Primjer 3.

Na zadanom nosaču grafički odrediti reakcije i unutarnje sile u presjeku t-t ako je K = 300  kN.

a) Reakcije

1. postupak: Culmannov pravac

Zadani nosač ima nepoznate reakcije u ležajevima A i B. Klizni ležaj B određuje pravac djelovanja reakcije $\vec{{B}}$, dok je pravac djelovanja reakcije $\vec{{A}}$ nepoznat. Reakciju $\vec{{A}}$ rastavit ćemo, kao u analitičkom postupku, u horizontalnu i vertikalnu komponentu. Prema tome, zadanu silu $\vec{{K}}$ treba uravnotežiti s tri sile, $\vec{{B}}$, $\vec{{A}}^{v}_{}$ i $\vec{{A}}^{h}_{}$. Za reakciju $\vec{{B}}$ znamo pravac djelovanja, a za reakcije $\vec{{A}}^{v}_{}$ i $\vec{{A}}^{h}_{}$ znamo da njihova rezultanta $\vec{{A}}$ prolazi točkom A. Točku presjeka pravca djelovanja sile $\vec{{K}}$ i pravca djelovanja reakcije $\vec{{B}}$ označimo sa C. Kroz nju prolazi rezultanta sila $\vec{{B}}$ i $\vec{{K}}$ koju ćemo označiti sa $\vec{{R}}_{{B,K}}^{}$. Točka C prva je točka za koju znamo da se nalazi na Culmannovom pravcu, a kako rezultanta $\vec{{A}}$ prolazi kroz točku A, točkama C i A određen je Culmannov pravac, jer je zadani nosač u ravnoteži ako su u ravnoteži sile $\vec{{A}}$ i $\vec{{R}}_{{B,K}}^{}$ koje djeluju na istom pravcu (Culmannovom pravcu). Za silu $\vec{{K}}$ znamo iznos, pravac i smjer, a za silu $\vec{{B}}$ i rezultantu $\vec{{R}}_{{B,K}}^{}$ pravac djelovanja. Iz trokuta sila očitanjem u iskazanom mjerilu, (1cm :: 100kN), dobivamo iznose sile $\vec{{B}}$ ( B = 140  kN) i rezultante $\vec{{R}}_{{B,K}}^{}$ ( R_{B, K} = 225  kN). Zbog ravnoteže sila na pravcu dobivamo da je i iznos sile $\vec{{A}}$ jednak iznosu rezultante $\vec{{R}}_{{B,K}}^{}$ ( A = 225  kN). Rezultantu $\vec{{A}}$ rastavljamo na vertikalnu i horizontalnu komponentu te je A^v = 200  kN i A^h = 100  kN.

2. postupak: pomoću verižnog poligona

Grafičku konstrukciju započinjemo upoligonu sila. Početnu točku sile $\vec{{K}}$ označit ćemo sa a, a krajnju sa  b. Silu $\vec{{K}}$ rastavljamo na komponente $\overrightarrow{\mathrm{aO}}$ i $\overrightarrow{\mathrm{Ob}}$, pri čemu smo točku  O, koju nazivamo polom, odabrali po volji (jedini je uvjet da ne leži na pravcu sile $\vec{{K}}$); pravce 0 i 1 na kojima leže sile $\overrightarrow{\mathrm{aO}}$ i $\overrightarrow{\mathrm{Ob}}$ nazivamo zrakama.

Cilj nam je nepoznate reakcije $\vec{{A}}$ i $\vec{{B}}$ rastaviti tako da po jedna njihova komponenta uravnoteži sile $\overrightarrow{\mathrm{aO}}$ i $\overrightarrow{\mathrm{Ob}}$. Na taj ćemo način sistem sila $\vec{{K}}$,$\vec{{A}}$,$\vec{{B}}$ svesti na dvije sile -- preostale dvije komponente reakcija $\vec{{A}}$ i $\vec{{B}}$. Budući da je sistem $\vec{{K}}$,$\vec{{A}}$,$\vec{{B}}$ u ravnoteži, bit će uravnotežene i te dvije sile.

Prelazimo sada u polje sila, u kojem ćemo konstruirati verižni poligon. Kako su sile u mehanici krutih tijela klizni vektori, možemo ih rastaviti na komponente u bilo kojoj točki pravca na kojem djeluju. Međutim, točka  A jedina je točka za koju znamo da kroz nju prolazi sila $\vec{{A}}$, pa (za sada) možemo tu silu samo u njoj rastaviti na komponente. Konstrukciju stoga započinjemo u toj točki. Povlačimo kroz nju stranicu  0 verižnog poligona, paralelno sa zrakom  0, a potom, kroz sjecište stranice  0 i pravca djelovanja sile $\vec{{K}}$ (točka  C), paralelno zraci  1, stranicu  1. Na taj smo način u polju sila zadali pravce ( 0 i 1) na kojima djeluju komponente $\overrightarrow{\mathrm{aO}}$ i $\overrightarrow{\mathrm{Ob}}$ sile $\vec{{K}}$.

