Ravnoteža pravokutne membrane

Rubni problem za ravnotežu pravokutne membrane učvršćene na rubu glasi

$$% latex2html id marker 36867 \begin{cases} \Delta\,u(x,y) =... ...) \in P,$} \\ u\vert _{\partial P}=\alpha(x,y), & \end{cases}$$

gdje je $P$ pravokutnik $[0,a]\times [0,b].$

Pretpostavimo da je $f=0,$ i da je

$$% latex2html id marker 36875 \begin{array}{l} u(x,0) = \alpha(x),\\ u(0,y)=u(a,y)=u(x,b)=0, \end{array}$$

s tim da, zbog pretpostavke o neprekidnosti membrane, mora biti $\alpha(0) = \alpha(a) = 0.$

Pretpostavimo rješenje u obliku

$$u(x,y) = X(x)\,Y(y).$$

Iz $\Delta\,u = 0$ slijedi

$$Y(y)\,X''(x) + Y''(y)\,X(x) = 0,$$

$$\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = c,$$

gdje je $c$ konstanta, jer smo separirali varijable. Odatle

$$X''(x) - c\,X(x) = 0,\qquad X(0) = 0,\quad X(a) = 0.$$

Kao i u 2.3.3 zaključujemo da je $c$ negativan, pa možemo pisati $c=-\lambda^2.$

Tako imamo

$$% latex2html id marker 36895 \begin{cases}X''(x) + \lambda^2\,X(x) = 0.& \\ X(0) = 0,\quad X(a) = 0. \end{cases}$$ (2.54)

Rješenja problema (2.56) jesu funkcije

$$X_n(x) = \sin\frac{n\,\pi}{a}\,x.$$

Druga jednadžba

$$Y''(y) - \lambda^2\,Y(y) = 0$$

daje rješenja

$$Y_n(y) = A_n\,{\rm ch}\,\frac{n\,\pi}{a}\,y + B_n\,{\rm sh}\,\frac{n\,\pi}{a}\,y.$$

Rješenje rubnog problema tražimo u obliku

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} X_n(x)\... ...i}{a}\,y + B_n\,{\rm sh}\,\frac{n\,\pi}{a}\,y\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{a}\,x.$$

Iz rubnog uvjeta $u(x,b)=0$ slijedi

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n\,{\rm... ...}\,b + B_n\,{\rm sh}\,\frac{n\,\pi}{a}\,b\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{a}\,x = 0,$$

pa je

$$B_n = - A_n\,{\rm cth}\,\frac{n\,\pi\,b}{a}.$$

Iz rubnog uvjeta $u(x,0)=\alpha(x)$ imamo

$$\alpha(x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\,\sin\frac{n\,\pi}{a}\,x.$$

Odatle

$$A_n = \frac{2}{a} \int_0^a \alpha(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{a}\,x\,dx.$$

Ako je uvjet na rubu složeniji, onda se problem rastavlja na nekoliko ovakvih.

Primjer 2.21   Naći ravnotežu pravokutne tanke ploče (membrane), na području $[0,a]\times [0,b],$ uz sljedeće uvjete na rubu

$$u(0,y) = -2\,y - {y^2},\quad u(a,y) = 2\,a + {a^2} - 2\,y - {y^2},$$

$$u(x,0) = 2\,x + {x^2},\quad u(x,b) = -2\,b - {b^2} + 2\,x + {x^2}.$$

Rješenje. Treba riješiti problem

$$% latex2html id marker 36924 \begin{cases} \Delta\,u(x,y)... ...},\quad u(x,b) = -2\,b - {b^2} + 2\,x + {x^2}. \end{cases}$$

Objasnili smo kako se rješava rubni problem za ravnotežu pravokutne membrane u slučaju kad je rubni uvjet homogen na tri od četiri ruba. Ovaj problem ćemo riješiti tako da ga rastavimo na nekoliko problema, od kojih je svaki problem tipa koji smo objasnili.

Prvi korak je da pogodnom, jednostavnom, supstitucijom osiguramo da pomak membrane u vrhovima pravokutnika bude $0.$ Stavimo

$$v(x,y) = u(x,y) + \alpha{}\,x\,y + \beta{}\,x + \gamma{}\,y + \delta{},$$

i odredimo $\alpha{},\beta{},\gamma{},\delta{}$ tako da je

$$v(0,0) = 0,\quad v(a,0) = 0,\quad v(0,b) = 0,\quad v(a,b) = 0.$$

Dobivamo sustav jednadžbi

$$\delta =$$ 0

$$2\,a + {a^2} + a\,\beta + \delta =$$ 0

$$-2\,b - {b^2} + \delta + b\,\gamma =$$ 0

$$2\,a + {a^2} - 2\,b + a\,\alpha\,b - {b^2} + a\,\beta + \delta + b\,\gamma = 0.$$

Rješenje je

$${{\alpha} = 0},\quad {{\beta} = {-2 - a}},\quad {{\gamma} = {2 + b}},\quad {{\delta} = 0}.$$

Prema tome početni problem smo sveli na sljedeći

$$% latex2html id marker 36958 \begin{cases} \Delta\,v(x,y)... ...(x,0) = x\,(x-a),& \\ \qquad v(x,b) = x\,(x-a). \end{cases}$$

Neka je $u_1(x,y)$ rješenje rubnog problema

$$% latex2html id marker 36962 \begin{cases} \Delta\,w(x,y)... ...d w(a,y) = 0,\quad w(x,0) = 0,\quad w(x,b) = 0, \end{cases}$$

$u_2(x,y)$ rješenje rubnog problema

$$% latex2html id marker 36966 \begin{cases} \Delta\,w(x,y)... ...) = (b-y)\,y,\quad w(x,0) = 0,\quad w(x,b) = 0, \end{cases}$$

$u_3(x,y)$ rješenje rubnog problema

$$% latex2html id marker 36970 \begin{cases} \Delta\,w(x,y)... ...) = 0,\quad w(x,0) = x\,(x-a),\quad w(x,b) = 0, \end{cases}$$

$u_4(x,y)$ rješenje rubnog problema

$$% latex2html id marker 36974 \begin{cases} \Delta\,w(x,y)... ...) = 0,\quad w(x,0) = 0,\quad w(x,b) = x\,(x-a), \end{cases}$$

Tada je očito

$$v(x,y) = u_1(x,y) + u_2(x,y) + u_3(x,y) + u_4(x,y),$$

odnosno

$$u(x,y) = u_1(x,y) + u_2(x,y) + u_3(x,y) + u_4(x,y) + (2 + b)\,y - (2 + a)\,x.$$