Skup kompleksnih brojeva

Kompleksni brojevi

Skup

$$C=\{a+b\,i;\;a,b\in R\},$$

gdje je $i$ broj koji ima svojstvo

$$i^2=-1,$$

se zove skup kompleksnih brojeva. Ako je

$$z=a+b\,i,$$

onda imamo sljedeće oznake. $a$ je realan dio kompleksnog broja $z$ i piše se $a=\Re e\,z,$ $b$ je imaginaran dio kompleksnog broja $z$ i piše se $b=$Im$\,z,$ $i$ je imaginarna jedinica.

Broj

$$\overline{z}=a-b\,i$$

se zove kompleksno konjugiran broju $z.$

Operacije s kompleksnim brojevima

Neka je $z=a+b\,i, w=c+d\,i.$

$$z+w=(a+b\,i)+(c+d\,i)=(a+c)+(b+d)i,$$

$$zw=(a+b\,i)(c+d\,i)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Lako se provjeri da su ovako definirani zbrajanje i množenje komutativni, tj. da vrijedi

$$z+w=w+z,\;\;zw=wz,$$

asocijativni, tj. da vrijedi

$$(z+w)+u=z+(w+u),\;\;(zw)u=z(wu),$$

i da je množenje distributivno u odnosu na zbrajanje, tj. da vrijedi

$$z(w+u)=zw+zu.$$

Kompleksni broj je jednak nuli samo ako je $a=0, b=0.$ Svaki od nule različit kompleksni broj ima sebi recipročan, tj. ako je $z=a+b\,i\neq 0,$ onda postoji $\frac{1}{z}=z^{-1},$ i pri tom je

$$\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}\,i.$$

Također vrijedi

$$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w},\;\; \overline{zw}=\over... ...{w},\;\; \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}},$$

$$\overline{\overline{z}}=z,\;\;\Re e\,z=\frac{z+\overline{z}}{2},\;\;$$   Im$$\,z=\frac{z-\overline{z}}{2\,i}.$$

Modul kompleksnog broja je realan broj

$$\vert z\vert=\vert a+b\,i\vert=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

U odnosu na operacije, modul ima sljedeća svojstva.

$$\vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert,\;\; \vert zw\vert=\... ...ert=\frac{\vert z\vert}{\vert w\vert},\;\; \vert\overline{z}\vert=\vert z\vert.$$

Dokažimo da vrijedi $\vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert.$ Uočimo najprije da je

$$\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\Re e\,z)^2+(\text{Im}\,z)^2}\geq \vert\Re e\,z\vert\geq \Re e\,z,$$

$$\vert zw\vert=\sqrt{zw\overline{z}\overline{w}}= \sqrt{z\overline{z}w\overline{w}}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=\vert z\vert\vert w\vert,$$

$$\vert\overline{z}\vert=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\vert z\vert.$$

Sada imamo

$$\vert z+w\vert^2=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})= \vert z\vert^2... ...w\vert^2= \vert z\vert^2+z\overline{w}+\overline{z\overline{w}}+\vert w\vert^2=$$

$$\vert z\vert^2+2\Re e(z\overline{w})+\vert w\vert^2\leq \vert z\vert^2+2\vert z\vert\vert w\vert+\vert w\vert^2= (\vert z\vert^2+\vert w\vert^2)^2.$$

Nakon vađenja drugog korijena, zbog pozitivnosti brojeva $\vert z+w\vert$ i $\vert z\vert+\vert w\vert,$ slijedi

$$\vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert.$$

Gaussova ravnina

Svaki kompleksni broj je potpuno zadan s dva realna broja, i pri tom je važno koji je prvi (realni dio) a koji drugi (imaginarni dio). Obratno, svakom uređenom paru realnih brojeva $(a,b)$ možemo pridružiti kompleksni broj $z=a+b\,i.$ Tako je dano obostrano jednoznačno pridruživanje između skupova $C$ i $R^2.$ To ipak ne znači da su to isti skupovi. U $C$ imamo operacije zbrajanja i množenja tj. znamo računati, a u $R^2$ nemamo nikakve operacije. Elemente iz $R^2$ možemo crtati kao točke u ravnini. Obostrano jednoznačno pridruživanje između $R^2$ i $C$ omogućava da se i kompleksni brojevi crtaju u ravnini kao točke. Razlika između ravnine u kojoj se crtaju uređeni parovi realnih brojeva i ravnine u kojoj se crtaju kompleksni brojevi je u tome što u ovoj potonjoj točke možemo zbrajati i množiti, pa zato ova druga ima posebno ime. Ona se zove Gaussova ravnina ili kompleksna ravnina.

Zbrajanje i odbijanje točaka u Gaussovoj ravnini se vrši po pravilu paralelograma kao na slici.

