Krivuljni integral 1. vrste. Masa i duljina krivulje

Problem mase i duljine luka krivulje

Problem mase krivulje

Neka je $\Gamma {}$ glatka krivulja u prostoru s rubnim točkama $A$ i $B.$ Pretpostavimo da je na krivulji definirana gustoća mase $\rho.$ Interesira nas masa te krivulje.

Podijelimo krivulju na manje dijelove točkama na krivulji $A=P_0,P_1, P_2,\ldots,P_n=B.$ Na svakom od lukova $\overset{\frown}{P_{i-1}P_i}$ odaberimo točku $T_i,$ $i=1,2,\ldots,n.$ Masa luka krivulje $\overset{\frown}{P_{i-1}P_i}$ približno je jednaka

$$\Delta{}m_i\approx \rho(T_i)\,d(P_{i-1},P_i),$$

gdje je $d(P_{i-1},P_i)$ udaljenost točaka $P_{i-1}$ i $P_i.$ Ukupna masa je približno jednaka

$$m=\sum_{i=1}^n \Delta{}m_i\approx \sum_{i=1}^n \rho(T_i)\,d(P_{i-1},P_i).$$

Sada uzimamo sve finije podjele krivulje na manje dijelove. Očekujemo da ćemo dobivati sve bolje aproksimacije ukupne mase krivulje.

Problem duljine krivulje

Ako želimo naći duljinu krivulje, onda možemo postupiti isto kao kod mase krivulje, s tim da uzmemo da je gustoća mase $\rho(P)=1$ na krivulji. Tada masa postaje brojčano jednaka duljini krivulje. Dakle duljina krivulje je približno jednaka

$$\ell(\Gamma{}) = \sum_{i=1}^n \Delta{}\ell_i\approx \sum_{i=1}^n d(P_{i-1},P_i).$$

Očekujemo da ta suma to bolje aproksimira pravu duljinu krivulje, što je finija podjela krivulje na manje dijelove.

Ova dva problema nas vode na definiciju krivuljnog integrala 1. vrste.

Krivuljni integral 1. vrste

Neka je $\Gamma {}$ glatka krivulja u prostoru s rubnim točkama $A$ i $B.$ Pretpostavimo da je na krivulji definirana funkcija $f.$ Podijelimo krivulju na manje dijelove točkama na krivulji $A=P_0,P_1, P_2,\ldots,P_n=B.$ Na svakom od lukova $\overset{\frown}{P_{i-1}P_i}$ odaberimo točku $T_i,$ $i=1,2,\ldots,n.$

Uočimo sljedeću sumu

$$s_n= \sum_{i=1}^n f(T_i)\,d(P_{i-1},P_i).$$

Taj broj ovisi o načinu podjele krivulje na manje dijelove, i o izboru točaka $T_i.$ Ako prilikom sve finijih podjela, takvih da $\max_{i}d(P_{i-1},P_i)\rightarrow{}0,$ $s_n$ teži prema nekom broju $K,$ onda se taj broj zove krivuljni integral 1. vrste funkcije $f$ po krivulji $\Gamma,$ i označava s

$$K = \int_{\Gamma} f(x,y,z)\,ds.$$

Ako je $f(x,y,z)=1,$ i $s_n$ teži prema $K,$ onda se kaže da krivulja $\Gamma {}$ ima duljinu, i broj

$$K = \ell(\Gamma{}) = \int_{\Gamma} ds$$

se zove duljina krivulje $\Gamma.$

Ako je $f(x,y,z)=\rho(x,y,z),$ gustoća mase materijalne krivulje $\Gamma,$ i $s_n$ teži prema $K,$ onda se kaže da materijalna krivulja $\Gamma {}$ ima masu, i broj

$$K = m(\Gamma{}) = \int_{\Gamma} \rho(x,y,z)\,ds$$

se zove masa krivulje $\Gamma.$

Svojstva krivuljnog integrala 1. vrste

1.

