Kao što možemo zaključiti iz primjera u prethodnom dijelu, beskonačno se daleke točke ravnine preslikavaju u točke u konačnosti. Budući da sve beskonačno daleke točke ravnine leže na njezinom beskonačno dalekom pravcu, zaključujemo da će na pravcu koji je slika beskonačno dalekog pravca (preslikavanje je kolinearno) ležati slike svih beskonačno dalekih točaka ravnine.

Neka je \({\small n_1^\infty}\) oznaka za beskonačno daleki pravac u polju s indeksom 1. Konstruirat ćemo perspektivno kolinearnu sliku tog pravca. Na interaktivnoj slici 22 zadana je perspektivna kolineacija \({\small(S, o, A_1, A_2)}\).

Interaktivna slika 22

1. korak: Izaberimo po volji dva paralelna pravca \({\small a_1}\) i \({\small b_1}\) koji se sijeku u beskonačno dalekoj točki \({\small N_1^\infty}\).

2. korak: Odredimo slike pravaca \({\small a_1}\) i \({\small b_1}\) (kao na primjeru u prethodnom dijelu, ali polazeći iz polja indeksa 1). Dobiveni pravci \({\small a_2}\) i \({\small b_2}\) sijeku se u točki \({\small N_2}\), slici beskonačno daleke točke \({\small N_1^\infty}\).

3. korak: Pravac \({\small n_2}\), perspektivno kolinearna slika pravca \({\small n_1^\infty}\), prolazi točkom \({\small N_2}\) i sjecištem pravca \({\small n_1^\infty}\) s osi. Budući da je \({\small n_1^\infty}\) beskonačno daleki pravac, njegovo sjecište s osi je beskonačno daleka točka. Stoga je pravac \({\small n_2}\) paralelan s osi. Pravac \({\small n_2}\) nazivamo nedoglednim ili ubježnim pravcem perspektivne kolineacije.

4. korak: Točku \({\small N_1^\infty}\) odabrali smo po volji, kao beskonačno daleku točku pravca \({\small a_1}\) ili \({\small b_1}\). Pomičući točku \({\small G}\), mijenjajte smjer pravca \({\small b_1}\), dakle točku \({\small N_1^\infty}\). Može se uočiti da slike svih beskonačno dalekih točaka ravnine leže na nedoglednom pravcu \({\small n_2.}\)

Pomičite sada odredbene točke kolineacije \({\small (A_1}\) ili \({\small A_2}\)) i uočite da je nedogledni pravac paralelan s osi u svakoj perspektivnoj kolineaciji.

  • Perspektivno kolinearnu sliku beskonačno dalekog pravca nazivamo nedoglednim ili ubježnim pravcem perspektivne kolineacije.

S druge strane, budući da je perspektivna kolineacija bijektivno preslikavanje, bit će beskonačno daleki pravac, kao podskup njezine kodomene (polja s indeksom 2), slika nekog pravca u konačnosti, odnosno za zadanu perspektivnu kolineaciju postoji pravac čije se sve točke preslikavaju u beskonačno daleke točke.

Neka je \({\small i_2^\infty}\) oznaka za beskonačno dalek pravac ravnine u polju s indeksom 2. Konstruirat ćemo perspektivno kolinearnu sliku tog pravca. Na interaktivnoj slici 23 zadana je perspektivna kolineacija \({\small (S, o, A_1, A_2)}\).

Interaktivna slika 23

1. korak: Izaberimo po volji dva paralelna pravca \({\small a_2}\) i \({\small b_2}\) koji se sijeku u beskonačno dalekoj točki \({\small I_2^\infty}\).

2. korak: Odredimo, kao u prethodnom dijelu, pravce \({\small a_1}\) i \({\small b_1}\) koji su pridruženi pravcima \({\small a_2}\) i \({\small b_2}\). Njihovo sjecište \({\small I_1}\) pridruženo je beskonačno dalekoj točki \({\small I_2^\infty}\).

3. korak: Pravac \({\small i_1}\), perspektivno kolinearno pridružen pravcu \({\small i_2^\infty}\), prolazi točkom \({\small I_1}\) i paralelan je s osi \({\small o}\). Pravac \({\small i_1}\) nazivamo izbježnim pravcem perspektivne kolineacije.

4. korak: Točku \({\small I_2^\infty}\) odabrali smo po volji kao beskonačno daleku točku pravca \({\small a_2}\) ili \({\small b_2}\). Pomičući točku \({\small G}\), mijenjamo smjer pravca \({\small b_2}\) odnosno točku \({\small I_2^\infty}\). Treba uočiti da sve točke pridružene beskonačno dalekim točkama ravnine leže na izbježnom pravcu \({\small i_1.}\)

Pomičite sada odredbene točke kolineacije \({\small (A_1}\) ili \({\small A_2)}\) i uočite da je izbježni pravac paralelan s osi u svakoj perspektivnoj kolineaciji.

  • Pravac ravnine koji se nekom perspektivnom kolineacijom preslikava u beskonačno daleki pravac nazivamo izbježnim pravcem te perspektivne kolineacije.