Primjer 2.

Na nosaču iz prethodnog zadatka grafoanalitičkim postupkom odrediti dijagram momenata ( K₁ = 100 kN, K₂ = 50 kN).

Dijagram momenata u gredi zadanog nosača konstruiramo superpozicijom dijagrama na zamjenjujućoj prostoj gredi i dijagrama momenata sila u štapovima u odnosu na os grede.

Iz izraza za ravnotežu momenata oko točaka B i A dobivamo A₀^v = 90 kN i B₀^v = 60 kN. Momenti na zamjenjujućoj gredi ispod sila K₁ i K₂ sada su M⁰_K1 = 90 ^. 3 = 270 kN i M⁰_K2 = 60 ^. 4 = 240 kN, pa možemo nacrtati dijagram  M⁰.

Od tog dijagrama treba oduzeti dijagram momenata u gredi izazvanih silama u štapovima, pa će konačni dijagram biti graf funkcije zadane po segmentima:

M(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} M^0(x), & x_A \leq x \leq ... ...x_F \leq x \leq x_H, \\ M^0(x), & x_G \leq x \leq x_B. \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{ll} M^0(x), & x_A \leq x \leq x_D, \\ M^0(x) - ... ...2 (x), & x_F \leq x \leq x_H, \\ M^0(x), & x_G \leq x \leq x_B. \end{array}$$

Sa S₁^h, S₀^h i S₂^h označene su horizontalne komponente sila u štapovima 1, 0 i 2, a sa y₁(x), y₀(x) i y₂(x) udaljenosti točaka segmenata D- E, E- F i F- G grede nosača od odgovarujućih štapova, mjerene po vertikali, pa je - S_k^{h .} y_k(x) moment sile u štapu k u točki s apscisom x na ojačanom dijelu grede. Ti su izrazi izvedeni za stvarni, u ovom primjeru tlačni, smjer djelovanja sila S_k.

Zaključujemo da su y_k(x) $\mapsto$ M^S_k(x) = S_k^{h .} y_k(x), k $\in$ {$\mathsf {0}$,$\mathsf {1}$,$\mathsf {2}$}, afina preslikavanja koja pojedinim segmentima grede pridružuju segmente dijagrama momenata u njima, izazvanih silama u štapovima. Osi tih preslikavanja u polju nosača pravci su na kojima leže štapovi 0, 1 i 2, dok je u polju momenata os uvijek nulta linija momenata M⁰.

Poznati je par pridruženih točaka par ( C,M⁰_C), jer mora biti M_C = 0. Točka C leži na dijelu grede između točaka E i F, u kojem momenti nastaju zbog sile u štapu  0, pa će odgovarujući segment momentnog dijagrama biti slika tog dijela grede u `srednjem' preslikavanju, kojem je os pravac štapa  0. Kako je dio E- F paralelan sa štapom  0, njegova će slika, koja prolazi kroz M⁰_C, biti horizontalna, paralelna s nultom linijom momenata.

U dijelu grede između točaka D i E momente uzrokuje sila u štapu  1. Kako neposredno lijevo i neposredno desno od točke E konačni momenti moraju biti jednaki, slika točke E u `lijevom' preslikavanju, kojem je os pravac štapa  1, mora se podudarati sa slikom te točke u `srednjem' preslikavanju, pa je `lijevo' preslikavanje zadano parom ( E,M^S_E). U točki D moment je sile u štapu  1 jednak nuli, pa su poznate dvije točke kojima je određen segment momentnog dijagrama koji je slika dijela  D- E.

Na temelju sličnog zaključivanja konstruiramo segment momentnog dijagrama koji je slika dijela F- G grede u `desnom' afinom preslikavanju, čija je os pravac štapa  2.

Konačni dijagram M razlika je dijagrama M⁰ i  M^S.

Dijagram poprečnih sila u gredi zadanoga nosača možemo također konstruirati superpozicijom dijagrama u zamjenjujućoj gredi i dijagrama utjecaja sila u štapovima.

