U prethodnom smo poglavlju promatrali ravninu, čiji su osnovni elementi točke i pravci. Svaki smo pravac nadopunili jednom beskonačno dalekom točkom u kojoj ga sijeku svi pravci koji su s njim paralelni. Beskonačno daleke točke svih pravaca jedne ravnine leže na jednom njezinom pravcu - beskonačno dalekom pravcu te ravnine.
U prostoru imamo tri skupa osnovnih elemenata: točke, pravce i ravnine. Beskonačno daleke točke, a onda i sve njihove spojnice - beskonačno daleki pravci svih ravnina prostora, leže u jednoj ravnini koju nazivamo beskonačno dalekom ravninom prostora.
Standardni euklidski prostor, koji ste upoznavali tijekom dosadašnjeg školovanja, nadopunjen beskonačno dalekim elementima (beskonačno dalekim točkama i pravcima i jednom beskonačno dalekom ravninom u kojoj leže) nazivamo proširenim euklidskim prostorom.
U tom prostoru vrijedi sljedeće:
- Svaki pravac ima jednu beskonačno daleku točku. To je njegovo probodište s beskonačno dalekom ravninom.
- Svaka dva paralelna pravca imaju zajedničku beskonačno daleku točku. Ta je točka njihovo sjecište.
- Svaka ravnina ima jedan beskonačno daleki pravac. To je njezina presječnica s beskonačno dalekom ravninom.
- Svake dvije paralelne ravnine imaju zajednički beskonačno daleki pravac. Taj je pravac njihova presječnica.
- Ako su pravac i ravnina paralelni, tada beskonačno daleka točka tog pravca leži na beskonačno dalekom pravcu te ravnine.
- Beskonačno daleka ravnina paralelna je sa svim ravninama i pravcima prostora.
Prošireni euklidski prostor zadovoljava aksiome trodimenzionalnog projektivnog prostora. Te aksiome ovdje nećemo navoditi, većina od njih podudara se s aksiomima euklidskog prostora, kao na primjer:
- Svake su tri nekolinearne točke incidentne samo s jednom ravninom.
Ovdje ističemo samo jednu tvrdnju koja vrijedi u proširenom euklidskom, a ne vrijedi u euklidskom prostoru.
- Svake su tri nekolinearne ravnine incidentne samo s jednom točkom.
Uočite da se te dvije tvrdnje mogu dobiti jedna iz druge zamjenom riječi točka i ravnina, dok se riječi pravac i incidentno ne mijenjaju. Ta činjenica uvjetuje dualnost projektivne geometrije prostora, tj. ako je u projektivnom prostoru istinita neka tvrdnja bit će istinita i ona koja nastaje tako da u prvoj zamijenimo riječi točka i ravnina dok riječ pravac i incidencija ostaju nepromijenjene*. Stoga ako u projektivnoj geometriji prostora dokažemo neki teorem, dokazali smo i njemu dualni.
Dakle, dualni elementi projektivnog prostora su točka i ravnina, dok je pravac dualan sam sebi.
Pojmove čije su definicije povezane na takav način nazivamo dualnim pojmovima. Na primjer, sljedeće su dvije tvorevine dualne:
Ponavljamo ono što smo već istaknuli kod projektivne ravnine:
Projektivna geometrija ne koristi mjeru (udaljenost točaka i veličinu kutova). Mjera je karakteristika euklidske geometrije, a u inženjerstvu je neophodna.
Mi ćemo stoga u svemu što slijedi itekako razlikovati paralelne pravce i ravnine od pravaca i ravnina koji se sijeku, jer nam to svakako treba (npr. udaljenost između dva ukrštena pravca je 0, dok između paralelnih nije). Samo ćemo ponekad, kad će nam to omogućiti brže i elegantnije rješavanje nekih problema, proširiti prostor našeg razmatranja.
* Budući da umjesto incidentan, često koristimo neke druge izraze, u dualnim izjavama mijenjamo i izraze: spajati i sjeći, ležati na i prolaziti kroz,.....