Poglavlje 10
ZAKONI VELIKIH BROJEVA
CENTRALNI GRANIČNI TEOREM tko želi znati više

Najvažniji teoremi koji će se koristiti u matematičkoj statistici označeni su s važno. Preporučujemo i motivirajuće primjere za Čebiševljevu nejednakost, za zakon velikih brojeva i centalni granični teorem.

Čebiševljeva nejednakost, zakoni velikih brojeva i cenralni granični teoremi su važan alati koji otkrivaju svojstva diskretnih ili kontinuiranih slučajnih varijabli koje imaju konačno očekivanje i varijancu ako nam i nije poznata njihova distribucija.

Čebiševljeva nejednakost daje ocjenu vjerojatnosti da se vrijednosti slučajne varijable razlikuje od očekivanja više od zadonog ε.

Zakoni velikih brojeva su skup teorema koji se odnosi na granične vrijednosti niza slučajnih varijabli.

Neka su X1,X2,...,Xn nezavisna mjerenja slučajne varijable X u ponovljenim pokusima. Slučajne varijable X1,X2,..Xn su nezavisne i sve imaju istu distribuciju kao i slučajna varijabla X.
Može se uočiti da njihova aritmetička sredina X = -1
n(X1 + X2 + .. + Xn) ima svojstvo stabilnosti distribucije i da je vjerojatnost da se vrijednosti od X razlikuje od očekivanja više od zadonog ε jednaka nuli kad n →∞.

Centralni granični teoremi se odnose na granične zakone distribucije niza slučajnih varijabli. Suma velikog broja slučajnih varijabli ima standardnu normalnu distribuciju. Teoremi daju različite uvjete na pribrojnike u toj sumi.

10.1 ČEBIŠEVLJEVA NEJEDNAKOST

MOTIV 10.1

Neka slučajna varijabla ima varijancu (disperziju)
V ar(X) = 0.001. Kolika je vjerojatnost da slučajna varijabla odstupa od očekivanja manje od ε = 0.1?

TEOREM 10.1 (MARKOVLJEVA NEJEDNAKOST)

Neka je X slučajna varijabla s nenegativnim vrijednostima i konačnim očekivanjem E(X).
Tada a > 0 vrijedi

            E-(X-)
P (X ≥ a ) ≤  a

Dokaz:
Možemo pokazati za kontinuiranu slučajnu varijablu s funkcijom gustoće f(x) (analogno za diskretnu).
Kako X poprima samo nenegativne vrijednosti uočimo one x R(X),
0 x < a i x a.
Prema definiciji očekivanja: E(X) = 0xf(x)dx = 0axf(x)dx + axf(x)dx.
Budući su integrali pozitivni vrijedi nejednakost

        ∫ ∞
E (X ) ≥     xf(x)dx.
         a

Ako u podintegralnoj funkciji zamijenimo x s konstantom koja je uvijek manja od x, a x, zadržat će se znak nejednakosti

         ∫ ∞
E(X ) ≥ a    f (x )dx.
          a

Prema definiciji funkcije gustoće vjerojatnosti f(x) dobivamo traženu nejednakost:

E (X ) ≥ a⋅P (X ≥  a).

TEOREM 10.2 (POOPĆENJE MARKOVLJEVE NEJEDNAKOSTI)

Neka je X slučajna varijabla i h : R R nenegativna funkcija tako da postoji očekivanjem E(h(X)).
Tada a > 0 vrijedi

               E (h(X ))
P (h(X ) ≥ a ) ≤-------
                   a

Dokaz:
Kako h(X) poprima samo nenegativne vrijednosti uočimo one x R(X),
0 h(x) < a , za xD1 R, i h(x) a, za x D2 R :
Prema definiciji očekivanja funkcije slučajne varijable X:

           ∫                ∫                ∫
E (h(X )) =   ∞ h(x)f(x)dx =     h(x)f(x)dx +     h(x)f(x)dx.
            0                 D1              D2
Budući su integrali pozitivni vrijedi nejednakost
              ∫                 ∫

E (h(X))  ≥    D h(x)f(x)dx ≥ a  D  f(x)dx
                2                 2
          ≥   a⋅P (h(X) ≥ a).

TEOREM 10.3 važno
(ČEBIŠEVLJEVA NEJEDNAKOST, engl. Chebyshev’s
inequality)

Neka je X slučajna varijabla s konačnom varijancom V ar(X).
Tada ε > 0 vrijedi

                    V-ar(X-)
P(|X - E (X)| ≥ ε) ≤   ε2   ,

                        V-ar(X-)
P(|X - E (X )| < ε) ≥ 1 -   ε2   .

