probodiste.html





3.1 Probodište ravnine pravcem

Probodište ravnine pravcem jedina je zajednička točka dane ravnine i pravca.

  1. Probodište projicirajuće ravnine pravcem
  2. Probodište ravnine u općem položaju pravcem


  1. Probodište projicirajuće ravnine pravcem

    Projekcije svih točaka projicirajuće ravnine, pa i projekcija traženog probodišta, ležat će u onom tragu te projicirajuće ravnine, koji je projekcija te ravnine. Drugu projekciju probodišta odredit ćemo pomoću ordinale točke probodišta.

    Problem: Odrediti točku K probodišta pravca q (q', q'') s projicirajućom ravninom 2. skupine Σ danom drugim tragom r2. (slika 3.1.1)

    Slika 3.1.1
    Slika 3.1.2: Probodište pravca s projicirajućom ravninom


    Rješenje:
    • Druga projekcija ravnine Σ je pravac r2 na kojem leže druge projekcije svih točaka dane ravnine, pa i traženog probodišta K.
    • Probodište K leži i na pravcu q pa vrijedi K'' = r2 ∩ q'' .
    • Povučemo li ordinalu točke K, njeno sjecište s pravcem q' odredit će prvu projekciju probodišta, točku K'.
    • Zamislimo li da je ravnina Σ neprozirna, vidljivost pravca q u obje projekcije istaknuta je na slici 3.1.2.




  2. Probodište ravnine u općem položaju pravcem

    • Probodište pravca s ravninom u općem položaju dobit će se korištenjem jedne pomoćne ravnine postavljene tim pravcem.
    • Pravcem možemo postaviti koliko želimo ravnina, ali uglavnom se, zbog jednostavnosti konstrukcije, kao pomoćna ravnina odabire neka projicirajuća ravnina koja sadrži dani pravac.
    • Sjecište dobivene presječnice p i zadanog pravca q je traženo probodište P.


    Problem: Odrediti točku probodišta P pravca q (q', q'') s općom ravninom Σ (r1, r2). (slika 3.1.3).


    Slika 3.1.3
    Slika 3.1.4 Probodište pravca s ravninom u općem položaju
    Rješenje:
    • Pravcem q postavljena je projicirajuća ravnine druge skupine tako da je e2= q''.
    • Određena je presječnica p = P1P2 ravnine Σ i projicirajuće ravnine i vrijedi p'' = q'' (vidi Presječnica).
    • Sjecište danog pravca q i pravca p određuje traženo probodište P, P' = p' ∩ q' (vidi Sjecište).
    • Zamislimo li da je ravnina Σ neprozirna, vidljivost pravca q u obje projekcije istaknuta je na slici 3.1.4.


Riješeni primjeri:

  1. Presjek trokuta s projicirajućom ravninom
    Presječnica trokuta s ravninom je dužina koja spaja probodišta stranica tog trokuta s projicirajućom ravninom.

    Problem: Odrediti presječnicu trokuta ABC [A(A', A''), B(B', B''), C(C', C'')] s projicirajućom ravninom 1. skupine zadanom tragom e1.



    Slika 3.1.5
    Slika 3.1.6 Presjek trokuta s projicirajućom ravninom

    Rješenje:
    • Prema položaju trokuta sa slike 3.1.5 vidljivo je da se stranice AB i BC trokuta probadaju danu ravninu. Označimo njihova probodišta s P, odnosno Q i odredimo ih prema primjeru iz 3.1.
    • Zamislimo li da je dana projicirajuća ravnina neprozirna, vidljivost trokuta u projekcijama dana je na slici 3.1.6.




Nikolina Kovačević - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu