Metoda konačnih elemenata

Navedene nedostatke donekle ispravlja metoda konačnih elemenata. Područje $\Omega{}$ podijelimo jednostavnim likovima (trokutima četverokutima i sl.) na dijelove, elemente. Vrhove elemenata zovemo čvorovima. Podjela se vrši tako da niti jedan čvor ne leži na stranici nekog drugog čvora. Numeriramo elemente i čvorove. Čvorove treba pažljivo numerirati, da matrica sustava koji ćemo konačno dobiti bude što uža, tj. da pojas oko glavne dijagonale izvan kojeg su same nule bude što uži. Zatim odaberemo koordinatne funkcije $v_i, i=1,2,\ldots, n$ tako da $v_i$ u čvoru $i$ ima vrijednost $1,$ a u ostalim čvorovima vrijednost $0.$ Na elementima, koji nemaju čvor $i$ kao vrh, $v_i$ ima vrijednost $0.$ Na elementima, koji imaju čvor $i$ kao svoj vrh, funkciju $v_i$ definiramo kao polinom prvog stupnja ili viših stupnjeva ako to zahtijeva problem koji rješavamo. Objasnimo sada na jednom jednostavnom primjeru metodu konačnih elemenata za problem ravnoteže membrane.

Primjer 3.22   Neka na napetu kvadratnu membranu $\Omega{}$ u ravnini $xy,$ duljine stranice $1,$ učvršćene na rubu, treba riješiti sljedeći rubni problem ravnoteže membrane

$$% latex2html id marker 41485 \begin{cases} -\Delta\,u = 1,&... ... $\Omega$}\\ u = 0,& \text{na $\partial\Omega.$} \end{cases}$$

Rješenje. Kvadrat $\Omega{}$ stranice $1$ možemo uzeti u ravnini $xy$ tako da su mu vrhovi točke $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1).$ Podijelimo ga na devet jednakih kvadrata i zatim svaki od tih kvadrata na dva trokuta. Time je $\Omega{}$ podijeljen na 18 elemenata (trokuta). Također imamo 16 čvorova, od toga 12 na rubu. To su točke

$$(0,0), (1/3,0), (2/3,0), (1,0), (0,1/3), (1/3,1/3), (2/3,1/3), (1,1/3),$$

$$(0,2/3), (1/3,2/3), (2/3,2/3), (1,2/3), (0,1), (1/3,1), (2/3,1), (1,1).$$

Na ovoj slici su brojevima označeni čvorovi, a brojevima u kružnicama konačni elementi (u ovom slučaju trokuti).

Funkcional energije u ovom slučaju je

$$F(u) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,u\,dxdy.$$

Prema varijacijskom principu (2.59) $u$ minimizira ovaj funkcional uz zadovoljavanje Dirichletovog rubnog uvjeta, ako i samo ako je ispunjen Bernoullijev princip, tj. ako i samo ako vrijedi (2.58) za svaku dopustivu funkciju $v.$

Za svaki čvor definiramo koordinatnu funkciju

$$v_1,v_2,v_3,\ldots{},v_{16},$$

tako da stavimo $v_i = 1$ u $i$-tom čvoru, a u ostalim čvorovima $v_i = 0.$ Na elementu $e$ koji ima $i$-ti čvor kao vrh stavimo

$$v_i^e(x,y) = \alpha{}_i^e + \beta{}_i^e\,x + \gamma{}_i^e\,y.$$

Tako $v_i^e$ predstavlja restrikciju koordinatne funkcije $v_i$ na konačnom elementu $e.$

Na primjer za $i=6$ imamo $v_6^{\text{\footnotesize\ding{192}}},v_6^{\text{\... ...8}}},v_6^{\text{\footnotesize\ding{200}}},v_6^{\text{\footnotesize\ding{201}}}.$ Nađimo $v_6^{\text{\footnotesize\ding{200}}}.$ Zbog svojstva koordinatnih funkcija imamo

$$\alpha{}_6^{\text{\footnotesize\ding... ...{200}}}\,\frac{1}{3} + \gamma{}_6^{\text{\footnotesize\ding{200}}}\,\frac{1}{3} = 1$$

$$\alpha{}_6^{\text{\footnotesize\ding... ...{200}}}\,\frac{2}{3} + \gamma{}_6^{\text{\footnotesize\ding{200}}}\,\frac{1}{3} = 0$$

$$\alpha{}_6^{\text{\footnotesize\ding... ...{200}}}\,\frac{2}{3} + \gamma{}_6^{\text{\footnotesize\ding{200}}}\,\frac{2}{3} = 0.$$