Ako označimo V ar(X) = σ2,E(X) = μ,ε = λσ, onda vrijedi

P (|X  - μ| ≥ λ σ) ≤ 1-,
                   λ2

                      1
P(|X - μ| < λσ) ≥ 1-  -2.
                      λ

Dokaz:
(a) Dokaz pomoću generalizirane Markovljeve nejednakosti.
Pretpostavka teorema je da X ima varijancu tj. ima očekivanje
E((X - E(X)2) = V ar(X) pa možemo primijeniti teorem za nenegativnu funkciju h(x) = (x - E(X))2.
Vrijedi nejednakost P((X - E(X))2 a) E((X---E-(X-))2)-
       a, a > 0.
Budući je P((x - E(X))2 a) = P(|X - E(X)|≥√a--), vrijedi nejednakost

                √--   E-((X---E-(X))2)
P(|X - E (X)| ≥  a ) ≤       a        , ∀a > 0.

Tada ε > 0 vrijedi

P(|X - E (X )| ≥ ε) ≤ V-ar(2X-).
                       ε

(b) Dokaz za diskretnu slučajnu varijablu (bez generalizirane Markovljeve nejednakosti)
Neka je X diskretna slučajna varijabla sa slikom R(X) = {x1,x2,...} i neka je f(x) njena funkcija vjerojatnosti.
Pretpostavka teorema je da X ima konačnu varijancu (i očekivanje).
V ar(X) = xi(xi - (E(X))2f(xi).
Uočimo one xi R(X) za koje je |xi - (E(X)| < ε i one za koje je
|xi - (E(X)|≥ ε.

                 ∑                   2            ∑                  2
V ar(X )  ≥               (xi - (E(X )) f(xi)+            (xi - (E (X )) f(xi)
             xi:|xi- (E (X )|<ε                    xi:|xi-(E(X)|≥ε
         ≥       ∑       (x - (E(X ))2f(x ).
                           i             i
             xi:|xi- (E (X )|≥ε

Zamjenom svakog člana sume s manjom konstantom ε, nejednakost se zadržava pa vrijedi:

               ∑                        ∑
V ar(X ) ≥             ε2f(xi) ≥ ε2 ⋅           f (xi).
          xi:|xi- (E(X )|≥ε             xi:|xi-(E(X )|≥ε

Suma xi:|xi-(E(X)|≥εf(xi) je prema definiciji funkcije distribuije  jednaka P(|X - (E(X)|≥ ε) i dobivamo konačnu nejednakost:

Var(X ) ≥ ε2 ⋅P (|xi - (E (X )| ≥ ε).

PRIMJER 10.1 motiv

Neka slučajna varijabla ima varijancu (disperziju)
V ar(X) = 0.001. Kolika je vjerojatnost da slučajna varijabla odstupa od očekivanja manje od ε = 0.1?

Rješenje:
Trebamo izračunati P(|X - E(X)| < ε).
Koristimo Čebiševljevu nejednakost u obliku P(|X - E(X)| < ε) 1 -Varε(2X),

                           0.001
P (|X  - E (X )| < 0.1) ≥ 1- 0.12-≥ 0.9.

PRIMJER 10.2 Slučajna varijabla ima očekivanje μ = 3 i standardnu
devijaciju σ = 0.1. Ocijenite P(2.5 < X < 3.5).

Rješenje:
Zadano je očekivanje μ = 3 i uočimo da je
P(2.5 < X < 3.5) = P(μ - 0.5 < X < μ + 0.5) = P(|X - μ| < 0.5).
Koristimo Čebiševljevu nejednakost u obliku: P(|X - μ| < ε) 1 -σ2
ε2,
P(|X - μ| < 0.5) 1 -  2
00..152 = 0.96,

P (2.5 < X  < 3.5) ≥ 0.96.

10.2 ZAKON VELIKIH BROJEVA

MOTIV 10.2

Kontrolor uzima uzorak veličine m = 1000 iz skupa uredaja. Vjerojatnost da je uredaj neispravan je p = 0.03. U kojim granicama će biti broj neispravnih uredaja u uzorku s vjerojatnošću γ = 0.99.

