Baza

Definicija 12   Neka je $V$ vektorski prostor. Bazom u vektorskom prostoru $V$ zovemo uređenu $k$-torku vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k$ koja ima sljedeća svojstva.

1. Vektori $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k$ su linearno nezavisni.
2. Vektori $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k$ razapinju vektorski prostor $V$, tj. svaki vektor iz $V$ može se napisati kao linearna kombinacija vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k.$

Vidjeli smo da se vektorstupci u ${\cal R}_{2}$ i ${\cal R}_{3}$ mogu identificirati s radijvektorima, i prema tome crtati u ravnini i prostoru. U ravnini, preciznije u vektorskom prostoru radijvektora u ravnini, bilo koja dva nekolinearna vektora čine bazu. Na slici 1.8 se vidi kako se vektor $\boldsymbol{x}$ može prikazati kao linearna kombinacija dva nekolinearna vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2.$

Slika 1.8: Baza u ${\cal R}_{2}.$

Također, u vektorskom prostoru radijvektora u prostoru bilo koja tri nekomplanarna vektora čine bazu. Na slici 1.9 se vidi kako se vektor $\boldsymbol{x}$ može prikazati kao linearna kombinacija tri nekomplanarna vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3.$

Slika 1.9: Baza u ${\cal R}_{3}.$

Primjer 1.7   Neka su zadani vektori u ${\cal R}_{n}$

$$\boldsymbol{e}_1=\left[\begin{array}... ...mbol{e}_n=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right].$$

Ovi vektori čine bazu u ${\cal R}_{n},$ i ta baza se zove kanonska baza u ${\cal R}_{n}.$

Rješenje. Zaista,

$$\left[\begin{array}{c} a_{1} \\ a_... ...a_{1}\,\boldsymbol{e}_1+a_{2}\,\boldsymbol{e}_2+\cdots+a_{n}\,\boldsymbol{e}_n,$$

i također

$$\lambda_1\left[\begin{array}{c} 1 \... ...} \right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right]$$

povlači $\lambda_1= \lambda_2= \ldots=\lambda_n=0.$ Prema tome ovi vektori razapinju ${\cal R}_{n},$ i linearno su nezavisni.

Primjer 1.8   Neka su zadane matrice u ${\cal M}_{mn}$

$$E_{11}= \left[ \begin{array}{cccc} ... ... \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right] .$$

One čine bazu u ${\cal M}_{mn},$ i ta baza se zove kanonska baza u ${\cal M}_{mn}.$

Rješenje. Zaista,

$$\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & ... ...vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right] +$$

$$\cdots+a_{mn}\left[\begin{array}{ccc... ...s & 1 \end{array} \right]=a_{11}\,E_{11}+a_{12}\,E_{12}+\cdots+a_{mn}\,E_{mn},$$

i također

$$\lambda_{11}\left[\begin{array}{cccc... ... \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array} \right]$$

$$=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_... ... \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right]$$

povlači $\lambda_{11}= \lambda_{12}= \ldots=\lambda_{mn}=0.$ Prema tome ovi vektori razapinju ${\cal M}_{mn},$ i linearno su nezavisni.

Teorem 2   Svaki vektor se na jedinstven način prikazuje kao linearna kombinacija vektora baze.

Dokaz. Neka je $V$ vektorski prostor, neka je $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k$ baza u $V$ i neka je $\boldsymbol{x}\in V$ proizvoljan. Zbog drugog svojstva baze imamo

$$\boldsymbol{x}=\lambda_1\,\boldsymbol{v}_1 +\lambda_2\,\boldsymbol{v}_2 +\ldots +\lambda_k\,\boldsymbol{v}_k.$$

Pretpostavimo da je također

$$\boldsymbol{x}=\mu_1\,\boldsymbol{v}_1 +\mu_2\,\boldsymbol{v}_2 +\ldots +\mu_k\,\boldsymbol{v}_k.$$

Tada je

$$\textbf{0}=(\lambda_1-\mu_1)\,\boldsymbol{v}_1 +(\lambda_2-\mu_2)\,\boldsymbol{v}_2,\ldots +(\lambda_k-\mu_k)\,\boldsymbol{v}_k.$$

Zbog linearne nezavisnosti baze, slijedi

$$\lambda_1-\mu_1=0,\; \lambda_2-\mu_2=0,\; \ldots,\; \lambda_k-\mu_k=0.$$

Dakle, nije moguće da $\boldsymbol{x}$ ima dva različita prikaza u $V$ u odnosu na izabranu bazu. $\heartsuit$

Teorem 3   [1, str. 141] Neka je u vektorskom prostoru $V$ dano $m+1$ međusobno različitih vektora $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1},$ i neka se svaki od njih može napisati kao linearna kombinacija od $m$ vektora $\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\ldots,\boldsymbol{a}_{m}\in V.$ Tada su vektori $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1}$ linearno zavisni.

