Integracija supstitucijom

Sljedeća metoda koja olakšava traženje primitivne funkcije je metoda supstitucije. Ona se temelji na sljedećem teoremu.

Teorem 44   Neka je $f:[a,b]\rightarrow R$ neprekidna funkcija na $[a,b],$ i neka je $\varphi(x):J\rightarrow R$ strogo monotona funkcija klase $C^1(J)$ takva, da je $a=\varphi(\alpha), b=\varphi(\beta).$ Tada je

$$\fbox{$\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.$}$$

Dokaz. $\heartsuit$

Ovaj teorem vrijedi i ako $\varphi$ nije strogo monotona, već samo po dijelovima strogo monotona, tj. ako se $J$ može podijeliti na konačno mnogo segmenata takvih, da je na svakom od njih $\varphi$ strogo monotona.

Primjeri. 1.

$$% latex2html id marker 46924 \int \frac{x\,dx}{1+x^4} =\left... ...dx=dt \end{array}\right\vert= \frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t^2}=$$

$$\frac{1}{2}{\rm Arctg}\,t+C=\frac{1}{2}{\rm Arctg}\,x^2+C.$$

2.

$$% latex2html id marker 46928 \int \frac{dx}{x\ln^2x} =\left\... ...ac{xdt}{xt^2}=\int \frac{dt}{t^2}=-t^{-1}+C=-\frac{1}{\ln x}+C.$$

3.

$$% latex2html id marker 46930 \int \sqrt{x^2+4}\,dx =\left\ve... ...nd{array}\right\vert=4\int \sqrt{{\rm sh}^2t+1}{\rm ch}\,t\,dt=$$

$$4\int {\rm ch}^2t\,dt=4\int (\frac{1}{2}+\frac{{\rm ch}\,2t}{2})\,dt=$$

$$2t+{\rm sh}\,t+C=2{\rm Arsh}\,\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+C.$$

Ako je funkcija parametarski zadana

$$x = x(t)$$

$$y = y(t), \hspace{2cm} t\in [t_1,t_2 ],$$

onda je $f(x)=y(t),$ $dx=x'(t)\,dt,$ pa je

$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_{t_1}^{t_2} y(t)x'(t)\,dt.$$

Primjer 8.7   Izračunajmo površinu kruga radiusa $r.$

Rješenje. Parametarske jednadžbe kružnice su

$$x = r\cos t$$

$$y = r\sin t, \hspace{2cm} t\in [0,2\pi ],$$

pa je površina kruga

$$P=2\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx=2\int_{\pi}^0 r\sin t(-r\sin t)\,dt=$$

$$-2r^2\int_{\pi}^0 \sin^2t\,dt= -2r^2\int_{\pi}^0 (\frac{1}{2}-\frac{\cos 2t}{2})\,dt=$$

$$-2r^2\left[\frac{1}{2}t-\frac{\sin 2t}{4}\right]_{\pi}^0=r^2\pi.$$

Ako je dana krivulja u polarnom koordinatnom sustavu u ravnini jednadžbom

$$r=r(\varphi),$$

onda je površina sektora između dva kuta

$$P=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2(\varphi)\,d\varphi.$$

Primjer 8.8   Naći površinu četverolisne djeteline, zadane formulom

$$r=a\sin 2\varphi.$$

Rješenje.

$$P=2\int_0^{\pi/2} a^2\sin^22\varphi\,d\varphi= 2a^2\int_0^{\pi/2} (\frac{1}{2}-\frac{\cos 4\varphi}{2})\,d\varphi=$$

$$2a^2\left[\frac{1}{2}\varphi-\frac{\sin 4\varphi}{8}\right]_0^{\pi/2}= \frac{a^2\pi}{2}.$$