Definicija 10.1 (KONVERGENCIJA PO VJEROJATNOSTI)

Neka je (Xn),n N niz slučajnih varijabli. Ako postoji slučajna varijabla X takva da

∀ε > 0  nli→m∞ P(|Xn - X | < ε) = 1

kažemo da niz (Xn) slučajnih varijabli konvergira slučajnoj varijabli X po vjerojatnosti i označavamo

(P) lnim→∞ Xn  = X.

Definicija 10.2 Za niz slučajnih varijabli (Xn),n N kažemo da zadovoljava zakon velikih brojeva ako postoji konstanta C takva da vrijedi

∀ε > 0nl→im∞ P (|Xn - C | < ε) = 1

i označavamo

(P ) lim Xn = C.
    n→∞

TEOREM 10.4 važno
(ZAKON VELIKIH BROJEVA
(specijalan slučaj za aritmetičku sredinu))

Neka je {Xn},n N niz slučajnih varijabli takvih da za svaki n slučajne varijable X1,X2,..Xn su nezavisne, imaju ograničenu varijancu
V ar(Xi) = σ2 M > 0 i E(Xi) = μ, i = 1,...,n.
Tada za aritmetičku sredinu

--
X = -1(X1 + X2 + ..+ Xn )
    n

vrijedi

              --
∀ ε > 0 lni→m∞ P (|X - μ| < ε) = 1,

        --
(P)nl→im∞ X =  μ.

Dokaz:
X = 1-
n(X1 + X2 + .. + Xn), E(X) = μ, V ar(X) = σ2-
 n.
Koristimo Čebiševljevu nejednakost za slučajnu varijablu X u obliku:
P(|X - E(X)| < ε) 1 -    --
Var(X-)-
  ε2,

   --               --σ--
P (|X - μ | < ε) ≥ 1- n ⋅ε2,
        1-
nl→im∞ P (|n (X1 + X2 + ..+  Xn) - μ| < ε) = 1.

TEOREM 10.5 (BERNOULLIJEV SLABI ZAKON VELIKIH BROJEVA - za rel.frekv binomne sl. varijable)

Neka je u Bernoullijevoj shemi slučajna varijabla X=broj uspjeha dogadaja A u m nezavisnih ponavljanja, P(A) = p. X ~ B(m,p). Slučajna varijabla Y = X-
m  zove se relativna frekvencija uspjeha dogadaja A u Bernoullijevoj shemi.
Tada vrijedi

 lim    ∑    (m )pk(1 - p)m- k = lim  P (|X-- p| < ε) = 1,
m →∞  k-     k                m →∞     m
     |m- p|<ε

         X
(P )mli→m∞ m- = p.

Dokaz:
Za binomnu slučajnu varijablu X ~ B(m,p), E(X) = mp,
V ar(X) = mp(1 - p).
Za relativnu frekvenciju uspjeha Y = X-
m odredimo očekivanje i varijancu:
E(X-
m) = p, V ar(X-
m) = p(1-p)
 m.
Primijenimo Čebiševljevu nejednakost za slučajnu varijablu Y = X-
m nejednakost u obliku: P(|Y - E(Y )| < ε) 1 -Var(Y)
  ε2,

   X                p(1 - p)
P(|--- p | < ε) ≥ 1 ------2-,
   m                 m  ⋅ε
        X
mlim→∞ P (|- - p| < ε) = 1.
         m

Kako je funkcija vjerojatnosti binomne slučajne varijable
f(x) = ( )
 mxpx(1 - p)m-x

       ∑    (m ) k      m- k           X
mlim→∞         k  p (1 - p)    = mlim→∞ P (|m-- p| < ε) = 1.
     |km- p|<ε

NAPOMENA 10.1 važno

Oblik Bernoullijevog slabog zakona velikih brojeva

P (|X- - p| < ε) ≥ 1- p(1---p)-
   m                  m ⋅ε2

često se koristi u zadacima za odredivanje
(a) minimalnog broja pokusa m
(b) odstupanja ε
da bi za zadani γ, P(|Xm- - p| < ε) γ.

Rješenje:
(a) m  1
1--γ-  1
ε2 p(1 - p).
(b) ε2 -1---
1- γ -1
m p(1 - p).
Ako je p nepoznato onda se procjenjuje da je p(1 - p) 1
4, i
(a) m -1---
1- γ --1--
4 ⋅ε2,
(b) ε2 -1---
1- γ --1--
4 ⋅m.

