Neka su u prostoru dani ravnina \(\small\Pi\) i pravac \(\small a\) koji nije paralelan s ravninom \(\small\Pi\).

Preslikavanje koje svakoj točki \(\small T\) pridružuje točku \(\small \overline T\), koja je probodište ravnine \(\small\Pi\) i pravca paralelnog s pravcem \(\small a\) kroz točku \(\small T\), nazivamo paralelnom projekcijom točke \(\small T\) na ravninu \(\small\Pi\) u smjeru \(\small a\).

Pravce paralelne s pravcem \(\small a\) nazivamo zrakama projiciranja, a ravninu \(\small\Pi\) ravninom projekcije. Ako su zrake projiciranja kose prema ravnini projekcije (nisu na nju okomite), onda paralelnu projekciju nazivamo kosom paralelnom projekcijom.

Slika 207

Svojstva kosog paralelnog projiciranja

  • Kosa paralelna projekcija točke je točka
  • Pravac se, ako nije zraka projiciranja, projicira u pravac
  • Paralelni pravci (koji nisu zrake projiciranja) u paralelne pravce. (Kažemo da je paralelnost pravaca invarijanta  projiciranja.)
  • Dužina \(\small\overline{AB}\), koja nije paralelna sa zrakom projiciranja, projicira se u dužinu. Pritom, duljina kose paralelne projekcije dužine \(\small\overline{AB}\) može biti veća, jednaka ili manja od duljine dužine \(\small\overline{AB}\)
  • Dužina će se projicirati u pravoj veličini ako je paralelna s ravninom projekcije
  • Djelišni omjer (ako dužina ne leži na zraci projiciranja) invarijanta je paralelnog projiciranja
  • Kut će se projicirati u pravoj veličini ako su mu oba kraka paralelna s ravninom projekcije
Slika 208: \(\small d(\overline A,\overline B) < d(A,B)\)
Slika 209: \(\small d(\overline A,\overline B) = d(A,B)\)
Slika 210: \(\small d(\overline A,\overline B) > d(A,B)\)

Prostorni i ravninski trobrid

Tri dužine \(\small \overline{OA}\), \(\small \overline{OB}\) i \(\small \overline{OC}\) u prostoru, koje su jediničnih duljina i svaka na svaku okomita nazivamo ortonormiranim trobridom (slika 211). Neka su \(\small \overline O\), \(\small \overline A\), \(\small \overline B\) i \(\small \overline C\) četiri različite i nekolinearne točke iste ravnine. Ravninsku figuru koju čine tri dužine \(\small \overline{\overline O \overline A}\), \(\small \overline{\overline O \overline B}\) i \(\small \overline{\overline O \overline C}\) nazivamo ravninskim trobridom i označavamo \(\small \overline O (\overline A, \overline B, \overline C)\), vidi sliku 212.

Slika 211: Ortonormirani trobrid
Slika 212: Ravninski trobrid

Neka je \(\small O (A, B, C)\) ortonormirani trobrid u prostoru i neka niti jedan od njegovih bridova nije paralelan sa zrakom paralelnog projiciranja. Tada vrijedi:

  • Kosa paralelna projekcija ortonormiranog trobrida \(\small O (A, B, C)\) je ravninski trobrid \(\small \overline O (\overline A, \overline B, \overline C)\) u ravnini projekcije (animacija 14).

Takav ravninski trobrid \(\small \overline O (\overline A, \overline B, \overline C)\), koji je kosa paralelna projekcija ortonormiranog trobrida \(\small O (A, B, C)\), nazivamo i Pohlkeovim trobridom.

Animacija 14

Pohlkeov teorem

Za svaki ravninski trobrid \(\small \overline O (\overline A, \overline B, \overline C)\) postoji takvo paralelno projiciranje za koje je taj trobrid projekcija nekoga prostornoga ortonormiranog trobrida \(\small O (A, B, C)\).

Pohlkeov teorem nazivamo još i fundamentalnim ili glavnim teoremom aksonometrije, a omogućuje nam da u ravnini slike odaberemo bilo koji ravninski trobrid i da smo pritom sigurni kako postoji paralelno projiciranje pri kojem je taj ravninski trobrid projekcija nekoga ortonormiranog trobrida prostora.

Prezentacija 40