Trigonometrijski oblik

Neka je $z\in C\setminus \{0\}.$ Broju $z=a+b\,i$ pripada u kompleksnoj ravnini točka $T\neq O.$ Toj točki pripada u polarnom koordinatnom sustavu uređen par brojeva $(r,\varphi).$ Pri tom je $a=r\cos \varphi, b=r\sin \varphi,$ a $r=\sqrt{a^2+b^2}=\vert z\vert.$ Tako je

$$z=a+b\,i=\vert z\vert\cos \varphi+i\,\vert z\vert\sin \varphi= \vert z\vert(\cos \varphi+i\,\sin \varphi).$$

Zapis

$$\fbox{$z=\vert z\vert(\cos \varphi+i\,\sin \varphi)$}$$

se zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Broj $\varphi$ se zove argument broja $z.$ Broju $z$ je pridruženo beskonačno mnogo vrijednosti argumenta, $\varphi,\varphi+2\pi,\varphi-2\pi,\varphi+4\pi,\varphi-4\pi, \ldots .$ Vrijednost koja se nalazi u $[0,2\pi\rangle$ se zove glavna vrijednost argumenta.

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je pogodan za operacije množenja, dijeljenja, potenciranja i korjenovanja kompleksnih brojeva.

Množenje

Neka su $z_1=\vert z_1\vert(\cos \varphi_1+i\,\sin \varphi_1), z_2=\vert z_2\vert(\cos \varphi_2+i\,\sin \varphi_2)$ dva kompleksna broja.

$$z_1z_2=\vert z_1\vert(\cos \varphi_1+i\,\sin \varphi_1) \vert z_2\vert(\cos \varphi_2+i\,\sin \varphi_2)=$$

$$\vert z_1\vert\vert z_2\vert(\cos \varphi_1\cos \varphi_2-\sin \v... ...sin \varphi_2+ i\,(\cos \varphi_1\sin \varphi_2+\sin \varphi_1\cos \varphi_2)).$$

Dakle

$$\fbox{$z_1z_2= \vert z_1\vert\vert z_2\vert(\cos (\varphi_1+\varphi_2)+i\,\sin (\varphi_1+\varphi_2))$.}$$

Primjer 8.1   Što znači pomnožiti kompleksni broj $z$ s $i$?

Rješenje. Trigonometrijski oblik imaginarne jedinice je

$$i=\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2},$$

pa je tako

$$z\,i=\vert z\vert(\cos(\varphi+\frac{\pi}{2})+i\,\sin(\varphi+\frac{\pi}{2})),$$

što je kompleksni broj istog modula, dakle na središnjoj kružnici radiusa $\vert z\vert$ kao i $z,$ a argumenta za $\frac{\pi}{2}$ većeg nego $z.$ To znači da se množenje s $i$ u Gaussovoj ravnini provodi rotiranjem za kut $\frac{\pi}{2}$ oko ishodišta u smjeru protivnom kazaljci na satu.

Dijeljenje

$$\frac{z_1}{z_2}= \frac{\vert z_1\vert(\cos \varphi_1+i\,\sin \varphi_1)} {\vert z_2\vert(\cos \varphi_2+i\,\sin \varphi_2)}=$$

$$\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}\cdot\frac{\cos \varphi_1+i\... ...dot \frac{\cos \varphi_2-i\,\sin \varphi_2} {\cos \varphi_2-i\,\sin \varphi_2}=$$

$$\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}\cdot \frac{\cos \varphi_1\c... ...s \varphi_2-\cos \varphi_1\sin \varphi_2)} {\cos \varphi_2^2+\sin \varphi_2^2}.$$

Dakle

$$\fbox{$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\vert z... ...}{\vert z_2\vert} (\cos (\varphi_1-\varphi_2)+i\,\sin (\varphi_1-\varphi_2))$.}$$

Specijalno, ako je $z_2=i,$ onda je

$$\frac{z_1}{i}= \vert z_1\vert(\cos (\varphi_1-\frac{\pi}{2})+i\,\sin (\varphi_1-\frac{\pi}{2})),$$

pa prema tome dijeljenje s $i$ u Gaussovoj ravnini ima efekt rotacije za kut $\frac{\pi}{2}$ oko ishodišta u smjeru kretanja kazaljke na satu.

Na temelju ovih formula možemo grafički množiti i dijeliti kompleksne brojeve u Gaussovoj ravnini.

Objašnjenje. Argument produkta jednak je zbroju argumenata, pa se kut određuje kao zbroj dva kuta, a modul produkta zadovoljava sljedeći razmjer

$$1:\vert z_1\vert=\vert z_2\vert:\vert z_1\vert\vert z_2\vert.$$

Tako se modul određuje pomoću sličnosti trokuta.

Argument kvocijenta jednak je razlici argumenata, pa se kut određuje kao razlika dva kuta, a modul kvocijenta zadovoljava sljedeći razmjer

$$1:\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}=\vert z_2\vert:\vert z_1\vert.$$

Tako se modul određuje pomoću sličnosti trokuta.