PRIMJER 10.3 U Bernoullijevoj shemi vjerojatnost dogadaja A je
p = P(A) = 13. Odredite minimalan broj ponavljanja tako da s vjerojatnošću ne manjom od γ = 0.99 apsolutno ostupanje relativne frekvencije od p bude najviše ε = 0.01.

Rješenje:
Trebamo odrediti m tako da P(|X-
m - p| < ε) 0.99.
Koristimo Bernoullijev slabi zakon velikih brojeva: P(|X
m- - p| < ε) 1 -p(1-p)
-m-⋅ε2

   X    1                  2
P (|-- - -| < 0.01) ≥ 1 - ---9---2
   m    3               m ⋅0.01

Broj ponavljanja ćemo odrediti iz zadane vjerojatnosti γ i uvjeta
1 -   2
m-⋅(90.01)2 0.99

     --1--  1-            2- ---1---- --1----
m  ≥ 1-  γ ⋅ ε2 ⋅p(1 - p) = 9 ⋅ 1- 0.99 ⋅(0.01)2 ⇒ m  ≥ 222222.

Napomena (zadatak ćemo riješiti i koristeći Moivre-Laplaceov teorem-poslije).

PRIMJER 10.4 motiv

Kontrolor uzima uzorak veličine m = 1000 iz skupa uredaja. Vjerojatnost da je uredaj neispravan je p = 0.03. U kojim granicama će biti broj neispravnih uredaja u uzorku s vjerojatnošću γ = 0.99.

Rješenje:
Treba oderditi a i b takve da za X = broj neispravnih uredaja u uzorku veličine m, X ~ B(m,p), P(a < X < b) 0.99.
Koristimo Bernoullijev slabi zakon velikih brojeva:
P(|X-
 m - p| < ε) 1 -p(1-p)
m ⋅ε2,

     X                    0.03(1- 0.03)
P (|------ 0.03| < ε) ≥ 1 ----------2---.
    1000                     1000⋅ε

Odstupanje ε ćemo odrediti iz zadane vjerojatnosti γ i uvjeta
1 -0.03(1- 0.03)
--1000⋅ε2--- 0.99.

2   --1--  -1            ---1---- --1--
ε ≥ 1 - γ ⋅m  ⋅p(1- p) = 1 - 0.99 ⋅1000 ⋅0.03⋅(1 - 0.03 ) = 0.003.
   √ -----
ε ≥  0.003 = 0.054  ⇒   |-X---- 0.03| < 0.054 ⇒   0 < X <  80.
                        1000

Napomena (zadatak ćemo riješiti i koristeći Moivre-Laplaceov teorem-poslije).

10.3 CENTRALNI GRANIČNI TEOREM

Motivirajući primjer je isti kao i poglavlju Zakon velikih brojeva, ali će se sad riješiti primjenom centralnog graničnog teorema (Moivre - Laplaceov teorem).

MOTIV 10.3

Kontrolor uzima uzorak veličine m = 1000 iz skupa uredaja. Vjerojatnost da je uredaj neispravan je p = 0.03. U kojim granicama će biti broj neispravnih uredaja u uzorku s vjerojatnošću γ = 0.99

TEOREM 10.6 (CENTRALNI GRANIČNI TEOREM-CGT; specijalni slučaj)

Neka je {Xn},n N niz slučajnih varijabli takvih da za svaki n slučajne varijable X1,X2,...,Xn su nezavisne, imaju ograničenu varijancu
V ar(Xi) = σ2 M > 0 i E(Xi) = μ, i = 1,...,n.
Tada

           ∑n
               Xi - nμ             ∫
           -i=1--------        -1---  b - 1x2
nl→im∞ P(a <    √n-⋅σ    < b) = √2-π-   e 2  dx,
                                    a

∑n
    Xi - nμ
-i=1√------- ~ N (0,1),   n → ∞.
     n⋅σ

Za velike n vrijedi

      ∑n
          Xi - nμ
P (a < -i=1√------- < b) ≈ F*(b)- F *(a).
           n⋅σ

(F*(x) funkcija distribucije standardne normale distribucije).