Dijagram poprečnih sila na zamjenjujućoj prostoj gredi prikazan je na slici punom linijom:

T⁰(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l@{}lll} -A_0^v & = -90 \math... ... \\ B_0^v & = 60 \mathrm{kN}, & & x_{K_2} < x < x_B. \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l@{}lll} -A_0^v & = -90 \mathrm{kN}, & & x_A < x ... ... x_{K_2}, \\ B_0^v & = 60 \mathrm{kN}, & & x_{K_2} < x < x_B. \end{array}$$

Tom dijagramu treba na odgovarajućim segmentima dodati ili od njega oduzeti doprinos vertikalnih komponenti sila u štapovima 1 i 2, jer je, uz uvažavanje tlačnog smjer sila u štapovima,

za     x_D < x < x_E        T(x) = T⁰(x) + S₁^v,

za     x_F < x < x_G        T(x) = T⁰(x) - S₂^v.

Izrazi su izvedeni iz uvjeta ravnoteže dijela nosača dobivenog presijecanjem odgovarajućeg štapa i grede ispod njega. Primjerice, nakon presijecanja štapa  1 i grede između sile K₁ i točke E, uvjet ravnoteže vertikalnih (komponenti) sila koje djeluju na lijevi dio,

$$\sum_{{\mathrm{lijevi}}}^{}$$F_y = 0,    to jest,    A₀^v - K₁ - S₁^v + T(x) = 0,

daje

T(x) = - A₀^v + K₁ + S₁^v,    odnosno,    T(x) = T(x)⁰ + S₁^v.

Doprinose sila S₁^v i S₂^v odredit ćemo grafički, no, sila u barem jednom štapu (ili jedna njena komponenta) mora prethodno biti poznata. Lako je izračunati veličinu sile S₀:

S₀ = $${\frac{{M^0_C}}{{y_C}}}$$ = $${\frac{{A_0^v\cdot 5 - K_1\cdot 2}}{{2}}}$$ = 125 kN,

a znamo da je ona tlačna.

U nastavku ćemo uvijek izdvajati lijevi dio presječenog nosača i smjer djelovanja sila u štapu i gredi crtati u odnosu na njega. Tlačnu silu S₀ crtamo, stoga, usmjerenu ulijevo.

Iz uvjeta ravnoteže projekcija sila u čvorovima H i  I na horizontalnu os slijedi odmah da su horizontalne komponente sila S₁ i S₂ jednake sili S₀,

S₁^h = S₂^h = S₀,

ili, vektorski, u odnosu na odgovarajući izdvojeni lijevi dio nosača,

$$\vec{{S}}_{1}^{h}$$ = $$\vec{{S}}_{2}^{h}$$ = $$\vec{{S}}_{0}^{}$$.

Uz poznatu horizontalnu komponentu i poznate pravce djelovanja, grafičko je određivanje sila $\vec{{S}}_{1}^{}$ i $\vec{{S}}_{2}^{}$ i njihovih vertikalnih komponenti $\vec{{S}}_{1}^{v}$ i $\vec{{S}}_{2}^{v}$ trivijalno.⁵

Pri zbrajanju dvaju dijagrama, jedan dijagram zrcalimo oko nulte linije, čime omogućavamo preklapanje/poništavanje veličina suprotnoga, kao i dodavanje veličina istog predznaka. Veličinu S₁^v, koju na segmentu (x_D, x_E) dodajemo poprečnoj sili proste grede, nanosimo stoga (na crtežu prikazano isprekidanom linijom) ispod nulte linije poprečnih sile, na negativnu stranu dijagrama na zamjenjujućoj gredi. Veličinu S₂^v oduzimamo od poprečnih sila zamjenjujuće grede, pa je, na segmentu (x_F, x_G), nanosimo (isprekidanom linijom) iznad nulte linije, na pozitivnu stranu dijagrama.

Na segmentu grede između točke D i sile K₁, primjerice, pozitivni doprinos sile S₁^v dijelom je preklopljen preko negativne poprečne sile na prostoj gredi, pa je preostali njegov dio konačna pozitivna poprečna sila na tom segmentu. Na sljedećem je pak segmentu, između sile K₁ i točke E, poprečna sila na zamjenjućoj gredi pozitivna, pa joj se pozitivni doprinos sile S₁^v jednostavno dodaje.

... trivijalno.⁵

Podsjećamo usput i na analitičke izraze za iznose vertikalnih komponenti:

S₁^v = S₁^{h .} tg $$\alpha_{1}^{}$$ = S₀ ^. tg $$\alpha_{1}^{}$$        i        S₂^v = S₂^{h .} tg $$\alpha_{2}^{}$$ = S₀ ^. tg $$\alpha_{2}^{}$$,

gdje su $\alpha_{1}^{}$ i $\alpha_{2}^{}$ oštri kutevi između horizontale i osi štapova 1 i  2.