Relativna greška

$$\frac{\vert z-z'\vert}{z}.$$

U zapisu pomoću pomičnog zareza je

$$z' = d.ddd\ldots{}d\times \beta{}^e,$$

pa je relativna greška

$$\frac{\vert z-d.ddd\ldots{}d\times \beta{}^e\vert}{z}.$$

Ako je $z'$ najbolja moguća aproksimacija broja $z,$ onda je apsolutna greška (brojnik ovog razlomka) najviše

$$\underbrace{0.000\ldots{}0}_{p\,\text{nula}}\frac{\beta{}}{2} \times \beta{}^e = \frac{\beta{}}{2}\,\beta{}^{-p} \times \beta{}^e.$$

Brojevi oblika $d.ddd\ldots{}d\times \beta{}^e$ se nalaze između $\beta{}^e$ i $\beta{}\,\beta{}^e.$ Prema tome najveća moguća relativna greška je

$$\frac{\frac{\beta{}}{2}\,\beta{}^{-p} \times \beta{}^e}{\beta{}^e} = \frac{\beta{}}{2}\,\beta{}^{-p} = \varepsilon{}.$$

Ovaj broj se zove kompjuterski epsilon. Najmanja moguća relativna greška je

$$\frac{\frac{\beta{}}{2}\,\beta{}^{-p} \times \beta{}^e}{\beta{}\,\beta{}^e} = \frac{1}{2}\,\beta{}^{-p}.$$

Tako je

$$\frac{1}{2}\,\beta{}^{-p} \leqslant{} \frac{\vert z-d.ddd\ldots{}d\times \beta{}^e\vert}{z} \leqslant{} \frac{\beta{}}{2}\,\beta{}^{-p}.$$

Osim relativnom greškom, grešku možemo mjeriti i jedinicom ulp (units in the last place). Ako je format $(\beta{},p),$ onda se greška u ulpima izražava formulom

$$\left\vert\frac{z}{\beta{}^e} - d.ddd\ldots{}d\right\vert\,\beta{}^{p-1}.$$

Primjer 3.24   Neka je format $(10,3),$ $z=0.0314,$ i $z'=3.12\times{}10^{-2}.$ Naći grešku u ulpima.

Rješenje. $d.dd = 3.12.$ Zatim $e=-2.$ Odatle

$$\left\vert\frac{0.0314}{10^{-2}} - 3.12\right\vert\,10^{2} = 0.02 \times{} 10^2 = 2\,$$ulpa$$.$$

Greška u ulpima omogućava da odredimo broj nepouzdanih znamenki u približnoj vrijednosti $z'$ broja $z.$ Ako je greška $n$ ulpa, onada je broj nepouzdanih znamenki

$$\log_\beta{}n.$$

Primjer 3.25   U formatu $(10,3)$ treba izračunati $x-y,$ ako je $x=10.1,$ $y=9.93,$ i odrediti broj nepouzdanih znamenki približne vrijednosti.

Rješenje. Prilikom zbrajanja ili odbijanja manji broj svodimo na potenciju baze većega, i zatim zbrajamo samo signifikande

$$x = 10.1 = 1.01\times{}10^1$$   i$$\quad y = 9.93 = 0.993\times{}10^1.$$

Odatle

$$x' = 1.01\times{}10^1$$   i$$\quad y = 0.99\times{}10^1.$$

Tako je

$$x' - y' = 0.2\times{}10^1 = 2.00\times{}10^{-1},$$

dok je točna vrijednost

$$x - y = 0.17.$$

Greška u ulpima je prema tome

$$\left\vert\frac{0.17}{10^{-1}} - 2.00\right\vert\,10^2 = 0.3\times{}10^2 = 30$$ ulpa.

Budući da je

$$1 < \log 30 < 2,$$

nepouzdane su dvije znamenke.

U ovom primjeru je $x'=x,$ a greška zaokruživanja broja $y'$ je

$$\left\vert\frac{9.93}{10^0} - 9.90\right\vert\,10^2 = 3$$ ulpa.

Dakle u

$$y' = 9.90\times{}10^0$$

je jedna znamenka nepouzdana. Ipak prilikom odbijanja se broj nepouzdanih znamenki povećao. Dapače, kad se odbijaju bliski brojevi može se dogoditi da niti jedna znamenka u rezultatu nije pouzdana.

Taj problem se može ublažiti tako da se račun izvede s dodatnom znamenkom (guard digit).

Primjer 3.26   Riješimo primjer 3.25 pomoću dodatne znamenke.

Rješenje. Tada je

$$x' = 1.010\times{}10^1$$   i$$\quad y' = 0.993\times{}10^1,$$

$$x' - y' = 0.017\times{}10^1,$$

pa je

$$(x' - y')' = 0.017\times{}10^1 = 1.70\times{}10^{-1},$$

što je točna vrijednost.