Dokaz: (literatura)

TEOREM 10.7 važno
(CGT za aritmetičku sredinu)

Neka je {Xn},n N niz slučajnih varijabli takvih da za svaki n slučajne varijable X1,X2,..Xn su nezavisne, imaju ograničenu varijancu
V ar(Xi) = σ2 M > 0 i E(Xi) = μ, i = 1,...,n.
Tada za aritmetičku sredinu X = 1
n(X1 + X2 + .. + Xn) vrijedi

           --                ∫ b
lim P (a < X---μ-<  b) = √-1-   e- 12x2dx,
n→∞          σ√n-          2π  a

--
X----μ
  √σ-  ~ N (0,1),    n → ∞,
   n

odnosno

           2
X- ~ N (μ, σ-),     n → ∞.
           n

Za velike n vrijedi

       --
P (a < X--σ-μ-<  b) ≈ F *(b) - F*(a).
         √n-

Dokaz:
Primijenimo CGT (specijalni slučaj) za X = 1n(X1 + X2 + .. + Xn).

PRIMJER 10.5 Neka su X1,X2,...,Xn nezavisne slučajne varijable, imaju ograničenu varijancu V ar(Xi) = σ2 = 2 i E(Xi) = μ = 3, i = 1,...,n = 3200. Za aritmetičku sredinu X = -1
n(X1 + X2 + .. + Xn) odredite
P(2.95 < X < 3.075).

Rješenje:
Prema CGT za aritmetičku sredinu n slučajnih varijabli
X--μ
 √σn- ~ N(0,1), n →∞,

           --                ∫
           X---μ-       --1--  b - 1x2
lni→m∞ P (a <   σ√-- <  b) = √2-π- a e  2 dx.
              n
                                      --
P(2.95 < X-< 3.075)  =  P (2.95--μ-<  X---μ-<  3.075---μ)
                              σ√n-      √σn-        σ√n-
                                      --
                     =  P (2.95√--3-<  X√--3-< 3.07√5---3)
                            √--2--    √--2-     √--2-
                              3200-     3200      3200
                     =  P (- 2 < X-√--3 < 3) = F*(3)- F *(- 2) = 0.975.
                                 √-2--
                                  3200

TEOREM 10.8 (integralni MOIVRE-LAPLACEOV TEOREM, CGT za binomnu sl. varijablu)

Neka je u Bernoullijevoj shemi slučajna varijabla X=broj uspjeha dogadaja A u m nezavisnih ponavljanja P(A) = p. X ~ B(m,p).
Tada vrijedi

             X - m ⋅p           1  ∫ b   12
 lim  P(a < ∘-----------<  b) = √---   e- 2xdx,
m→ ∞         mp (1 - p)         2π  a

 X  - m ⋅p
∘-----------~  N(0,1),    m  → ∞,
  mp (1 - p)

odnosno

X ~  N (mp, mp (1- p )),    m  → ∞.

Za velike n vrijedi

P(a < ∘X----m-⋅p--< b) ≈ F *(b)-  F*(a),
        mp (1 - p)

odnosno

P (a < X  < b) ≈ F *(∘-b---mp--) - F*(∘--a--mp----).
                     mp (1- p)         mp (1 - p)

Dokaz:
Promatrajmo slučajne varijable Xi ~ B(1,p), i = 1,...,m, kad m →∞.
V ar(Xi) = p(1 - p) i E(Xi) = p, i = 1,...,m.
Integralni Moivre-Laplaceov teorem je specijalan slučaj CGT za niz slučajnih varijabli Xi = 1,...,m, kad m →∞

           ∑m
               Xi - mμ             ∫
           i=1---------       --1--  b - 1x2
mli→m∞ P(a <    √m--⋅σ   <  b) = √2-π a e  2 dx,
            ∑m
                Xi - mp
             i=1                   1  ∫ b - 1x2
mli→m∞ P (a <  ∘------------< b) = √----   e 2  dx.
              m ⋅p(1- p )         2π  a

Slučajna varijabla X=broj uspjeha dogadaja A u m nezavisnih ponavljanja P(A) = p. X ~ B(m,p). Tada je X = i=1mX i pa vrijedi

                                     ∫ b
 lim  P (a <  ∘-X----mp----< b) = √-1--   e- 12x2dx.
m→ ∞          m ⋅p(1- p )         2π  a

PRIMJER 10.6 Neka je X binomna slučajna varijabla X ~ B(m,p),
m = 3200, p = 1
2. Izračunajte vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednosti u intervalu (1550,1650).

Rješenje:
Trebamo izračunati P(1550 < X < 1650).
Prema integralnom Moivre-Laplaceovom teoremu √-X-m-⋅p--
  mp(1-p) ~ N(0,1),
m →∞,
i vrijedi aproksimacija: P(a < X < b) F*(√-b-mp---
  mp(1- p)) - F*(√-a-mp---
  mp(1-p)).

