Perspektivna kolineacija preslikava točku u točku, pravac u pravac. Što se dešava s dužinama? Preslikavaju li se dužine u dužine? Kako je dužina podskup pravca, svakako je njezina slika također podskup pravca. No, kakav? Odgovor nije jednoznačan. Dužina je određena svojim krajnjim točkama i jasno je kako će se te točke preslikati. Ali što je sa skupom neprekinuto povezanih točaka između njih?

Općenito, za neku dužinu \({\small \overline{A_1B_1}}\) razlikujemo četiri slučaja njezine perspektivno kolinearne slike:

  • Ako dužina \({\small \overline{A_1B_1}}\) nema zajedničkih točaka s izbježnim pravcem, njezina perspektivno kolinearna slika je dužina \({\small \overline{A_2B_2}}\).
  • Ako krajnja točka \({\small A_1}\) (ili \({\small B_1}\)) leži na izbježnom pravcu, perspektivno kolinearna slika dužine \({\small \overline{A_1B_1}}\) je polupravac s krajnjom točkom \({\small A_2}\) (ili \({\small B_2}\)).
  • Ako dužina \({\small \overline{A_1B_1}}\) siječe izbježni pravac u točki koja joj nije krajnja, perspektivno kolinearna slika dužine \({\small \overline{A_1B_1}}\) sastoji se od dva polupravca koji leže na istom pravcu nositelju, a krajnje su im točke \({\small A_2}\) i \({\small B_2}\).
  • Ako dužina \({\small \overline{A_1B_1}}\) leži na izbježnom pravcu, njezina perspektivno kolinearna slika je beskonačno daleka dužina.

Na interaktivnoj slici 24 zadana je perspektivna kolineacija \({\small (S,o,X_1,X_2)}\) i dužina \({\small \overline{A_1B_1}}\) na pravcu \({\small p_1}\). Konstruirana je perspektivno kolinearna slika te dužine te je omogućeno mijenjanje položaja početne dužine i njezine perspektivno kolinearne slike. Mijenjajući položaj dužine \({\small \overline{A_1B_1}}\) provjerite gore navedene tvrdnje i razmislite zašto su one istinite.

Interaktivna slika 24

Iz ovoga je sasvim jasno da perspektivna kolineacija ne čuva udaljenost izmedu točaka (nije izometrija) kao ni djelišne omjere dužina (primjerice, općenito se polovište neke dužine ne preslikava u polovište njezine slike).

Što se može zaključiti o preslikavanju polupravca? U kojem slučaju je perspektivno kolinearna slika polupravca polupravac?