Primjer 3.

Na nosaču sa slike analitičkim postupkom odrediti momentni dijagram ako je zadano K₁ = 140 kN i K₂ = 70 kN.

Reakcije određujemo iz poznatih uvjeta ravnoteže proste grede:

$$\sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{} \Rightarrow$$ A^h = 0  kN,

$$\sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{} \Rightarrow \Rightarrow$$ - A^{v .} 7 + K₁ ^. 4 + K₂ ^. 3 = 0 A^v = 110  kN,

$$\sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{} \Rightarrow \Rightarrow$$ B^{v .} 7 - K₁ ^. 3 - K₂ ^. 4 = 0 B^v = 100  kN.

Uvjet ravnoteže momenata oko točke C, na desnom dijelu nosača, daje silu S₀ u štapu  0. Silu S₀ rastavljamo u komponente u točki štapa iznad zgloba C, pa je, budući da S₀^v prolazi kroz  C,

$$\sum_{{\mathrm{desni}}}^{}$$M_(C) = 0     $$\Rightarrow$$     B^{v .} 3 + S^h₀ ^. $$\Bigl($$2 + $${\tfrac{{2}}{{3}}}$$$$\Bigr)$$ = 0     $$\Rightarrow$$     S^h₀ = - 112, 5 kN,

te, odavde,

S₀^v = S₀^{h .} tg $$\alpha_{0}^{}$$ = - 112, 5 ^. $${\tfrac{{1}}{{3}}}$$ = - 37, 5 kN    i    S₀ = - $$\sqrt{{\bigl(S_0^v\bigr)^2 + \bigl(S_0^h\bigr)^2}}$$ = - 118, 6 kN.

Općenito, sa S_k^h označavamo horizontalnu, a sa S_k^v vertikalnu komponentu sile S_k u štapu k, dok je $\alpha_{k}^{}$ oštri kut između horizontale i osi štapa k.

Uvjeti ravnoteže čvora H daju sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice. Pri oblikovanju jednadžbi, kao obično, pretpostavljamo da su sile u štapovima vlačne:

$$\sum_{{(H)}}^{} \alpha_{0}^{} \alpha_{3}^{} \alpha_{4}^{}$$

$$\sum_{{(H)}}^{} \alpha_{0}^{} \alpha_{3}^{} \alpha_{4}^{}$$

a zatim uvrštavamo vrijednosti s odgovarajućim predznakom.

Rješavanjem sustava dobivamo iznose i smjerove sila,

S₃ = 194, 64 kN        i        S₄ = - 158, 11 kN

(S₃ je vlačna, a S₄ tlačna sila), pa su njihove komponente

S₃^h = 62, 5 kN,            S₃^v = 187, 5 kN,

S₄^h = - 50 kN,            S₄^v = - 150 kN.

Rješavanje sustava jednadžbi možemo izbjeći spretnim odabirom osi na koje projiciramo sile; prikazat ćemo to na primjeru čvora  G.

Postavimo li os $\eta$ okomito na os štapa  2, sila S₂ ne ulazi u izraz za ravnotežu projekcija sila na os $\eta$, pa je jedina nepoznanica sila S₁:

$$\sum_{{(G)}}^{}$$F_$\eta$ = 0        S₀ ^. cos$$\gamma_{0}^{}$$ - S₁ ^. cos$$\gamma_{1}^{}$$ = 0 ;

u tom su izrazu:

$\gamma_{0}^{}$ = $\alpha_{0}^{}$ - $\beta$	kut između osi $\eta$ i osi štapa  0,
$\gamma_{1}^{}$ = $\alpha_{1}^{}$ - $\beta$	kut između osi $\eta$ i osi štapa  1, a
$\beta$ = ${\frac{{\pi}}{{2}}}$ - $\alpha_{2}^{}$	kut između horizontale i osi $\eta$.

Dobivamo, dakle,

S₁ = - $${\frac{{\cos\gamma_0}}{{\cos\gamma_1}}}$$ S₀ = - 146, 74 kN    i, odavde,    S₁^h = - 65, 625 kN,    S₁^v = - 131, 25 kN.

Silu S₂ možemo sada izračunati, primjerice, iz

$$\sum_{{(G)}}^{}$$F_x = 0        S₀^h - S₁^h + S₂^h = 0,

pa je

S₂^h = 46, 875 kN    i, nadalje,    S₂^v = 93, 75 kN,    S₂ = 104, 82 kN.

U karakterističnim su točkama momenti:

M_D = A^{v .} 1 = 110 kNm,

M_E = A^{v .} 3 + S₁^{v .} 2 = 110 ^. 3 - 131, 25 ^. 2 = 67, 5 kNm,

M_F = B^{v .} 1 = 100 kNm,

M_C = B^{v .} 3 + S₄^{v .} 2 = 100 ^. 3 - 150 ^. 2 = 0 kNm.

U zglobu C moment je, naravno, jednak nuli. Za razliku od prvog primjera, momentni se dijagram sada lomi u toj točki, jer u njoj djeluje koncentrirana sila, rezultanta (vertikalne komponente) sile S₃ i sile K₂.