Slobodne oscilacije žice

Pod slobodnim oscilacijama žice podrazumijevamo oscilacije, koje nastaju uslijed početnih uvjeta, a bez utjecaja vanjske sile. Tako je $f(x,t) = 0,$ pa imamo sljedeći rubno-početni problem

$$% latex2html id marker 35190 \begin{cases}\frac{\textstyle{\... ...artial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x). \end{cases}$$ (2.22)

Pretpostavimo rješenje u obliku funkcije

$$u(x,t) = X(x)\,T(t).$$

Ova pretpostavka je ključna za metodu koju ćemo sada opisati, a zove se Fourierova metoda ili metoda separacije varijabli. Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje

$$X(x)\,T''(t) = c^2\,X''(x)\,T(t),$$ (2.23)

a rubni uvjeti

$$u(0,t) = X(0)\,T(t) = 0,\hspace{1cm}u(\ell,t) = X(\ell)\,T(t) = 0,$$

odakle slijedi

$$X(0) = 0,\hspace{1cm}X(\ell) = 0,$$

jer $T(t)\neq 0,$ za barem jedan $t.$ U protivnom bismo imali $u(x,t) = 0$ za svaki $x,t,$ pa bi žica mirovala, što nije moguće ako je početnim uvjetima izvučena iz položaja ravnoteže.

U jednadžbi (2.24) možemo separirati varijable dijeleći je s $c^2X(x)T(t)$

$$\frac{1}{c^2}\,\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}.$$

Lijeva strana ove jednadžbe ovisi samo o $t,$ a desna samo o $x.$ Kako su varijable $x$ i $t$ nezavisne, slijedi

$$\frac{1}{c^2}\,\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = a,$$

gdje je $a$ konstanta. Tako imamo sljedeći rubni problem

$$X''(x) - a\,X(x) = 0,\hspace{1cm}X(0) = 0,\,X(\ell) = 0,$$

Pomnožimo ovu jednadžbu s $X(x)$ i integrirajmo po $x$ po segmentu $[0,\ell].$

$$\int_0^{\ell}\,X''(x)\,X(x)\,dx = a \int_0^{\ell}\,X(x)^2\,dx.$$

Parcijalno integrirajmo integral na lijevoj strani, i uvrstimo rubne uvjete

$$\underbrace{\left.X'(x)\,X(x)\right\vert _0^{\ell}}_{=0}- \int_0^{\ell}\, X'(x)^2\,dx = a \int_0^{\ell}\,X(x)^2\,dx,$$

pa je

$$a = - \frac{\int_0^{\ell}\, X'(x)^2\,dx}{\int_0^{\ell}\,X(x)^2\,dx}.$$

Odavde slijedi da je $a<0,$ pa možemo staviti $a = -\lambda^2.$^2.1 Tako imamo rubni problem

$$X''(x) + \lambda^2\,X(x) = 0,\hspace{1cm}X(0) = 0,\,X(\ell) = 0.$$ (2.24)

Ovaj problem smo već riješili u 2.3.1, i dobili

$$\lambda_n = \frac{n\,\pi}{\ell},\hspace{1cm}X_n(x) = B_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$$

Za svaki $\lambda_{n}$ imamo po jednu jednadžbu za $T(t)$

$$T_n''(t) + c^2\,\lambda_n^2\,T_n(t) = 0,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ ,$$

pa je opće rješenje

$$T_n(t) = C_n\,\cos c\,\lambda_n\,t + D_n\,\sin c\,\lambda_n\,t,$$

odnosno

$$T_n(t) = C_n\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t + D_n\,\sin \frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t.$$

Tako imamo niz rješenja

$$u_n(x,t) = X_n(x)\,T_n(t) = \left(E_n\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t + F_n\,\sin \frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$$

za $n=1,2,3,\ldots,$ međutim nijedno od njih, u općem slučaju, ne zadovoljava početne uvjete. Nadamo se da će tek beskonačni red

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(E_n\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t + F_n\,\sin \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$$ (2.25)

zadovoljiti početni uvjet. Ovdje su $E_n,F_n$ neodređeni koeficijenti, koje određujemo pomoću početnih uvjeta.

$$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = \alpha(x).$$

Suma u ovoj formuli je Fourierov red neparne funkcije definirane na segmentu $[-\ell,\ell].$ Budući da se na $[0,\ell]$ podudara s funkcijom $\alpha,$ to znači da je to Fourierov red funkcije koja je iz $\alpha$ dobivena njezinim proširenjem po neparnosti s $[0,\ell]$ na $[-\ell,\ell]$ (v. sliku).