Rješenje je $\alpha{}_6^{\text{\footnotesize\ding{200}}}=2,\be... ...ext{\footnotesize\ding{200}}}=-3,\gamma{}_6^{\text{\footnotesize\ding{200}}}=0,$ pa je

$$v_6^{\text{\footnotesize\ding{200}}} = 2 - 3\,x.$$

Na isti način možemo naći da je

$$v_6^{\text{\footnotesize\ding{192}}}... ...ing{198}}} = 1 + 3\,x - 3\,y,\;v_6^{\text{\footnotesize\ding{201}}} = 2 - 3\,y,$$

a također i ostale koordinatne funkcije. Primijetimo da je zbog geometrijskih razloga

$$v_6^{\text{\footnotesize\ding{192}}}... ...e\ding{195}}} = v_{11}^{\bigcirc{\hspace{-1.5ex}{\scriptscriptstyle{\sf 12}}}},$$

$$v_6^{\text{\footnotesize\ding{201}}}... ...le{\sf 16}}}} = v_{11}^{\bigcirc{\hspace{-1.5ex}{\scriptscriptstyle{\sf 18}}}}.$$

Rješenje tražimo u obliku

$$u(x,y) = c_1\,v_1(x,y) + c_2\,v_2(x,y) + \cdots{} + c_{16}\,v_{16}(x,y).$$

U čvoru na rubu, na pr. prvom, $(0,0),$ funkcija $u$ se poništava. Dakle

$$0 = c_1\,v_1(0,0) + c_2\,v_2(0,0) + \cdots{} + c_{16}\,v_{16}(0,0).$$

U prvom čvoru funkcija $v_1$ prima vrijednost $1,$ a ostale funkcije primaju vrijednost $0.$ Tako imamo

$$0 = c_1.$$

Za svaki čvor na rubu možemo na taj način dobiti da je, zbog uvjeta na rubu, pripadni koeficijent jednak $0.$ Tako imamo

$$c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = c_5 = c_8 = c_9 = c_{12} = c_{13} = c_{14} = c_{15} = c_{16} = 0.$$

Preostaje dakle

$$u(x,y) = c_6\,v_6(x,y) + c_7\,v_7(x,y) + c_{10}\,v_{10}(x,y) + c_{11}\,v_{11}(x,y).$$

Dakle zadatak je odrediti koeficijente $c_6,c_7,c_{10},c_{11}.$ To ćemo učiniti tako da u Bernoullijev princip (2.13) uvrstimo ovaj $u,$ i redom $v=v_i,$ gdje je $i=6,7,10,11.$ Tako imamo

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_i\cdot{\rm grad\,}\sum_j c_j\,v_j\,dxdy = \iint_{\Omega}\, v_i\,dxdy,\quad i=6,7,10,11,$$

$$\sum_j c_j\,\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_i\cdot{\rm grad\,}v_j\,dxdy = \iint_{\Omega}\, v_i\,dxdy,\quad i=6,7,10,11.$$

Da bi se dobila jednadžba za čvor $i=6,$ treba izračunati

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_j\,dxdy,\quad j=6,7,10,11,$$   i $$\quad \iint_{\Omega}\,v_6\,dxdy.$$

Integral po $\Omega{}$ je suma integrala po elementima. Zbog svojstava koordinatnih funkcija, integral po mnogim elementima iščezava. Na pr.