P(1550 < X  < 1650)  ≈  F *(165√0---3200⋅0.5)- F *(155√0---3200⋅0.5)
                                3200⋅0.25             3200⋅0.25
                     =  F *(1.767) - F*(- 1.767) = 2F *(1.767)-  1

                     =  2 ⋅0.961 - 1 = 0.922.

PRIMJER 10.7 Vjerojatnost da novorodenče bude muško ili žensko je 1/2. Kolika je vjerojatnost da medu 1000 novorodenčadi bude barem 490 muških?

Rješenje: X ~ B(m,p), m = 1000, p = 1
2
Trebamo izračunati P(X 490) = 1 - P(X 490).
Prema integralnom Moivre-Laplaceovom teoremu √-X-m-⋅p--
  mp(1-p) ~ N(0,1),
m →∞,
i vrijedi aproksimacija: P(a < X < b) F*(√-b-mp---
  mp(1- p)) - F*(√-a-mp---
  mp(1-p)).

P(X ≤  490) ≈   F *(49√0--1000-⋅0.5) = F *(- √10-) = 1 - F *(√-10-)
                       1000⋅0.25            250             250
            =   1 - F*(0.63) = 1 - 0.7357 = 0.2643.
P (X ≥ 490) = 1- P (X ≤  490) ≈ 1 - 0.2643 = 0.7357.

TEOREM 10.9 (integralni MOIVRE-LAPLACEOV TEOREM za rel. frekv. binomne sl. varijable) CGT za binomnu =Bernoullijev slabi ZVB za rel. frekvencije binomne

Neka je u Bernoullijevoj shemi slučajna varijabla X=broj uspjeha dogadaja A u m nezavisnih ponavljanja, P(A) = p. X ~ B(m,p). Slučajna varijabla Y = X-
m  zove se relativna frekvencija uspjeha dogadaja A u Bernoullijevoj shemi.
Tada vrijedi

                                ∘ --------
lim  P(|X-- p | < ε) = lim 2F *(ε ---m----)- 1 = 1.
m→ ∞    m            m → ∞        p(1 - p)

Za velike m vrijedi

    X                  ∘ ---m----
P (|--- p| < ε) ≈ 2F *(ε --------)- 1.
    m                    p(1-  p)

Dokaz: P(|X
--
m - p| < ε) = P(-ε∘ ---m----
  --------
  p(1 - p) <   X - mp
∘-----------
  mp (1- p) < ε∘ ---m----
  --------
  p(1 - p))
Koristimo Integralni Moivre-Laplaceov teorem; za X ~ B(m,p) je
P(a < -X--m⋅p--
√ mp(1-p) < b) F*(b) - F*(a),

     ∘ ---m----     X - mp       ∘ ---m----
P (- ε  --------<  ∘-----------< ε  --------) ≈ F*(b)- F *(a ),
       p(1 - p)     mp (1- p)      p(1 - p)

gdje je b = -a = ε∘ --m---
  p(1-p).
Koristimo svojstvo F*(x) = 1 - F*(-x)

     ∘ ---m----    X  - mp       ∘ ---m----
P(- ε  --------< ∘-----------<  ε  --------) ≈ 2F *(b) - 1,
       p(1- p)      mp(1 - p)      p(1- p)

i dobivamo željenu tvrdnju

    X                  ∘ ---m----
P (|--- p| < ε) ≈ 2F *(ε --------)- 1.
    m                    p(1- p)

PRIMJER 10.8 Kolika je vjerojatnost da se prilikom bacanja simetričnog novčića m = 3600 puta  relativna frekvencija pojavljivanja pisma po apsolutnoj vrijednosti razlikuje od p = 12 za ε = 0.01?

Rješenje:
X=broj pojavljivanja pisma u Bernoullijevoj shemi bacanja novčića
X ~ B(m,p), m = 3600, p = 12.
Trebamo izračunati P(|-X--
3600 -1
2| < 0.01).
Primijenit ćemo integralni Moivre-Laplaceov teorem za rel. frekv. binomne sl. varijable u obliku P(|Xm- - p| < ε) 2F*(ε∘ ------
   p(m1-p)) - 1.

                              ∘ --------               ∘ -----
P(|-X---- 1| < 0.01)  ≈   2F*(ε  ---m----)- 1 = 2F *(0.01  3600-)- 1
   3600   2                     p(1 - p)                  12 ⋅ 12
                     =   2F*(1.2)- 1 = 2⋅0.8849 - 1 = 0.7698.

