Računanje Greenove funkcije

Neka su $u_1$ i $u_2$ dva linearno nezavisna rješenja homogene jednadžbe

$$(p\,u')' - q\,u = 0,$$

takva da $u_1$ zadovoljava homogeni rubni uvjet na lijevom rubu, a $u_2$ homogeni rubni uvjet na desnom rubu. Zbog homogenosti jednadžbe i rubnih uvjeta funkcije $C_1u_1$ i $C_2u_2$ zadovoljavaju jednadžbu i odgovarajući rubni uvjet ma kakvi bili brojevi $C_1$ i $C_2.$ Zato Greenovu funkciju tražimo u obliku

$$G(x,\xi) = \left\{ \begin{array}{ll... ...1\,u_1(x), & 0<x<\xi, \\ [2mm] C_2\,u_2(x), & \xi<x<\ell. \end{array}\right.$$

Uvjet neprekidnosti rješenja i skoka njegove prve derivacije daje sustav od dvije linearne algebarske jednadžbe za nepoznanice $C_1,C_2$

$$C_1\,u_1(\xi) - C_2\,u_2(\xi) = 0,$$

$$C_1\,u'_1(\xi) - C_2\,u'_2(\xi) = \frac{1}{p(\xi)}.$$

Ovaj sustav je nehomogen, pa ima rješenje ako i samo ako je determinanta sustava različita od nule. Determinanta sustava je

$$\left\vert \begin{array}{ll} u_1(\... ... & u_2(\xi) \\ [1mm] u'_1(\xi) & u'_2(\xi) \end{array}\right\vert = -W(\xi),$$

gdje je $W(x)$ determinanta Wronskoga

$$W(x) = \left\vert \begin{array}{ll} u_1(x) & u_2(x) \\ [1mm] u'_1(x) & u'_2(x) \end{array}\right\vert.$$

Ona je uvijek različita od nule (zbog linearne nezavisnosti $u_1,u_2,$ v. Matematika 2). Prema tome postoji rješenje i ono se može naći na pr. pomoću Cramerovog pravila

$$C_1 = \frac{-u_2(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)},\hspace{1cm}C_2 = \frac{-u_1(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)}.$$

Tako je

$$G(x,\xi) = \begin{cases}\frac{\texts... ...-u_1(\xi)}}{\textstyle{p(\xi)\,W(\xi)}}\,u_2(x),\quad 0<\xi<x<\ell. \end{cases}$$ (2.14)

Primjer 2.8   Naći Greenovu funkciju rubnog problema

$$% latex2html id marker 34679 \begin{cases} \displaystyle \... ...mm] u'(0) = 0,\qquad u(\ell) + k\,u'(\ell) = 0. \end{cases}$$

Rješenje. Rješenje diferencijalne jednadžbe je

$${{u(x)} = {x\,C_1 + {\frac{{{x}^3}\,C_1}{3}} + C_2}}.$$

Linearno nezavisne funkcije, koje zadovoljavaju rubne uvjete su prema tome

$$u_1(x) = 1,\quad u_2(x) = {\frac{3\,\ell + {{\ell}^3} + 3\,k + 3... ...,\left( 3 + {x^2} \right) } {3\,\ell + {{\ell}^3} + 3\,k + 3\,{{\ell}^2}\,k}}.$$

Iz uvjeta neprekidnosti i skoka prve derivacije u točki $\xi$ dobivamo sustav jednadžbi

$$C_1 - {\frac{C_2\,\left( 3\,\ell + {{\ell}^3} + 3\,k + 3\,{{\ell}... ... 3 + {\xi^2} \right)\right) }{3\, \ell + {{\ell}^3} + 3\,k + 3\,{{\ell}^2}\,k}} = 0,$$

$$-{\frac{{C_2}\,\left( -3 - 3\,{\xi^2} \right) } {3\,\ell + {{\ell}^3} + 3\,k + 3\,{{\ell}^2}\,k}} = 1 + {\xi^2}.$$

Rješenje tog sustava je

$$C_1 = {\frac{3\,\ell + {{\ell}^3} + 3\,k + 3\,{{\ell}^2}\,k - 3\... ...}}{3}},\quad C_2 = {\frac{3\,\ell + {{\ell}^3} + 3\,k + 3\,{{\ell}^2}\,k}{3}},$$

i prema tome Greenova funkcija je

$$% latex2html id marker 34702 G(x,\xi) = \begin{cases} \dis... ...+ {x^2} \right) }{3}},& \text{za $0<x<\xi<\ell.$} \end{cases}$$