Potenciranje

Iz množenja, pomoću matematičke indukcije, slijedi

$$z^n=\vert z\vert^n(\cos \varphi+i\,\sin \varphi)^n= \vert z\vert^n(\cos n\varphi+i\,\sin n\varphi),$$

za svaki prirodni broj $n.$

Primjer 8.2   Izračunati

$$\left(\frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2}\right)^n.$$

Rješenje.

$$\frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2}=\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}.$$

$$\left(\frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2}\right)^n= \cos\frac{n\pi}{4}+i\,\sin\frac{n\pi}{4}.$$

Dakle, za $n=8k, k\in Z$ rezultat je $1,$ za $n=8k+1, k\in Z$ rezultat je $\frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2},$ za $n=8k+2, k\in Z$ rezultat je $i,$ za $n=8k+3, k\in Z$ rezultat je $-\frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2},$ za $n=8k+4, k\in Z$ rezultat je $-1,$ za $n=8k+5, k\in Z$ rezultat je $-\frac{\sqrt{2}-i\,\sqrt{2}}{2},$ za $n=8k+6, k\in Z$ rezultat je $-i,$ za $n=8k+7, k\in Z$ rezultat je $\frac{\sqrt{2}-i\,\sqrt{2}}{2}.$

Korjenovanje

$n$-tih korijena kompleksnog broja $z\neq 0$ ima točno $n$ i oni su dani ovom formulom

$$\fbox{$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\vert z\... ...rphi+2k\pi}{n}+ i\,\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\;\;k=0,1,\ldots ,n-1$.}$$

Modul im je svima jednak i to $\sqrt[n]{\vert z\vert},$ pa se u Gaussovoj ravnini nalaze na središnjoj kružnici s tim radiusom. Prvi korijen ima argument $\frac{\varphi}{n},$ a sljedeći korijeni se dobivaju uvećavanjem argumenta prethodnog korijena za $\frac{2\pi}{n}.$ To znači da su korijeni zapravo vrhovi određenog pravilnog $n-$terokuta upisanog središnjoj kružnici radiusa $\sqrt[n]{\vert z\vert}.$

Objašnjenje. Naći $\sqrt[n]{z}=w$ je isto što i naći $w\in C$ takav da je $w^n=z.$ Neka je

$$z=\vert z\vert(\cos \varphi+i\,\sin \varphi)= \vert z\vert(\cos (\varphi+2k\pi)+i\,\sin (\varphi+2k\pi)),\;k\in Z.$$

Pretpostavimo da je

$$w=\vert w\vert(\cos \psi+i\,\sin \psi).$$

Jednakost $w^n=z$ prelazi u jednakost

$$\vert w\vert^n(\cos n\psi+i\,\sin n\psi)= \vert z\vert(\cos (\varphi+2k\pi)+i\,\sin (\varphi+2k\pi)),\;k\in Z.$$

Odatle

$$\vert w\vert=\sqrt[n]{\vert z\vert},\hspace{1cm} \psi=\frac{\varphi+2k\pi}{n}=\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n},\;k\in Z.$$

Dakle za svaki $k\in Z$ imamo po jedan $n-$ti korijen broja $z.$ Međutim, među njima ima jednakih. Zbog

$$\frac{\varphi}{n}+2(k+n)\pi=\frac{\varphi}{n}+2k\,\pi+2\pi,$$

i periodičnosti trigonometrijskih funkcija, slijedi da se korijeni ponavljaju nakon svakih $n$ cijelih brojeva.

Primjer 8.3   Nađimo $\sqrt[3]{-1}.$

Rješenje. Modul je $1$, a argument je $\pi.$ Dakle treći korijeni su

$$\cos\frac{\pi}{3}+i\,\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+ i\,\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$\cos\frac{\pi+2\pi}{3}+i\,\sin\frac{\pi+2\pi}{3}= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1,$$

$$\cos\frac{\pi+4\pi}{3}+i\,\sin\frac{\pi+4\pi}{3}= \frac{1}{2}-i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Na kraju dodajmo da je kod drugog korijena $w_2=-w_1.$

Zaista,

$$w_1=\sqrt[n]{\vert z\vert}\left(\cos \frac{\varphi}{n}+ i\,\sin \frac{\varphi}{n}\right),$$

$$w_2=\sqrt[n]{\vert z\vert}\left(\cos \left(\frac{\varphi}{n}+\pi\right)+ i\,\sin \left(\frac{\varphi}{n}+\pi\right)\right)=-w_1.$$

To ima posljedicu da formula za rješenja kvadratne jednadžbe vrijedi i u slučaju kada su koeficijenti u jednadžbi kompleksni brojevi.

Zaista, neka je

$$az^2+bz+c=0,$$

gdje su $a,b,c$ kompleksni brojevi. Rješenja gornje jednadžbe se dobiju ovako.

$$az^2+bz+c=a\left(z^2+\frac{b}{a}z\right)+c= a\left(z^2+\frac{b}{a... ...}\right)-\frac{b^2}{4a}+c= a\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0.$$

Odatle

$$\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2},$$

$$z+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}},$$

$$z=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Vidimo da je formula za rješenja kvadratne jednadžbe ista, bez obzira na to da li su koeficijenti u jednadžbi realni ili kompleksni brojevi.