NAPOMENA 10.2 važno

Oblik integralnog Moivre-Laplaceovog teorema
P(|Xm - p| < ε) 2F*(ε∘ ------
  p(m1-p)) - 1 često se koristi u zadacima za odredivanje
(a) minimalnog broja pokusa m i
(b) odstupanja ε
da bi za zadani γ, P(|X-
m - p| < ε) γ.
Rješenje:
(a) m (z1+γ)2
--2ε2-- p(1 - p),  F*(z1+γ-
2) = 1+2γ,
(b) ε2 (z1+γ)2
--2m--- p(1 - p).
Ako je p nepoznato onda se procjenjuje da je p(1 - p) 1
4:
(a) m (z1+γ)2
--22--
 4ε, F*(z1+γ-
 2) = 1+γ
 2,
(b) ε2 (z   )2
-1+2γ--
 4m.

PRIMJER 10.9 U Bernoullijevoj shemi vjerojatnost dogadaja A je p = P(A) = 13. Odredite minimalan broj ponavljanja tako da s vjerojatnošću ne manjom od γ = 0.99 apsolutno ostupanje relativne frekvencije od p bude najviše ε = 0.01.

Rješenje:
Trebamo odrediti m tako da P(|Xm- - p| < ε) 0.99.
Koristimo Integralni Moivre-Laplaceov teorem za relativnu frekvenciju X-
m
u Bernoullijevoj shemi.
P(|Xm - p| < ε) 2F*(ε∘ ------
  p(m1-p)) - 1,

                            ∘ ---
P (|X- - 1-| < 0.01) ≈ 2F *(0.01 m-)- 1.
   m    3                      29

Broj ponavljanja ćemo odrediti iz zadane vjerojatnosti γ i uvjeta
2F*(0.01∘ -m
   2-
   9) - 1 0.99     F*(0.01∘ -m
   2-
   9) 0.995,
F*(z) = 0.995     z = 2.6     0.01∘ -m-
   29 2.6,
m (z1+γ-)2
--ε22-- p(1 - p) =    2
20..0612 29     m 15022.
(Bernoullijev SZVB za rel. frekv. dao je ocjenu m 222222.)

PRIMJER 10.10 Koliko puta treba baciti simetričnu kocku da bi relativna frekvencija pojavljivanja broja 6 bila izmedu  11920 i 21120 s vjerojatnošću
γ = 0.95.

Rješenje:
X=broj pojavljivanja 6 u Bernoullijevoj shemi bacanja kocke
X ~ B(m,p), m, p = 1
6.
Trebamo odrediti m tako da P(11290- < Xm- < 21120) 0.95.

   19    X     21          19   1    X    1   21    1
P(120-<  m- < 120)  =   P(120-- 6-<  m--  6 < 120-- 6)
                             1    X    1    1         X    1    1
                    =   P(- ----< -- - --< ----) = P (|--  -| <----).
                            120   m    6   120        m    6   120

Koristimo Integralni Moivre-Laplaceov teorem za relativnu frekvenciju X-
m u Bernoullijevoj shemi.
P(|Xm - p| < ε) 2F*(ε∘ ------
  p(m1-p)) - 1,

                            ∘  ---
P (|X--  1| < -1-) ≈ 2F *(-1-  m-)- 1
    m    6    120        120   536

Broj ponavljanja ćemo odrediti iz zadane vjerojatnosti γ i uvjeta
2F*(-1-
120∘ m--
  536) - 1 0.95     F*(-1-
120∘ -m-
   536-) 0.975
F*(z) = 0.975     z = 1.96     -1-
120∘  m--
   536 1.96,
m (z1+γ2-)2
  ε2 p(1 - p) = -1.962-
(1120)2 5-
36 = 7684     m 7684.

PRIMJER 10.11 Simetričnu kocku bacamo m = 4500 puta. U kojim granicama s vjerojatnošću γ = 0.9 treba očekivati relativne frekvencije pojavljivanja boja 6?

Rješenje:
X =broj pojavljivanja 6 u Bernoullijevoj shemi bacanja kocke,
X ~ B(m,p), m,p = 16.
Treba oderditi a i b takve da za X =broj 6 u m bacanja P(a < X-
m < b) 0.9.
Koristimo Integralni Moivre-Laplaceov teorem za relativnu frekvenciju X-
m
u Bernoullijevoj shemi P(|Xm- - p| < ε) 2F*(ε∘ ------
   p(m1-p)) - 1.

