next up previous contents index
Next: Varijacijski princip Up: Metoda separacije varijabli (Fourierova Previous: Ravnoteža pravokutne membrane   Sadržaj   Indeks


Metoda separacije varijabli za nestacionarne probleme

Nestacionarni problemi su opisani valnom jednadžbom

$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\,\Delta\,u,$

ili jednadžbom provođenja

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = c^2\,\Delta\,u$

na nekom području $ \Omega{}$ u $ \\ R^3.$ Ovdje smo radi jednostavnosti uzeli da su gustoća mase $ \rho,$ i specifična toplina $ \gamma{}$ konstante. Također smo pretpostavili da nema vanjskog utjecaja, tj. da je $ f=0.$

Pretpostavimo da je rubni uvjet Dirichletov

$\displaystyle \left.u(P,t)\right\vert _{\partial{\Omega}} = 0.$

Ovdje je, zbog kratkoće zapisa, stavljeno $ P$ umjesto $ (x,y,z).$2.4 Početni uvjeti za valnu jednadžbu neka su

$\displaystyle u(P,0) = \phi{}(P),\hspace{1cm}\frac{\partial{}u(P,0)}{\partial{}t} =
\psi{}(P),$

za $ P \in \bar{\Omega{}}.$ Ovdje $ \bar{\Omega{}}$ označava područje $ \Omega{}$ zajedno s rubom $ \partial{}\Omega{}.$

Osnovna pretpostavka je da se rješenje može predstaviti u obliku produkta

$\displaystyle u(P,t) = v(P)\,T(t).$

Uvrstimo u jednadžbu, na pr. valnu

$\displaystyle v(P)\,T''(t) = c^2\,T(t)\,\Delta\,v(P),$

i podijelimo s $ c^2T(t)v(P)$

$\displaystyle \frac{1}{c^2}\,\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{\Delta\,v(P)}{v(P)} = a.$

Budući da smo separirali varijable, i da su one nezavisne, $ a$ je konstanta.

$\displaystyle \Delta\,v(P) = a\,v(P).$

Pomnožimo ovu jednadžbu s $ v(P),$ i integriramo po $ \Omega{}$

$\displaystyle \iiint_{\Omega}\,v(P)\,\Delta\,v(P)\,dV = \iiint_{\Omega}\,a\,v(P)^2\,dV.$

Imamo, zbog (2.53),

% latex2html id marker 37035
$\displaystyle \iiint_{\Omega} v\,\Delta v\,dV =
\i...
...iint_{\Omega} ({\rm grad\,}v)^2\,dV = -
\iiint_{\Omega} ({\rm grad\,}v)^2\,dV,$

jer se $ v$ poništava na $ \partial{}\Omega{}.$ Tako je

% latex2html id marker 37041
$\displaystyle a = -\frac{\iiint_{\Omega} ({\rm grad\,}v(P))^2\,dV}{\iiint_{\Omega}\,v(P)^2\,dV} <
0.$

Dakle možemo staviti $ a = -\lambda{}^2.$ Tako se početna jednadžba raspada na dvije jednadžbe

$\displaystyle \Delta\,v(P) + \lambda{}^2\,v(P) = 0,$

$\displaystyle T''(t) + (c\,\lambda{})^2\,T(t) = 0.$

Rubni uvjet je sada

$\displaystyle u(P,t) = v(P)\,T(t) = 0,$    za $\displaystyle P\in\partial{}\Omega{}.$

Kako to vrijedi za svaki $ t,$ mora biti $ v(P)=0$ na $ \partial{}\Omega{}.$ Tako imamo rubni problem

% latex2html id marker 37058
$\displaystyle \begin{cases}
\Delta\,v(P) + \lambda...
...r{\Omega{}},$} \\
v(P) = 0,& \mbox{ za $P\in\partial{}\Omega{}.$}
\end{cases}$

Oni $ \lambda{}^2$ za koje postoji netrivijalno rješenje ovog problema zovu se vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije vlastite funkcije ovog rubnog problema.

Neka su $ \alpha{}$ i $ \beta{}$ dvije međusobno različite vlastite vrijednosti, i $ v$ odnosno $ w$ pripadne vlastite funkcije. Tada

$\displaystyle \iiint_{\Omega} (v\,\Delta\,w - w\,\Delta\,v)\,dV = \iiint_{\Omeg...
...{}\,v\,w - \beta{}\,v\,w)\,dV = (\alpha{} -
\beta{})\,\iiint_{\Omega} v\,w\,dV.$

S druge strane, prema drugoj Greenovoj formuli, koja se izvodi iz (2.53),

$\displaystyle \iiint_{\Omega} (w\,\Delta\,v - v\,\Delta\,w)\,dV = \iint_{\parti...
... v}{\partial \vec{n}} - v\,\frac{\partial
w}{\partial \vec{n}}\right)\,dS = 0,$

jer je $ v(P) = w(P) = 0$ za $ P\in\partial{}\Omega{}.$ Tako je

$\displaystyle (\alpha{} - \beta{})\,\iiint_{\Omega} v\,w\,dV = 0.$

Budući da je $ \alpha{}\neq\beta,$ slijedi

$\displaystyle \iiint_{\Omega} v\,w\,dV = 0.$

Zbog ovog svojstva kažemo da su vlastite funkcije, koje pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, međusobno okomite. Opravdanje leži u činjenici da produkt

$\displaystyle f\cdot g = \iiint_{\Omega} f\,g\,dV,$

koji paru funkcija pridružuje broj (skalar), ima sva svojstva skalarnog produkta.

Pretpostavimo sada da su $ \lambda{}_n^2,\,n=1,2,3,\ldots$ vlastite vrijednosti, a $ v_n,\,n=1,2,3,\ldots$ vlastite funkcije rubnog problema. Tada vremenska jednadžba glasi

$\displaystyle T_n''(t) + (c\,\lambda{}_n)^2\,T_n(t) = 0.$

Rješenja su

$\displaystyle T_n(t) = A_n\,\cos c\lambda{}_nt + B_n\,\sin c\lambda{}_nt.$

Rješenje cijelog rubno-početnog problema tražimo u obliku

$\displaystyle u(P,t) = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(t)\,v_n(P) = \sum_{n=0}^{\infty}
\left(A_n\,\cos c\lambda{}_nt + B_n\,\sin
c\lambda{}_nt\right)\,v_n(P).$

Neodređene konstante $ A_n,B_n,\,n=1,2,3,\ldots$ računamo iz početnih uvjeta, pomoću Fourierovih redova.

Kod jednadžbe provođenja jedina je razlika u vremenskoj jednadžbi. Ona u tom slučaju glasi

$\displaystyle T_n'(t) + (c\,\lambda{}_n)^2\,T_n(t) = 0,$

pa je

$\displaystyle T_n(t) = C_n\,e^{-(c\,\lambda{}_n)^2\,t}.$

Rješenje cijelog problema se tada traži u obliku

$\displaystyle u(P,t) = \sum_{n=0}^{\infty}
C_n\,e^{-(c\,\lambda{}_n)^2\,t}\,v_n(P),$

a neodređene konstante $ C_n$ se određuju iz početnog uvjeta pomoću Fourierovog reda.


next up previous contents index
Next: Varijacijski princip Up: Metoda separacije varijabli (Fourierova Previous: Ravnoteža pravokutne membrane   Sadržaj   Indeks
2001-10-26