Tako je

$$E_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\, \alpha(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$$

Iskoristimo i drugi početni uvjet

$$\frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial t}} = \sum_{n=1}^{\infty} \lef... ...\,n\,\pi}{\ell}\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$$

$$\frac{{\partial u(x,0)}}{{\partial t}} = \beta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$$

Kao gore imamo

$$F_n\,\frac{c\,n\,\pi}{\ell} = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\, \beta(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ ,$$

odnosno

$$F_n = \frac{2}{c\,n\,\pi}\int_0^{\ell}\, \beta(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$$

Iz ovog razmatranja vidimo da je za upotrebu Fourierove metode nužno imati početne uvjete koji se mogu razložiti u Fourierov red.

Primjer 2.15   Naći slobodne oscilacije napete homogene žice, duljine $\ell,$ učvršćene na rubovima, ako je početna brzina jednaka nuli, a početni pomak kao na slici.

Rješenje. Budući da nema vanjske sile, i da su uvjeti na rubu homogeni, vlastite vrijednosti i vlastite funkcije su kao u rubnom problemu (2.23). Vidjeli smo da se u tom slučaju rješenje može pretpostaviti u obliku (2.26). Pri tom su nepoznati koeficijenti $E_n$ Fourierovi koeficijenti početnog pomaka, a $F_n$ su, do na faktor, Fourierovi koeficijenti početne brzine. Kako je početna brzina $0,$ slijedi $F_n=0,$ za $n=1,2,3,\ldots\ .$ Ostaje izračunati $E_n$ po formuli

$$E_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\, \alpha(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$$

$$E_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\frac{\ell}{2}} \frac{2\,h}{\ell}\,x\... ...rac{\ell}{2}}^{\ell} \frac{2\,h}{\ell}\,(x-\ell)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx.$$

$$E_n = \left.{\frac{-4\,h\, \left( n\,\pi \,x\, \cos ({\frac{n\,\p... ...} {\ell}}) \right) }{\ell\,{n^2}\, {{\pi }^2}}}\right\vert _0^{\frac{\ell}{2}}$$

$$+ \left.{\frac{-4\,h\,\left( n\,\pi \, \left( \ell - x \right) \,... ...ell}}) \right) }{\ell\,{n^2}\, {{\pi }^2}}}\right\vert _{\frac{\ell}{2}}^{\ell}$$

$$= \frac{32\,h\,\cos ({\frac{n\,\pi } {4}})\,{{\sin ({\frac{n\,\pi } {4}})}^3}}{{n^2}\,{{\pi }^2}}.$$

Tako su koeficijenti

$$E_1 = {\frac{8\,h}{{{\pi }^2}}}, E_3 = -{\frac{8\,h}{9\,{{\pi }^2... ...= -{\frac{8\,h}{49\,{{\pi }^2}}}, E_9 = {\frac{8\,h}{81\,{{\pi }^2}}},\ldots\ ,$$

pa je rješenje

$$u(x,t) = {\frac{8\,h}{{{\pi }^2}}}\,\cos\frac{c\,\pi}{\ell}t\,\si... ...ac{8\,h}{9\,{{\pi }^2}}}\,\cos\frac{3\,c\,\pi}{\ell}t\,\sin\frac{3\,\pi}{\ell}x$$

$$+ {\frac{8\,h}{25\,{{\pi }^2}}}\,\cos\frac{5\,c\,\pi}{\ell}t\,\si... ...{\pi }^2}}}\,\cos\frac{7\,c\,\pi}{\ell}t\,\sin\frac{7\,\pi}{\ell}x + \cdots\ .$$