$\int_{\Gamma} (\alpha \,f+\beta\, g)\,ds=\alpha \int_{\Gamma} f\,ds+\beta \int_{\Gamma} g\,ds.$

2.

$f\leqslant g\Rightarrow \int_{\Gamma} f\,ds\leqslant \int_{\Gamma} g\,ds.$

3.

$\Gamma=\Gamma_1\cup\Gamma_2 \Rightarrow \int_{\Gamma} f\,ds=\int_{\Gamma_1} f\,ds+\int_{\Gamma_2} f\,ds.$

Dakle krivuljni integral 1. vrste rješava problem duljine (kad je $f(x,y,z)=1$) i mase krivulje (kad je $f(x,y,z)=\rho(x,y,z)$), ali također i neke druge probleme. Na primjer, ako je $f(x,y,z)=x\,\rho(x,y,z),$ $f(x,y,z)=y\,\rho(x,y,z)$ ili $f(x,y,z)=z\,\rho(x,y,z),$ onda se pomoću krivuljnog integrala 1. vrste računaju statički momenti materijalne krivulje u odnosu na koordinatne ravnine

$$\int_{\Gamma} x\,\rho(x,y,z)\,ds,\;\int_{\Gamma} y\,\rho(x,y,z)\,ds,\;\int_{\Gamma} z\,\rho(x,y,z)\,ds,$$

i pomoću njih težište materijalne krivulje

$$x_T=\frac{\int_{\Gamma} x\,\rho(x,y,z)\,ds} {\int_{\Gamma} \rho(x... ...}\;z_T=\frac{\int_{\Gamma} z\,\rho(x,y,z)\,ds} {\int_{\Gamma} \rho(x,y,z)\,ds}.$$

Također se krivuljnim integralom računaju momenti inercije krivulje sa zadanom gustoćom mase.

Računanje krivuljnog integrala 1. vrste

Neka je $\Gamma {}$ glatka krivulja u prostoru, i neka je njezina parametrizacija $([a,b],\vec{r}\,),$ gdje je

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}+z(t)\,\vec{k}.$$

Neka je na $\Gamma {}$ zadana funkcija $f:\Gamma{}\rightarrow{}R,$ takva da postoji

$$\int_{\Gamma} f\,ds.$$

Podijelimo segment $[a,b]$ na podsegmente

$$a=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=b.$$

Tako dobivamo točke na krivulji

$$A=P_0=(x(t_0),y(t_0),z(t_0)),\;P_1= (x(t_1),y(t_1),z(t_1)),$$

$$P_2=(x(t_2),y(t_2),z(t_2)),\;\ldots,\; P_n=(x(t_n),y(t_n),z(t_n))=B.$$

Izaberimo $\xi_i\in [t_{i-1},t_i]$ proizvoljno, i neka je $T_i=(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i)).$ Tada je

$$s_n = \sum_{i=1}^n f(T_i)\,d(P_{i-1}P_i)$$

$$= \sum_{i=1}^n f(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\, \sqrt{(x(t_i)-x(t_{i-1}))^2+ (y(t_i)-y(t_{i-1}))^2+ (z(t_i)-z(t_{i-1}))^2}.$$

Prema Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti, postoje $\rho_i, \sigma_i, \tau_i\in [t_{i-1},t_i]$ takvi da je

$$x(t_i)-x(t_{i-1}) = x'(\rho_i)\,(t_i-t_{i-1}),$$

$$y(t_i)-y(t_{i-1}) = y'(\sigma_i)\,(t_i-t_{i-1}),$$

$$z(t_i)-z(t_{i-1}) = z'(\tau_i)\,(t_i-t_{i-1})$$

za svaki $i=1,2,\ldots,n.$ Slijedi

$$s_n = \sum_{i=1}^n f(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\, \sqrt{(x'(\rho_i))^2 + (y'(\sigma_i))^2 + (z'(\tau_i))^2}\,(t_i-t_{i-1}).$$