Silu $\vec{{A}}$ rastavljamo u točki  A na komponente, i to tako da jedna komponetna leži na stranici  0; njen iznos neka je jednak iznosu sile $\overrightarrow{\mathrm{aO}}$, a smjer suprotan toj sili -- ta će komponenta biti, dakle, $\overrightarrow{\mathrm{Oa}}$. Na sličan ćemo način u točki  D, u kojoj se sijeku stranica  1 i pravac djelovanja reakcije $\vec{{B}}$, reakciju $\vec{{B}}$ rastaviti na dvije komponente -- komponenta na stranici  1 neka je $\overrightarrow{\mathrm{bO}}$ = - $\overrightarrow{\mathrm{Ob}}$. Očito je da rezultanta komponente $\overrightarrow{\mathrm{Oa}}$ reakcije $\vec{{A}}$ i komponente $\overrightarrow{\mathrm{bO}}$ reakcije $\vec{{B}}$ uravnotežuje silu $\vec{{K}}$, tj. $\vec{{K}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{Oa}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{bO}}$ = $\vec{{0}}$.

Ostaju sile $\vec{{A}}$ - $\overrightarrow{\mathrm{Oa}}$ i $\vec{{B}}$ - $\overrightarrow{\mathrm{bO}}$. No, kao što smo već zaključili, one su u ravnoteži -- leže, dakle, na istom pravcu, jednake su po iznosu i suprotnoga smjera djelovanja. Kako su to komponente sila $\vec{{A}}$ i $\vec{{B}}$, pravac njihovoga djelovanja spojnica je točaka A i  D; taj pravac nazivamo zaključnom linijom jer njime `zatvaramo' verižni poligon. Iznose tih dviju sila odredit ćemo u poligonu sila. Kroz točku  O povlačimo paralelu sa zaključnom linijom; tu ćemo zraku označiti sa  2. Komponenta na zraci  2 i komponenta $\overrightarrow{\mathrm{bO}}$ (na zraci  1) zbrojene daju reakciju $\vec{{B}}$. Budući da je pravac djelovanja reakcije $\vec{{B}}$ poznat, zatvaranjem trokuta sila dobivamo iznose i smjerove djelovanja reakcije $\vec{{B}}$ i njene komponente na zraci  2 (označimo li sjecište zrake  2 i pravca sile $\vec{{B}}$ sa  c, ta je komponenta  $\overrightarrow{\mathrm{Oc}}$). I na kraju, $\vec{{A}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{ca}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{cO}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{Oa}}$.

b) Unutarnje sile

Izdvojimo li dio nosača zamišljenim presjekom, (poopćene) unutarnje sile u presjeku možemo smatrati vanjskim silama koje djeluju na taj dio nosača.

Na dio nosača lijevo od presjeka t-t djeluju reakcija $\vec{{A}}$ i sile u presjeku $\vec{{M}}_{{t-t}}^{}$,$\vec{{T}}_{{t-t}}^{}$,$\vec{{N}}_{{t-t}}^{}$ (na slici smo u polju sila naznačili pretpostavljene smjerove unutarnjih sila). Te sile moraju biti u ravnoteži.

Budući da su poznati pravac, iznos i smjer djelovanja sile $\vec{{A}}$ te pravci djelovanja sila $\vec{{T}}_{{t-t}}^{}$ i  $\vec{{N}}_{{t-t}}^{}$, zatvaranjem trokuta sila možemo odrediti iznose i smjerove sila $\vec{{T}}_{{t-t}}^{}$ i  $\vec{{N}}_{{t-t}}^{}$; očitavanjem iz crteža dobivamo N_t-t = 210 kN i T_t-t = 70 kN.

Iz izraza za ravnotežu momenata oko težišta presjeka t-t dobivamo $\vec{{M}}_{{t-t}}^{}$ = $\vec{{r}}$×$\vec{{A}}$, a kako su $\vec{{r}}$ i $\vec{{A}}$ međusobno okomiti, duljina vektora $\vec{{M}}_{{t-t}}^{}$ je M_t-t = r ^. A; duljinu r očitavamo, u mjerilu, iz crteža, te je M_t-t = 0, 45 ^. 225 = 101, 25 kNm.

Sile $\vec{{M}}_{{t-t}}^{}$,$\vec{{T}}_{{t-t}}^{}$ i $\vec{{N}}_{{t-t}}^{}$ možemo odrediti i uravnoteženjem dijela nosača desno od presjeka t-t. Na taj dio, osim unutarnjih sila, djeluju i zadana sila $\vec{{K}}$ i reakcija $\vec{{B}}$, odnosno, rezultanta tih dviju sila, $\vec{{R}}_{{B,K}}^{}$ = $\vec{{K}}$ + $\vec{{B}}$. Postupak određivanja unutarnjih sila inače je analogan postupku za lijevi dio. Usporedite smjerove unutarnjih sila dobivene uravnoteženjem lijevoga i desnog dijela.