Dokaz. Teorem ćemo dokazati matematičkom indukcijom. Za $m=1$ tvrdnja vrijedi, jer iz $\boldsymbol{v}_1=\lambda \,\boldsymbol{a}_1$ i $\boldsymbol{v}_2=\mu\,\boldsymbol{a}_1$ slijedi

$$\mu\,\boldsymbol{v}_1-\lambda \,\boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$$

odakle

$$\boldsymbol{v}_1-\frac{\lambda}{\mu} \,\boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$$

pa su vektori $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}$ linearno zavisni. Ako je $\mu=0,$ onda se ne može dijeliti s $\mu,$ no u tom slučaju je $\boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$ pa su vektori $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}$ linearno zavisni jer vrijedi

$$0\,\boldsymbol{v}_1 + 1\,\boldsymbol{v}_2 = \textbf{0}.$$

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $k\leq m.$ Dokažimo da tvrdnja vrijedi i za $m+1.$ Po pretpostavci imamo

$$\lambda_{11}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{12}\,\boldsymbol{a}_2+ \cdots+ \lambda_{1n}\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_1$$

$$\lambda_{21}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{22}\,\boldsymbol{a}_2+ \cdots +\lambda_{2n}\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_2$$

$$\cdots$$

$$\lambda_{m+1\,1}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{m+1\,2}\,\boldsymbol{a}_2+\cdots +\lambda_{m+1\,m}\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_{m+1}$$

Kad bi svaki koeficijent uz $\boldsymbol{a}_1$ bio jednak nuli, onda bismo imali situaciju da su vektori $\boldsymbol{v}_i$ linearne kombinacije od $m-1$ vektora, pa bi po pretpostavci indukcije bili linearno zavisni. Stoga možemo pretpostaviti da je na primjer $\lambda_{11}\neq 0.$ Pomnožimo prvu jednadžbu s $-\lambda_{21}/\lambda_{11},$ i dodajmo je drugoj. Time vektor $\boldsymbol{a}_1$ iščezne iz druge jednadžbe. Zatim, pomnožimo prvu jednadžbu s $-\lambda_{31}/\lambda_{11},$ i dodajmo je trećoj. Time vektor $\boldsymbol{a}_1$ iščezne iz treće jednadžbe, itd. Nakon tog postupka druga, treća i ostale jednadžbe izgledaju ovako

$$\lambda_{22}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{23}'\,\boldsymbol{a}_3+ \cdots+ \lambda_{2n}'\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_2'$$

$$\lambda_{32}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{33}'\,\boldsymbol{a}_3+ \cdots +\lambda_{2n}'\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_3'$$

$$\cdots$$

$$\lambda_{m+1\,2}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{m+1\,3}'\,\boldsymbol{a}_3+\cdots +\lambda_{m+1\,m}'\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_{m+1}'.$$

Po pretpostavci indukcije slijedi da su vektori $\boldsymbol{v}_2',\ldots,\boldsymbol{v}_{m+1}'$ linearno zavisni. Pri tom je

$$\boldsymbol{v}_2' = \boldsymbol{v}_2 - \frac{\lambda_{21}}{\lamb... ...boldsymbol{v}_{m+1} - \frac{\lambda_{m+1\,1}}{\lambda_{11}}\,\boldsymbol{v}_1.$$

To znači da postoje brojevi $\alpha{}_2,\alpha{}_3,\ldots{},\alpha{}_{m+1},$ od kojih je barem jedan različit od nule, takvi da je

$$\alpha{}_2\,\boldsymbol{v}_2' + \alpha{}_3\,\boldsymbol{v}_3' + \cdots + \alpha{}_{m+1}\,\boldsymbol{v}_{m+1}' = \textbf{0},$$

odnosno vrijedi

$$-\left(\alpha{}_2\,\frac{\lambda_{21}}{\lambda_{11}} + \cdots{} +... ...,\boldsymbol{v}_3 + \cdots + \alpha{}_{m+1}\,\boldsymbol{v}_{m+1} = \textbf{0}$$

za barem jedan $\alpha{}_i$ različit od nule, pa su prema tome vektori $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1}$ linearno zavisni. Kako su time ispunjene pretpostavke aksioma matematičke indukcije, tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $m.$ $\heartsuit$

Posljedice.

1. Svaka četiri vektora u ${\cal R}_3$ su linearno zavisna.
   (Svaki se može napisati kao linearna kombinacija vektora kanonske baze, kojih ima tri)
2. Ako su vektori $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_k$ iz ${\cal R}_{n}$ linearno nezavisni, onda je $k\leq n.$
   (Kanonska baza ima $n$ elemenata)
3. Ako je svaki vektor iz ${\cal R}_{n}$ linearna kombinacija vektora $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n,$ onda su vektori $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n$ linearno nezavisni, i prema tome čine bazu.
   (Ako su linearno zavisni, onda onda se barem jedan od njih može prikazati kao linearna kombinacija ostalih $n-1.$ Tada se i svaki od $n$ vektora kanonske baze može prikazati kao linearna kombinacija od $n-1$ vektora, pa su vektori kanonske baze linearno zavisni. Kontradikcija)
4. Svaka baza u vektorskom prostoru $V$ ima jednaki broj elemenata.
   (Vektora u bazi ne može biti više nego što ih ima u kanonskoj bazi, jer bi u tom slu čaju bili linearno zavisni. Ne može ih biti niti manje, jer se svaki vektor kanonske baze može napisati kao njihova linearna kombinacija, pa bi u tom slučaju vektori kanonske baze bili linearno zavisni, što je u kontradikciji s definicijom baze.)
   Broj vektora u bazi se zove dimenzija prostora $V$ i označava s $\dim\,V.$
5. $\dim\,{\cal R}_{n}=n,\hspace{1cm} \dim\, {\cal M}_{mn}=m\cdot n.$