                         ∘ ---------
   --X--   1-         *    --4500--
P (|4500 -  6| < ε) ≈ 2F (ε  1(1- 1)) - 1
                            6    6

Odstupanje ε ćemo odrediti iz zadane vjerojatnosti γ i uvjeta
2F*(ε∘ ----
  45500-
   36) - 1 0.9     F*(ε -------
√36 ⋅900) 0.95.
F*(z) = 0.9 z = 1.65     ε√-------
 36 ⋅900 1.65 ε 0.0091

Prema formuli ε2 (z1+γ)2
--m2-- p(1 - p) =    2
14.65500 536- = 7.566 × 10-5

    1.65  1
ε ≥ ---- ⋅--= 9.1667× 10- 3  ⇒   ε ≥ 9.1667 × 10-3.
     30   6

Odredili smo ε tako da P(|-X--
4500 -1
6| < 0.00916) 0.9.

 -X---  1-                1-            -X---  1-
|4500 - 6 | < 0.00916  ⇒   6 - 0.00916 <  4500 < 6 + 0.00916
               X
⇒   0.15751 <  4500-< 0.17583.

PRIMJER 10.12 motiv

Kontrolor uzima uzorak veličine m = 1000 iz skupa uredaja. Vjerojatnost da je uredaj neispravan je p = 0.03. U kojim granicama će biti broj neispravnih uredaja u uzorku s vjerojatnošću γ = 0.99

Rješenje:
Treba oderditi a i b takve da za X =broj neispravnih uredaja u uzorku veličine m, X ~ B(m,p), P(a < X < b) 0.99.
Koristimo Integralni Moivre-Laplaceov teorem za relativnu frekvenciju X
m-
u Bernoullijevoj shemi P(|Xm- - p| < ε) 2F*(ε∘ ------
   p(m1-p)) - 1,

                           ∘  --------------
    -X---                *    ----1000-----
P (|1000 - 0.03| < ε) ≈ 2F (ε 0.03 (1 - 0.03))- 1.

Odstupanje ε ćemo odrediti iz zadane vjerojatnosti γ i uvjeta
2F*(ε∘ -----------
  0.031(10-000.003)) - 1 0.99     F*(ε∘ -----------
   0.03(110-000.003)) 0.995.
F*(z) = 0.995   z = 2.6     ε∘ -----------
  0.03(1100-00.003) 2.6.

Prema formuli ε2 (z1+γ)2
--m2-- p(1 - p) =   2
21.6000- 0.03 (1 - 0.03) = 1.9672 × 10-4

ε ≥ 0.014

Odredili smo ε tako da P(|-X--
1000 - 0.03| < 0.014) 0.99.

|-X---- 0.03 | < 0.014 ⇒   16 < X < 44.
 1000

(Bernoullijev SZVB za rel. frekv. dao je ocjenu 0 < X < 80.)

10.4 Ponovimo

ČEBIŠEVLJEVA NEJEDNAKOST



za svaki ε > 0P(|X - E(X)|≥ ε) Var(2X)
  ε,


za svaki λ P(|X - μ|≥ λσ) 1-
λ2,


ZAKONI VELIKIH BROJEVA (ZVB)



ZVB za X limn→∞P(|X - μ| < ε) = 1,


ZVB za X ~ B(m,p)limn→∞P(|X
m- - p| < ε) = 1,


Bernoull. slabi ZVB P(|Xm- - p| < ε) 1 -pm(1-⋅εp2)


CENTRALNI GRANIČNI TEOREMI (CGT)



CGT za niz nez. sl, var. Xi n →∞,


∑n
    Xi - nμ
-i=1-√------
     n⋅σ ~ N(0,1)


CTG za X n →∞,


X--μ
-√σ-
  n ~ N(0,1)


CTG za X ~ B(m,p), m →∞ = Moivre-Laplace


√X--m-⋅p--
  mp(1- p) ~ N(0,1), P(a < X < b) F*(√-b-mp---
  mp(1-p)) - F*(√a--mp---
 mp (1-p))


CGT za rel. frekv. od X ~ B(m,p)= Moivre-Laplace za rel. frekv.


  X
∘-m-p--
  p(1m-p) ~ N(0,1), P(|X-
m - p| < ε) 2F*(ε∘ ------
  --m--
  p(1-p)) - 1