Ovo je integralna suma za funkciju $f(x(t),y(t),z(t))\, \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}.$ Prema tome krivuljni integral 1. vrste se računa po formuli

$$\int_{\Gamma} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f(x(t),y(t),z(t))\, \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\,dt.$$

Ako je krivulja $\Gamma {}$ ravninska, i pri tom graf funkcije $\varphi,$ za parametar možemo uzeti $x,$

$$\vec{r}\,(x)=x\,\vec{\imath}+\varphi(x)\,\vec{\jmath},$$

pa se integral računa po formuli

$$\int_{\Gamma} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f(x,\varphi(x))\,\sqrt{1+(\varphi'(x))^2}\,dx.$$

Ako je krivulja u ravnini zadana u polarnom sustavu jednadžbom $r=r(\varphi),$ onda za parametar možemo uzeti $\varphi,$

$$\vec{r}\,(\varphi)=r(\varphi)\,\cos \varphi\,\vec{\imath}+ r(\varphi)\,\sin \varphi\,\vec{\jmath},$$

i odatle slijedi formula

$$\int_{\Gamma} f(x,y)\,ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(r(\varphi)\,\c... ...hi,r(\varphi)\,\sin\varphi)\,\sqrt{(r(\varphi))^2 + (r'(\varphi))^2}\,d\varphi.$$

Primjer 3.7   Naći duljinu luka parabole $y=x^2$ od $x=0$ do $x=1.$

Rješenje.

$$% latex2html id marker 39655 \ell=\int_0^1 \sqrt{1+4x^2}\,dx... ...\,dt & x=1\Rightarrow t=\ln(2+\sqrt{5}) \end{array}\right\vert=$$

$$\frac{1}{2}\int_0^{\ln(2+\sqrt{5})}{... ...\right]_0^{\ln(2+\sqrt{5})}= \frac{1}{4}\left[2\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})\right].$$

Primjer 3.8   Duljina elipse, parametarski zadane s

$$x(t)=a\sin t,\;y(t)=b\cos t,\;\;a>b,\;t\in [0,2\pi]$$

je

$$\ell=4\int_0^{\pi/2} \sqrt{b^2\sin^2t+a^2\cos^2t}\,dt= 4a\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}\sin^2t}\,dt$$

$$=4a\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt,$$

gdje je $0<k^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}<1.$ Ovaj integral nije elementaran, tako da ga ne možemo rješavati uobičajenim metodama. Jedan od načina kako ga možemo približno izračunati je razvojem podintegralne funkcije u red, i zatim integriranjem član po član.

Primjer 3.9   Izračunajmo duljinu kardioide $r=a(1+\cos \varphi).$

Rješenje.

$$\ell=2\int_0^{\pi} \sqrt{a^2(1+\cos \varphi)^2+ a^2\sin^2\varphi}\,d\varphi= 2\sqrt{2}a\int_0^{\pi} \sqrt{1+\cos \varphi}\,d\varphi=8a.$$

Primjer 3.10   Naći težište žice savijene u obliku gornje središnje polukružnice radiusa $R,$ gustoće mase $\rho(x,y)=x^2+2\,y^2.$

Rješenje. Za parametrizaciju žice možemo uzeti

$$x(t)=R\,\cos t,\;\;y(t)=R\,\sin t,\hspace{1cm}t\in [0,\pi].$$

Tada je

$$m=\int_0^{\pi} R^3(\cos^2t+2\,\sin^2t)\,dt= \frac{3\,\pi \,R^3}{2},$$

$$M_y=\int_0^{\pi} R^4(\cos^2t+2\,\sin^2t)\,\cos t\,dt=0,$$

$$M_x=\int_0^{\pi} R^4(\cos^2t+2\,\sin^2t)\,\sin t\,dt= \frac{10\,R^4}{3},$$

pa je težište

$$T=(0,\frac{20\,R}{9\,\pi }).$$

Primjer 3.11   Naći moment inercije jednog zavoja helikoide konstantne gustoće mase $\rho$ u odnosu na os helikoide (os $z$).

