Greenova funkcija

Promatrajmo ravnotežu žice, učvršćene na rubovima, pod utjecajem koncentrirane sile $f=1$ u točki $\xi.$ Označimo njezin progib s $u_{\xi}(x).$

Budući da zakon održanja ne vrijedi na cijeloj žici, već samo na dijelovima $\langle 0,\xi\rangle$ i $\langle \xi,\ell \rangle,$ progib $u_{\xi}(x)$ ćemo dobiti kao rješenje sljedećih rubnih problema

$$(p\,u')' - q\,u = 0,$$   za $$0<x<\xi,\quad\quad u(0)=0;$$

$$(p\,u')' - q\,u = 0,$$   za $$\xi<x<\ell,\quad\quad u(\ell)=0.$$

Svaki od ovih rubnih problema ima beskonačno mnogo rješenja (jer nije dan uvjet na rubu $\xi$). Iz zahtjeva da je $u_{\xi}(x)$ neprekidna, i da njezina derivacija ima skok prve vrste u točki $\xi$

$$(p\,u')(\xi+0) - (p\,u')(\xi-0) + 1 = 0$$

dobivamo jedno rješenje $u_{\xi}(x).$

Pustimo da jedinična sila klizi duž žice, tj. da $\xi$ varira od 0 do $\ell.$ Dobivamo funkciju od dvije varijable

$$G(x,\xi) = u_{\xi}(x).$$

Funkcija $G$ je definirana na $[0,\ell{}]\times{}[0,\ell{}],$ i zove se Greenova funkcija.

Primjer 2.7   Izračunajmo Greenovu funkciju za rubni problem

$$p\,u''(x) = 0,\hspace{1cm}u(0) = u(\ell{}) = 0.$$

Rješenje. Lijevo od točke $\xi$ je $u_{\xi}(x) = A\,x + B,$ a desno $u_{\xi}(x) = C\,x + D.$ Nakon uvrštenja rubnih uvjeta, imamo $u_{\xi}(x) = A\,x$ lijevo od $\xi,$ i $u_{\xi}(x) = C\,(x-\ell)$ desno od $\xi.$ Dakle Greenova funkcija je

$$G(x,\xi) = \left\{ \begin{array}{ll} A\,x, & 0<x<\xi, \\ C\,(x - \ell), & \xi<x<\ell. \end{array}\right.$$

Neodređene veličine $A$ i $C$ određujemo iz uvjeta neprekidnosti u točki $\xi$

$$A\,\xi = C\,(\xi - \ell{}),$$

i skoka prve derivacije

$$p\,C - p\,A + 1 = 0.$$

Odatle

$$A = \frac{\ell-\xi}{\ell\,p},\quad C = -\frac{\xi}{\ell\,p},$$

pa je

$$G(x,\xi) = \left\{ \begin{array}{ll... ..., \\ [2mm] \frac{\xi}{\ell\,p}\,(\ell-x), & 0<\xi<x<\ell. \end{array}\right.$$