Zbog kolinearnosti afinog preslikavanja, svaka će se krivulja 2. reda preslikati u krivulju 2. reda. Pritom će se sekante, tangente i pasante krivulje preslikati u sekante, tangente i pasante njezine slike. Budući da se afinim preslikavanjem beskonačno daleke točke preslikavaju u beskonačno daleke, lako se zaključuje sljedeće:

  • Svakim se afinitetom hiperbola preslikava u hiperbolu, parabola u parabolu, a elipsa u elipsu.

Zbog toga klasifikaciju danu u 1.2. nazivamo afinom klasifikacijom konika.

Činjenica da afinitet čuva paralelnost i djelišne omjere dužina povlači sljedeće svojstvo:

  • Središte i promjeri konike kao i njihova konjugiranost invarijante su afinog preslikavanja.

Otud izravno slijede svojstva afine slike kružnice:

  • Afina slika kružnice je elipsa.
  • Središte kružnice preslikava se u središte njezine afine slike.
  • Svaki par okomitih promjera kružnice preslikava se u par konjugiranih promjera njezine afine slike.

Na interaktivnoj slici 35 dani su afinitet \({\small (o, S_1, S_2)}\) i kružnica \({\small c_1}\) kojoj je \({\small S_1}\) središte. Treba konstruirati elipsu \({\small c_2}\), afinu sliku dane kružnice \({\small c_1}\).

Interaktivna slika 35

1. korak: Odaberemo bilo koji par ortogonalnih promjera kružnice, \({\small \overline{M_1N_1}}\) i \({\small \overline{P_1Q_1}}\).

2. korak: Dužine \({\small \overline{M_2N_2}}\) i \({\small \overline{P_2Q_2}}\) čine par konjugiranih promjera elipse \({\small c_2}\).

3. korak: Slike tangenata u krajnjim točkama tih promjera određuju paralelogram opisan elipsi \({\small c_2}\).

4. korak: Elipsa \({\small c_2}\) je afina slika kružnice \({\small c_1}\).

  • Pomičite točku \({\small M_1}\) i uočite da navedena svojstva ne ovise o izboru početnog para ortogonalnih promjera kružnice.
  • Na slici možete pomicati i točku \({\small S_2}\) i tako mijenjati zadani afinitet. Uočite da navedena svojstva vrijede za svaki afinitet.
  • Pomičući točku \({\small X}\) možete mijenjati polumjer kružnice. Promatrajte kako se mijenja afina slika kružnice kad mijenjate njezin polumjer.