Jedna interpretacija Gaussovog postupka

Neka je dan štap (greda, ploča, štapna konstrukcija). Pod djelovanjem sila štap doživi progib. Interesira nas iz zadanog progiba naći sile koje koje su uzrokovale taj progib.

Odredimo $n$ točaka na štapu, koje ćemo zvati čvorovi. Promatrat ćemo štap kao da je njegova masa koncentrirana u tih $n$ točaka. Prema tome pretpostavljamo da sile mogu djelovati samo u čvorovima. Shodno tome i progib promatramo samo u čvorovima. Pri tom polazimo od dvije osnovne pretpostavke, koje u fizici predstavljaju princip superpozicije sila, a u matematici se to zove svojstvo linearnosti.

1. Pri istovremenom djelovanju dviju sila odgovarajući progibi se zbrajaju.
2. Koliko puta povećamo silu, toliko puta se poveća progib.

Označimo s $a_{ik}$ progib u čvoru $i$ uslijed djelovanja jedinične sile u čvoru $k$ (sl. 1.10).

Slika 1.10: Pomak štapa pod djelovanjem jedinične sile u čvoru $k.$

Označimo s $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ukupne progibe, a s $F_1,F_2,\ldots,F_n$ sile u čvorovima (sl. 1.11).

Slika 1.11: Pomak štapa pod djelovanjem različitih sila u čvorovima.

Tada vrijede sljedeće jednadžbe

$$a_{11}\,F_1+a_{12}\,F_2+\,\cdots\,+a_{1n}\,F_n = y_1$$

$$a_{21}\,F_1+a_{22}\,F_2+\,\cdots\, +a_{2n}\,F_n = y_2$$

$$\cdots$$

$$a_{n1}\,F_1+a_{n2}\,F_2+\,\cdots\, +a_{nn}\,F_n = y_n.$$

Vidimo da problem nalaženja sila iz zadanih progiba vodi na rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Pretpostavimo sada da u čvoru $1$ djeluje sila $R_{1k}$ takva da poništava utjecaj jedinične sile u čvoru $k$ na čvor $1.$

Slika 1.12: Pomak štapa pod djelovanjem jedinične sile u čvoru $k,$ nakon uravnoteženja u čvoru $1.$

U ovoj situaciji označimo s $a^{(1)}_{ik}$ progib u čvoru $i$ uslijed djelovanja jedinične sile u čvoru $k$ (sl. 1.12). Tada vrijedi

$$a^{(1)}_{ik}=R_{1k}\,a_{i1}+a_{ik},$$

za $i=1,2,\ldots,n.$ Specijalno u čvoru $1$ imamo

$$0=R_{1k}\,a_{11}+a_{1k}.$$

Odatle slijedi

$$R_{1k}=-\frac{a_{1k}}{a_{11}},$$

pa je

$$a^{(1)}_{ik}=a_{ik}-a_{i1}\,\frac{a_{1k}}{a_{11}},$$

za $i=2,3,\ldots,n.$ Ako tako učinimo za svaki $k=2,3,\ldots,n,$ dobijemo koeficijente nakon prvog koraka u Gaussovoj metodi. Slično bi se moglo pokazati da se koeficijenti nakon drugog koraka dobiju kad u prva dva čvora djeluju sile koje poništavaju progibe uslijed djelovanja jedinične sile u ostalim čvorovima, itd. Detaljnije o tome u [8].