Primjer 4.

Na zadanom nosaču grafički odrediti reakcije te dijagrame momenata i poprečnih sila. Zadane sile su: K₁ = K₂ = 100 kN, K₃ = 50 kN.

Iz uvjeta ravnoteže u horizontalnom smjeru možemo zaključiti da će i reakcija $\vec{{A}}$ biti vertikalna. Primjena verižnoga poligona najčešći je i najjednostavniji grafički način rješavanja zadataka u kojima su sve sile (zadane aktivne i reakcije) međusobno paralelne.

Da bismo odredili reakcije, sustav sila $\vec{{K}}_{1}^{}$, $\vec{{K}}_{2}^{}$, $\vec{{K}}_{3}^{}$ svest ćemo konstrukcijom verižnog poligona na dvije sile koje ćemo zatim, postupkom opisanim u prethodnom zadatku, uravnotežiti s reakcijama.

Nanižimo u poligonu sila sile $\vec{{K}}_{1}^{}$, $\vec{{K}}_{2}^{}$ i $\vec{{K}}_{3}^{}$, te njihove početne i krajnje točke spojimo zrakama 0, 1, 2, 3 s po volji odabranim polom  O. Komponenta sile $\vec{{K}}_{1}^{}$ na zraci 1 počinje u točki  O, a završava na kraju sile $\vec{{K}}_{1}^{}$, dok komponenta sile $\vec{{K}}_{2}^{}$ na toj zraci počinje na početku sile $\vec{{K}}_{2}^{}$, a završava u točki  O. Te su dvije komponente, dakle, po iznosu jednake, a suprotno usmjerene, pa njihova rezultanta iščezava; no, da bi se te komponente međusobne uravnotežile (da ne tvore spreg sila), moraju djelovati na istom pravcu, što ćemo osigurati u polju sila. Isto možemo zaključiti za komponente sila $\vec{{K}}_{2}^{}$ i $\vec{{K}}_{3}^{}$ na zraci  2.

Zadajmo sada u polju sila pravce djelovanja tih komponenti. U ovom primjeru konstrukciju verižnoga poligona ne trebamo započeti u točki  A, jer je pravac djelovanja reakcije $\vec{{A}}$ poznat, pa ćemo je moći, u odgovarajućem koraku konstrukcije, rastaviti na komponente u bilo kojoj točki tog pravca.

U odabranoj točki pravca djelovanja sile $\vec{{K}}_{1}^{}$ povlačimo stranice  0 i  1 verižnoga poligona (drugim riječima, silu $\vec{{K}}_{1}^{}$ u toj točki rastavljamo na komponente na tim stranicama), potom kroz sjecište stranice  1 s pravcem djelovanja sile $\vec{{K}}_{2}^{}$ stranicu  2, te, na kraju, kroz sjecište stranice  2 s pravcem sile $\vec{{K}}_{3}^{}$ stranicu  3. Odgovarajuće komponente sila $\vec{{K}}_{1}^{}$ i $\vec{{K}}_{2}^{}$, te sila $\vec{{K}}_{2}^{}$ i $\vec{{K}}_{3}^{}$ sada leže na istim pravcima, pa se međusobno uravnotežuju. Prema tome, sustav sila $\vec{{K}}_{1}^{}$, $\vec{{K}}_{2}^{}$, $\vec{{K}}_{3}^{}$ sveli smo na sile koje djeluju na stranicama  0 i  3 verižnoga poligona. Iznosi i smjerovi djelovanja tih dviju sila određeni su u poligonu sila: prva od početka sile $\vec{{K}}_{1}^{}$ do točke  O, a druga od točke O do kraja sile $\vec{{K}}_{3}^{}$. Odredili smo ujedno i pravac djelovanja rezultante $\vec{{R}}$ = $\vec{{K}}_{1}^{}$ + $\vec{{K}}_{2}^{}$ + $\vec{{K}}_{3}^{}$: ona prolazi sjecištem stranica  0 i  3.

Zaključna linija (stranica  4 verižnog poligona) prolazi sjecištem pravca djelovanja reakcije $\vec{{A}}$ sa stranicom  0 i pravca djelovanja reakcije $\vec{{B}}$ sa stranicom  3 -- silu $\vec{{A}}$ rastavili smo u komponente na pravcima  0 i  4, a $\vec{{B}}$ u komponente na pravcima  3 i  4.

