next up previous contents index
Next: Ocjena greške Up: Aproksimacija funkcije i numerička Previous: Aproksimacija funkcije i numerička   Sadržaj   Indeks


Lagrangeov interpolacijski polinom

Neka je dana funkcija $ f:[a,b]\rightarrow{}\mathbb{R},$ i međusobno različite točke $ x_0,$ $ x_1,$ $ x_2,\ldots,$ $ x_n$ u $ [a,b].$ Želimo aproksimirati funkciju $ f$ polinomom koji u izabranim točkama ima iste vrijednosti kao funkcija $ f.$ Ovako postavljen problem ima mnogo rješenja. Međutim, ako zahtijevamo da stupanj polinoma bude najviše $ n,$ onda imamo samo jedno rješenje, što upravo tvrdi sljedeći teorem.

Teorem 27   Neka je dana $ n+1$ vrijednost

$\displaystyle f(x_k) = y_k,\hspace{1cm}k=0,1,2,3,\ldots,n$

funkcije $ f:[a,b]\rightarrow{}\mathbb{R}.$ Tada postoji jedan i samo jedan polinom $ P$ stupnja najviše $ n,$ takav da je

$\displaystyle P(x_k) = y_k,\hspace{1cm}k=0,1,2,3,\ldots,n.$


Dokaz. Neka su polinomi $ L_k,
k=0,1,2,\ldots,n$ stupnja najviše $ n$ takvi da je

$\displaystyle L_k(x_j) = \delta_{k\,j},\hspace{1cm}k,j=0,1,2,\ldots,n,$

gdje je $ \delta_{k\,j}$ Kroneckerov simbol 1.1. Tada je

$\displaystyle P(x) = y_0\,L_0(x) + y_1\,L_1(x) + \cdots + y_n\,L_n(x) =
\sum_{i=0}^n y_i\,L_i(x)$

traženi polinom. Doista,

$\displaystyle P(x_k) = \sum_{i=0}^n y_i\,L_i(x_k) = \sum_{i=0}^n
y_i\,\delta_{i\,k} = y_k.$

Konstruirajmo sada polinome $ L_k.$ Polinom $ L_k$ ima nultočke $ x_0,x_1,\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_n.$ Polinom minimalnog stupnja s tim svojstvom ima oblik

$\displaystyle L_k(x) = a_k\,(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots
(x-x_n).$

Broj $ a_k$ je neodređen. Njega određujemo iz uvjeta $ L_k(x_k)=1,$ tj.

$\displaystyle a_k\,(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots
(x_k-x_n) = 1.$

Tako je

$\displaystyle a_k = \frac{1}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots
(x_k-x_n)},$

pa je

% latex2html id marker 39372
$\displaystyle L_k(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots ...
...cdots
(x_k-x_n)} = \prod^n_{\substack{i=0\\  i\neq k}}
\frac{x-x_i}{x_k-x_i}.$

Dakle

% latex2html id marker 39374
$\displaystyle P(x) = \sum_{k=0}^n y_k\,\prod^n_{\substack{i=0\\  i\neq k}}
\frac{x-x_i}{x_k-x_i}.$

Jedinstvenost ovog polinoma slijedi ovako. Pretpostavimo da je $ Q$ također polinom stupnja najviše $ n$ takav da je $ Q(x_k)=y_k,k=0,1,2,\ldots,n.$ Tada je $ W = P-Q$ polinom stupnja najviše $ n,$ i ima $ n+1$ nultočku. Jedna od posljedica Osnovnog teorema algebre (v. [5, str. 77]) tvrdi da je tada $ W=0,$ tj. $ W(x)=0,$ za svaki $ x \in \mathbb{R}.$ Dakle $ Q(x)=P(x),$ za svaki $ x
\in \mathbb{R},$ tj. $ P=Q.$ $ \heartsuit$

Polinom

% latex2html id marker 39402
$\displaystyle P(x) = \sum_{k=0}^n f(x_k)\,\prod^n_{\substack{i=0\\  i\neq k}} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}$ (3.14)

se zove Lagrangeov interpolacijski polinom funkcije $ f$ za točke $ x_0,x_1,x_2,$ $ \ldots,x_n.$



Subsections
next up previous contents index
Next: Ocjena greške Up: Aproksimacija funkcije i numerička Previous: Aproksimacija funkcije i numerička   Sadržaj   Indeks
2001-10-26