perspektivnu kolineaciju.

Znamo da je perspektivna kolineacija preslikavanje koje točkama ravnine pridružuje točke te iste ravnine. Zbog toga svaku točku možemo promatrati kao element domene, ali i kao element kodomene. U dosadašnjim smo primjerima domenu označavali indeksom 1, a kodomenu indeksom 2. Na primjer, promatrali smo sljedeća pridruženja točaka i pravaca: \({\small A_1\rightarrow A_2, X_1\rightarrow X_2, p_1\rightarrow p_2, a_1\rightarrow a_2}\) itd.

Međutim, perspektivna kolineacija bijektivno je preslikavanje čije je inverzno preslikavanje također perspektivna kolineacija s istim odredbenim elementima. Jedino što je polje s indeksom 2 domena, a polje s indeksom 1 kodomena tog preslikavanja. Tu vrijede sljedeća pridruženja \( {\small A_2\rightarrow A_1, X_2\rightarrow X_1, p_2\rightarrow p_1, a_2\rightarrow a_1}\) itd.

U svim ćemo sljedećim primjerima takva dva preslikavanja tretirati ravnopravno, odnosno preslikavat ćemo iz polja 1 u polje 2 i obrnuto, primjenjujući isti način konstrukcije. Pritom treba uvijek imati na umu da su istim indeksom označeni elementi i figure istog polja.

Na sljedećim su slikama konstruirane perspektivno kolinearne slike dvaju pravaca \({\small a_2}\) i \({\small b_2}\). U primjeru na interaktivnoj slici 20 ti su pravci ukršteni i sijeku se u točki \({\small O_2}\), dok su u primjeru na interaktivnoj slici 21 oni paralelni, a njihovo beskonačno daleko sjecište označili smo \({\small O_2^\infty}\).

Interaktivna slika 20

Interaktivna slika 21

Perspektivno kolinearnu sliku para ukrštenih pravaca na interaktivnoj slici 20 odredili smo tako da smo prvo konstruirali točku \({\small O_1}\) (sliku njihova sjecišta), a zatim iskoristili svojstvo da se parovi perspektivno kolinearno pridruženih pravaca sijeku na osi. Na interaktivnoj slici možete pomicati točke \({\small X_1}\) i \({\small X_2}\) (mijenjati perspektivnu kolineaciju) kao i točku \({\small O_2}\) čime mijenjate položaj pravaca \({\small a_2}\), \({\small b_2}\).

Uočite sljedeće svojstvo:

  • U općem slučaju, perspektivna kolineacija ne čuva veličinu kuta između pravaca, tj. to preslikavanje nije konformno.

Perspektivno kolinearnu sliku para paralelnih pravaca na interaktivnoj slici 21 odredili smo tako da smo prvo konstruirali točke \({\small A_1}\) (sliku točke \({\small A_2\in a_2}\)) i \({\small B_1}\) (sliku točke \({\small B_2\in b_2}\)), a zatim iskoristili svojstvo da se parovi perspektivno kolinearno pridruženih pravaca sijeku na osi. Pravci \({\small a_1}\) i \({\small b_1}\) su ukršteni, sijeku se u točki \({\small O_1}\) koja je, zbog kolinearnosti preslikavanja, perspektivno kolinearna slika beskonačno dalekog sjecišta \({\small O_2^\infty}\).

Uočite sljedeće:

  • U općem slučaju, perspektivna kolineacija ne čuva paralelnost pravaca.