Jacobijeva metoda

Pretpostavimo da su elementi na glavnoj dijagonali matrice $A$ različiti od nule (ako je potrebno, premještanjem redaka u regularnoj matrici se to uvijek može postići). Rastavimo $A$ kako slijedi

$$A = L + D + R,$$

gdje je

$$% latex2html id marker 38594 L = \left[ \begin{array}{ccccc... ...n\,1} & a_{n\,2} & \cdots & a_{n\,n-1} & 0 \end{array}\right],$$

$$% latex2html id marker 38596 D = \left[ \begin{array}{cccc}... ... & a_{n-1\,n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right].$$

Tako su $L$ donja, $R$ gornja trokutasta s nulama na glavnoj dijagonali, a $D$ je dijagonalna matrica. Ako stavimo

$$B = D,\hspace{1cm}C = -(L+R),$$

imamo iterativni postupak oblika

$$D\,\boldsymbol{x}^{(k+1)} = -(L+R)\,\boldsymbol{x}^{(k)} + \boldsymbol{b}.$$

Budući da su elementi na glavnoj dijagonali matrice $A,$ a prema tome i matrice $D$ različiti od nule, postoji $D^{-1}.$ Inverz od dijagonalne matrice se vrlo lako računa. Iz $D=[\delta_{ij}\,a_{ii}]$ slijedi $D^{-1}=[\frac{\delta_{ij}}{a_{ii}}].$ Tako gornju jednadžbu možemo pomnožiti s lijeva s $D^{-1},$ pa imamo sljedeći algoritam.

Algoritam 5   (Jacobijeva metoda) Proizvoljno izaberemo početnu aproksimaciju

$$\boldsymbol{x}^{(0)}=\left[ \begin{array}{c} x_1^{(0)} \\ x_2^{(0)} \\ \vdots \\ x_n^{(0)} \end{array} \right],$$

i zatim računamo sljedeće aproksimacije $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$ po formuli

$$\boldsymbol{x}^{(k+1)} = - D^{-1}(L+R)\,\boldsymbol{x}^{(k)} + D^{-1}\,\boldsymbol{b},\hspace{1cm}k=0,1,2,\ldots\ ,$$

odnosno

$$x_{1}^{(k+1)} = \alpha_{1\,2}\,x_{2}^{(k)} + \alpha_{1\,3}\,x_{3}^{(k)} + \cdots + \alpha_{1\,n}\,x_{n}^{(k)} + \beta_1$$

$$x_{2}^{(k+1)} = \alpha_{2\,1}\,x_{1}^{(k)} + \alpha_{2\,3}\,x_{3}^{(k)} + \cdots + \alpha_{2\,n}\,x_{n}^{(k)} + \beta_2$$

$$\cdots$$

$$x_{n}^{(k+1)} = \alpha_{n\,1}\,x_{1}^{(k)} + \alpha_{n\,2}\,x_{2}^{(k)} + \cdots + \alpha_{n\,n-1}\,x_{{n-1}}^{(k)} + \beta_n,$$

gdje je $\alpha{}_{ij}=-\frac{a_{ij}}{a_{ii}}, \beta{}_i=\frac{b_i}{a_{ii}}.$

Budući da dijelimo s $a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn},$ poželjno je, ako je to moguće, poredati retke u matrici $A$ (jednadžbe u sustavu) tako da svaki element na glavnoj dijagonali bude po apsolutnoj vrijednosti veći od sume apsolutnih vrijednosti ostalih elemenata u retku u kojem se nalazi.