Rješenje. Parametrizacija jednog zavoja helikoide je

$$\vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin t\,\vec{\jmath}+b\,t\,\vec{k}, \hspace{1cm} t\in [0,2\pi].$$

Kvadrat udaljenosti točke $(x(t),y(t),z(t))$ helikoide od osi je $a^2.$ Tako je moment inercije

$$I=\int_0^{2\,\pi} a^2\,\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\,dt =2\,{a^2}\,{\sqrt{{a^2} + {b^2}}}\,\pi.$$

Pitanja

1.

Što je duljina krivulje, i kako se računa?

2.

Definirajte krivuljni integral 1. vrste.

3.

Koji problem rješava krivuljni integral 1. vrste?

4.

Kako se računa krivuljni integral 1. vrste?

5.

Koja svojstva ima krivuljni integral 1. vrste?

Riješeni zadaci

1.

Izračunati integral $\int_{\Gamma} y\,e^{-x}\,ds$ po krivulji $x(t)=\ln(1+t^2),$ $y(t)=2\,{\rm Arctg}\,t-t+3$ između točaka $t=0$ i $t=1.$

Rješenje.

$$\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}=1,$$

$$y\,e^{-x}={\frac{3 - t + 2\,{\rm Arctg}\,t}{1 + {t^2}}},$$

pa je

$$\int_{\Gamma} y\,e^{-x}\,ds=\int_0^1... ...\rm Arctg}\, t}{1 + {t^2}} \,dt = {\frac{12\,\pi + {{\pi }^2} - 8\,\ln 2}{16}}.$$

2.

Naći duljinu prvog zavoja helikoide namotane na stožac $z=\sqrt{x^2+y^2}.$

Rješenje. Treba biti

$$z(t)^2=x(t)^2+y(t)^2,$$

pa ako je $z(t)=a\,t,$ onda iz $x(t)^2+y(t)^2=a^2\,t^2$ slijedi parametrizacija

$$x(t)=a\,t\,\cos t,\;\;y(t)=a\,t\,\sin t,\;\;z(t)=a\,t.$$

$$\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}= a\,{\sqrt{2 +{t^2}}},$$

$$\ell(\Gamma)= \int_{\Gamma} \int_{0}... ...ft( \pi \,{\sqrt{2 + 4\,{{\pi }^2}}} + {\rm Arsh}\,({\sqrt{2}}\,\pi ) \right).$$

3.

Naći masu žice savijene u obliku elipse s poluosima $a$ i $b,$ $(a>b),$ ako je gustoća mase $\rho={\frac{2\,\left( a - b \right) \,\left( a + b \right) \,\vert x\vert\,\vert y\vert}{a\,b}}.$

Rješenje. Parametrizacija elipse je

$$x(t)=a\,\cos t,\;\;y(t)=b\,\sin t.$$

$$\rho = 2\,{a^2}\,\cos t\,\sin t - 2\,{b^2}\,\cos t\,\sin t,$$

$$\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} = {\sqrt{{b^2}\,{{\cos t}^2} + {a^2}\,{{\sin t}^2}}},$$

pa je masa

$$m = \int_{\Gamma} \rho(x,y)\,ds =$$

$$4\,\int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\,{a^2}\,\cos t\,\sin t - 2\,{b^2}\,\... ...^2} + {a^2}\,{{\sin t}^2}}}\,dt = {\frac{8\,\left( {a^3} - {b^3} \right) }{3}}.$$

4.

Naći statički moment prvog luka cikloide u odnosu na os $x.$

Rješenje.

$$M_x=\int_0^{2\pi} x(t)\sqrt{{x'}^2(t)+{y'}^2(t)}\,dt= 8a^2\int_0^... ...2\frac{t}{2}-1\right)\sin\frac{t}{2} d\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{32}{3}a^2.$$