Pomoću zrake  4 u poligonu sila možemo odrediti iznose reakcija $\vec{{A}}$ i $\vec{{B}}$. Reakcija $\vec{{B}}$ zbroj je komponenti na zrakama 3 i 4, a reakcija $\vec{{A}}$ komponenti na zrakama 4 i 0. Iznose sila očitamo iz crteža: B = 175 kN, A = 75 kN.

Kod greda na koje sile djeluju okomito na os, dijagram momenata po dijelovima je afino pridružen verižnom poligonu. Tu ćemo tvrdnju dokazati za ovaj konkretni primjer.

Odredimo moment u presjeku t-t. Odsječak pravca kroz presjek između stranica  4 i  1 verižnog poligona označit ćemo sa  $\eta_{{t-t}}^{}$, a udaljenost pola od pravca sila u poligonu sila, polnu udaljenost, sa  H.

Izdvojimo li lijevi dio grede, od ležaja A do presjeka t-t, sile u presjeku moraju uravnotežiti reakciju $\vec{{A}}$ i silu $\vec{{K}}_{1}^{}$. U poligonu sila vidimo da se rezultanta tih dviju sila, $\vec{{R}}_{{A,1}}^{}$ = $\vec{{A}}$ + $\vec{{K}}_{1}^{}$, može prikazati kao zbroj komponenti na zrakama  4 i  1; ta rezultanta, stoga, prolazi sjecištem stranica  1 i  4 verižnog poligona. Moment savijanja u presjeku t-t bit će

M_t-t = R_{A, 1} ^. r_t-t.

Trokut u poligonu sila sa stranicama 1, 4 i R_{A, 1} i trokut u verižnom poligonu sa stranicama  1,  4 i  $\eta_{{t-t}}^{}$ slični su, pa je $\eta_{{t-t}}^{}$ : r_t-t = R_{A, 1} : H, odnosno, R_{A, 1} ^. r_t-t = H ^. $\eta_{{t-t}}^{}$, što znači

M_t-t = H ^. $$\eta_{{t-t}}^{}$$.

Duljinu $\eta_{{t-t}}^{}$ očitavamo u jedinicama duljine (npr. m), a H u jedinicama sile (npr. kN), te je M_t-t = 150 [kN] ^. 0, 85 [m] = 127, 5 kNm.

Za dio grede između ležajeva, ovisno o položaju presjeka, rezultanta vanjskih sila prolazi sjecištem stranice  4 s jednom od zraka 0, 1, 2. Nulta linija momenata uvijek je stranica  4. Rezultanta na prepustu, $\vec{{R}}_{{\mathrm{pr}}}^{}$ = $\vec{{B}}$ + $\vec{{A}}$ + $\vec{{K}}_{1}^{}$ + $\vec{{K}}_{2}^{}$ = - $\vec{{K}}_{3}^{}$, prolazi sjecištem stranica  2 i  3, dok je nulta linija momenata stranica  3. Pod ležajem  B nulta se linija momenata, prema tome, lomi.

Poprečna sila u bilo kojem presjeku na dijelu grede između ležaja  A i hvatišta sile $\vec{{K}}_{1}^{}$ uravnotežuje reakciju $\vec{{A}}$, $\vec{{T}}_{{A,1}}^{}$ = - $\vec{{A}}$, između hvatišta sila $\vec{{K}}_{1}^{}$ i $\vec{{K}}_{2}^{}$ rezultantu sila $\vec{{A}}$ i $\vec{{K}}_{1}^{}$, $\vec{{T}}_{{1,2}}^{}$ = - ($\vec{{A}}$ + $\vec{{K}}_{1}^{}$) = - $\vec{{R}}_{{A,1}}^{}$, itd.; na pojedinim je dijelovima, dakle, poprečna sila konstantna.

Dijagram poprečnih sila možemo konstruirati neposrednim prenošenjem odgovarajućih veličina iz poligona sila na pravce djelovanja sila u polju sila, uzastopce s lijeva na desno. Time dobivamo dijagram rezultanti vanjskih sila lijevo od presjeka, odnosno, dijagram poprečnih sila pomnoženih sa -1; dijagram poprečnih sila nastaje zrcaljenjem tog dijagrama na nultoj liniji.