Primjer 3.27   Neka je format $(10,3),$ $b=3.34,$ $a=1.22,$ i $c=2.28.$ Treba izračunati $b^2-4ac.$

Rješenje.

$$b^2 = 11.1556,\quad 4\,a\,c = 11.1264,\quad b^2 - 4\,a\,c = 0.0292,$$

$${b^2}' = 1.12\times{}10^1,\quad (4\,a\,c)' = 1.11\times{}10^1,\quad (b^2)' - (4\,a\,c)' = 0.1 = 1.00\times{}10^{-1}.$$

Dakle greška je

$$\left\vert 1.00 - \frac{0.0292}{10^{-1}}\right\vert\,10^2 = 70.8\,$$ulpa$$.$$

Prema tome dvije znamenke su nepouzdane.

Ako se radi s dodatnom znamenkom, greška postaje samo $8$ ulpa.

Osim računanjem s dodatnom znamenkom, greška se može umanjiti rearanžiranjem formule.

Primjer 3.28   Ako je $b^2\gg 4ac,$ i $b>0,$ onda je $\sqrt{b^2-4ac}\approx b,$ pa formula

$$\frac{-b + \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$

sadrži odbijanje bliskih brojeva, što može dovesti do velike pogreške. U ovom slučaju možemo racionalizirati brojnik

$$\frac{-b + \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a} = \frac{-b + \sqrt{b^2-4\,a... ...b^2-4\,a\,c}}{-b - \sqrt{b^2-4\,a\,c}} = \frac{2\,c}{-b - \sqrt{b^2-4\,a\,c}}.$$

Primjer 3.29   Heronova formula za računanje površine trokuta glasi

$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},$$

gdje je

$$s = \frac{a+b+c}{2}.$$

Neka je dan trokut takav da je $a\approx b+c.$ Tada ova formula daje loš rezultat za površinu. Znatno bolja je formula

$$P_1 = \frac{\sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}{4}.$$

Primjer 3.30   Format je $(10,3).$ Treba izračunati $x^2-y^2,$ ako je $x=3.34,$ $y=3.33.$

Rješenje. Točan rezultat je

$$x^2 = 11.1556,\quad y^2 = 11.0889,\quad x^2-y^2 = 0.0667\ .$$

Računanje po formuli $x^2-y^2$ daje

$$(x^2)' = 1.12\times 10^1,\quad (y^2)' = 1.11\times 10^1,\quad (x^2)'-(y^2)' = 0.01\times 10^1 = 0.1,$$

$$((x^2)'-(y^2)')' = 1.00\times 10^{-1}.$$

Ovaj račun daje grešku od

$$\vert 1 - 0.667\vert\times 10^2 = 33$$ ulpa$$.$$

No, ako računamo po formuli $(x-y)(x+y),$ onda imamo

$$x-y = 0.01 \Rightarrow (x-y)' = 1.00\times 10^{-2},$$

$$x+y = 6.67 \Rightarrow (x+y)' = 6.67\times 10^{0}.$$

Tako je

$$(x-y)'\,(x+y)' = 6.67\times 10^{-2},$$

što je točan rezultat.

Primjer 3.31   Format je $(10,3).$ Treba izračunati $x+y_1+y_2+\cdots+y_{10},$ gdje je $x=1.00,$ $y_1=y_2=\cdots=y_{10}=0.00493.$

Rješenje. Točan rezultat je

$$x+y_1+y_2+\cdots+y_{10} = 1.0493\ .$$

Ako računamo po formuli

$$((\cdots(x + y_1) + y_2) + \cdots ) + y_{10}),$$

onda imamo

$$x' = 1.00\times 10^0,\qquad y_1' = 0.00\times 10^0,$$

jer se prilikom zbrajanja ili odbijanja brojevi poravnavaju po eksponentu najvećega, i zatim zaokružuju. Tako imamo

$$x' + y_1' = 1.00\times 10^0 \Rightarrow (x' + y_1')' = 1.00\times 10^0.$$

Nakon toga, na isti način

$$((x' + y_1')' + y_2')' = 1.00\times 10^0,$$

itd. Na kraju imamo

$$((\cdots(x' + y_1')' + y_2')' + \cdots )' + y_{10}')' = 1.00\times 10^0.$$

Ako računamo tako da najprije zbrojimo male brojeve, pa zatim dodamo $x,$ onda imamo

$$y_1 = \cdots = y_{10} = 4.93\times 10^{-3},$$

pa je

$$y_1' = \cdots = y_{10}' = 4.93\times 10^{-3}.$$

Odatle

$$((\cdots(y_1' + y_2')' + y_3')' + \cdots )' + y_{10}')' = 49.3\times 10^{-3} = 4.93\times 10^{-2} = 0.0493\times 10^0.$$

Da se ovaj broj pribroji broju $x=1.00\times 10^0,$ mora ga se svesti na potenciju s eksponentom $0,$ zaokružiti ga i zatim dodati $x.$ To znači

$$((\cdots(y_1' + y_2')' + y_3')' + \cdots )' + y_{10}')' + x' = 0.05\times 10^0 + 1.00\times 10^0 = 1.05\times 10^0,$$

pa je i

$$((\cdots(y_1' + y_2')' + y_3')' + \cdots )' + y_{10}')' + x' = 1.05\times 10^0.$$