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot... ...iint_{\text{\footnotesize\ding{200}}} + \iint_{\text{\footnotesize\ding{201}}}.$$

$${\rm grad\,}v_6^{\text{\footnotesize... ...93}}} = \{3,0\},\;{\rm grad\,} v_6^{\text{\footnotesize\ding{195}}} = \{-3,3\},$$

$${\rm grad\,} v_6^{\text{\footnotesiz... ...0}}} = \{-3,0\},\;{\rm grad\,} v_6^{\text{\footnotesize\ding{201}}} = \{0,-3\}.$$

Tako je

$$\iint_{\text{\footnotesize\ding{192}... ...ze\ding{195}}} = \iint_{\text{\footnotesize\ding{198}}} = 18\,\frac{1}{18} = 1,$$

i prema tome

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_6\,dxdy = 4.$$

Zatim

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot... ...iint_{\text{\footnotesize\ding{195}}} + \iint_{\text{\footnotesize\ding{200}}}.$$

$$v_7^{\text{\footnotesize\ding{195}}} = 3\,x -1,\quad v_7^{\text{\footnotesize\ding{200}}} = 3\,x - 3\,y,$$

$${\rm grad\,}v_7^{\text{\footnotesize... ...} = \{3,0\},\quad {\rm grad\,} v_7^{\text{\footnotesize\ding{200}}} = \{3,-3\},$$

pa je

$$\iint_{\text{\footnotesize\ding{195}... ...quad \iint_{\text{\footnotesize\ding{200}}} = -9\,\frac{1}{18} = -\frac{1}{2},$$

i prema tome

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_7\,dxdy = -1.$$

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot... ...iint_{\text{\footnotesize\ding{198}}} + \iint_{\text{\footnotesize\ding{201}}}.$$

$$v_{10}^{\text{\footnotesize\ding{198}}} = 3\,y -1,\quad v_{10}^{\text{\footnotesize\ding{201}}} = - 3\,x + 3\,y,$$

$${\rm grad\,}v_{10}^{\text{\footnotes... ... \{0,3\},\quad {\rm grad\,} v_{10}^{\text{\footnotesize\ding{201}}} = \{-3,3\},$$

pa je

$$\iint_{\text{\footnotesize\ding{198}... ...quad \iint_{\text{\footnotesize\ding{201}}} = -9\,\frac{1}{18} = -\frac{1}{2},$$

i prema tome

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_{10}\,dxdy = -1.$$

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot... ...iint_{\text{\footnotesize\ding{200}}} + \iint_{\text{\footnotesize\ding{201}}}.$$

$$v_{11}^{\text{\footnotesize\ding{200... ...198}}} = 3\,y -1,\quad v_{11}^{\text{\footnotesize\ding{201}}} = - 3\,x + 3\,y,$$

$${\rm grad\,}v_{11}^{\text{\footnotes... ...ext{\footnotesize\ding{201}}} = v_7^{\text{\footnotesize\ding{195}}} = \{3,0\},$$

pa je

$$\iint_{\text{\footnotesize\ding{200}}} = \iint_{\text{\footnotesize\ding{201}}} = 0,$$

i prema tome

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_{11}\,dxdy = 0.$$

Osim toga je

$$\iint_{\Omega}\,v_6\,dxdy = \iint_{\... ...t{\footnotesize\ding{201}}} v_6^{\text{\footnotesize\ding{201}}} = \frac{1}{9}.$$

Isti rezultat dobivamo i ako umjesto $v_6$ stavimo $v_7,v_{10}$ ili $v_{11}.$ Tako je jednadžba za čvor $i=6$

$$4\,c_6 - c_7 - c_{10} = \frac{1}{9}.$$

Također je očito

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_i\cdot... ...iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,} v_6\,dxdy = 4,\qquad i=7,10,11.$$

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_7\cdot... ...11}\,dxdy = \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,} v_{10}\,dxdy = -1,$$

pa jednadžba za čvor $i=7$ glasi

$$- c_6 + 4\,c_7 - c_{11} = \frac{1}{9}.$$

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_{10}\c... ...v_{11}\,dxdy = \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,} v_6\cdot{\rm grad\,}v_7\,dxdy = -1,$$

pa jednadžbe za čvorove $i=10,11$ glase

$$- c_6 + 4\,c_{10} - c_{11} = \frac{1}{9}.$$

$$- c_7 - c_{10} + 4\,c_{11} = \frac{1}{9}.$$

Rješenje sustava je

$$c_6 = c_7 = c_{10} = c_{11} = \frac{1}{18}.$$

To su ujedno vrijednosti funkcije $u$ u čvorovima $i=6,7,10,11.$