Kružna membrana s rupom u obliku kruga u sredini

U tom slučaju imamo dva rubna uvjeta

$$u(R_1,\varphi) = \alpha(\varphi),$$

$$u(R_2,\varphi) = \beta(\varphi),$$

gdje je $r=R_1$ unutrašnji, a $r=R_2$ vanjski rub. Sada su sva posebna rješenja moguća, pa rješenje rubnog problema pretpostavljamo u obliku

$$u(r,\varphi) = C_{0} + D_{0}\,\ln r + \sum_{n=1}^{\infty} \left[... ...\varphi + \left(C_{2n}\,r^n + \frac{D_{2n}}{r^n}\right)\,\sin n\varphi\right].$$

Za $r=R_1$ desnu stranu možemo shvatiti kao Fourierov red funkcije $\alpha,$ a za $r=R_2$ kao Fourierov red funkcije $\beta.$ Tako imamo

$$C_{0} + D_{0}\,\ln R_1 = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\, \a... ..._{0}\,\ln R_2 = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\beta(\varphi)\,d\varphi,$$

$$C_{1n}\,R_1^n + \frac{D_{1n}}{R_1^n} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}... ...} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\, \beta(\varphi)\,\cos n\varphi\,d\varphi,$$

$$C_{2n}\,R_1^n + \frac{D_{2n}}{R_1^n} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}... ...} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\, \beta(\varphi)\,\sin n\varphi\,d\varphi,$$

za $n=1,2,3,\ldots\ .$ Za svaki $n$ treba riješiti sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice da bi se dobili neodređeni koeficijenti u rješenju.

Primjer 2.20   Neka je dana beskonačna homogena kružna cijev, čiji je unutarnji radius $R_1,$ a vanjski $R_2.$ Unutarnja stijena cijevi se održava na stalnoj temperaturi $b,$ a vanjska na temperaturi $a(1+\cos\varphi).$ Naći raspodjelu temperature u tijelu cijevi nakon što se uspostavi toplinska ravnoteža.

Rješenje. Beskonačnost cijevi nam, zajedno s homogenošću omogućuje da na problem gledamo kao na dvodimenzionalni. U tom slučaju se, naime, u svakom poprečnom presjeku uspostavi isto ravnotežno stanje. Problem je prema tome ekvivalentan problemu toplinske ravnoteže unutar prstena, tj. rubnom problemu

$$% latex2html id marker 36840 \begin{cases} \Delta\,u(r,\va... ...) = b,\quad u(R_2,\varphi) = a\,(1+\cos\varphi). \end{cases}$$

Rješenje će biti oblika

$$u(r,\varphi) = C_{0} + D_{0}\,\ln r + \sum_{n=1}^{\infty} \left[... ...\varphi + \left(C_{2n}\,r^n + \frac{D_{2n}}{r^n}\right)\,\sin n\varphi\right],$$

gdje je

$$C_{0} + D_{0}\,\ln R_1 = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\, b\... ...\,\ln R_2 = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,a\,(1+\cos\varphi)\,d\varphi,$$

$$C_{1n}\,R_1^n + \frac{D_{1n}}{R_1^n} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\, b\,\cos n\varphi\,d\varphi,$$

$$C_{1n}\,R_2^n + \frac{D_{1n}}{R_2^n} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\, a\,(1+\cos\varphi)\,\cos n\varphi\,d\varphi,$$

$$C_{2n}\,R_1^n + \frac{D_{2n}}{R_1^n} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\, b\,\sin n\varphi\,d\varphi,$$

$$C_{2n}\,R_2^n + \frac{D_{2n}}{R_2^n} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\, a\,(1+\cos\varphi)\,\sin n\varphi\,d\varphi.$$

Rješenja ovih sustava jednadžbi su

$$C_0 = \frac{a\,\ln R_1 - b\,\ln R_2}{\ln R_1 - \ln R_2},\quad D_0 = \frac{b-a}{\ln R_1 - \ln R_2}$$

$$C_{11} = \frac{a\,R_2}{R_2^2-R_1^2},\quad D_{11} = \frac{a\,R_1^2\,R_2}{R_1^2 - R_2^2},\quad C_{1n} = D_{1n} = 0,$$ za $$n=2,3,\ldots\ ,$$

$$C_{2n} = 0,\quad D_{2n} = 0,$$    za $$n=1,2,3,\ldots\ .$$

Prema tome rješenje je

$$u(r,\varphi) = \frac{a\,\ln R_1 - b\,\ln R_2}{\ln R_1 - \ln R_2} + \frac{b-a}{\ln R_1 - \ln R_2}\,\ln r$$

$$+ \left(\frac{a\,R_2\,r}{R_2^2-R_1^2} + \frac{a\,R_1^2\,R_2}{r\,(R_1^2 - R_2^2)}\right)\,\cos \varphi.$$