Struktura skupa svih rješenja

Pretpostavimo da matrica sustava

$$a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n = b_1$$

$$a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n = b_2$$

$$\cdots$$

$$a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n = b_m$$

ima isti rang kao proširena matrica sustava, i to $r.$ To znači da proširena matrica sustava $A_b$ ima linearno nezavisnih $r$ redaka i $r$ stupaca. Radi jednostavnosti pretpostavimo da je prvih $r$ redaka i prvih $r$ stupaca marice $A_b$ linearno nezavisno. Tada Gauss-Jordanovom metodom možemo sustav svesti na oblik

$$\begin{array}{cccccccc} x_1 & & & +... ..._r & +a'_{r\,r+1}\,x_{r+1} & +\;\cdots & +a'_{rn}\,x_n & = & b'_r \end{array}.$$

Odatle čitamo

$$x_1 = b'_1-a'_{1\,r+1}\,x_{r+1}-\cdots-a'_{1n}\,x_n$$

$$\cdots$$

$$x_r = b'_r-a'_{r\,r+1}\,x_{r+1}-\cdots -a'_{rn}\,x_n,$$

tako da se rješenje, odnosno skup svih rješenja može napisati u obliku

$$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ \vdo... ..._{r+1}-\cdots -a'_{rn}\,x_n \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]=$$

$$= \left[\begin{array}{c} b'_1 \\ \... ...c} -a'_{1n} \\ \vdots \\ -a'_{rn} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right].$$

Stavimo

$$\boldsymbol{x}= \left[\begin{array}{... ...} -a'_{1n} \\ \vdots \\ -a'_{rn} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right].$$

Svako rješenje $\boldsymbol{x}$ ima oblik

$$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}'+x_{r+1}\boldsymbol{u}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{u}_{n-r}.$$

Pretpostavimo da je sustav na početku bio homogen, tj. da je bilo $b_{1}=0, b_{2}=0, \ldots, b_{m}=0.$ U tom slučaju na isti način dobivamo rješenje

$$\boldsymbol{x}_h=x_{r+1}\boldsymbol{u}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{u}_{n-r}.$$

Skup svih takvih vektora, kada parametri $x_{r+1},\ldots,x_n$ uzimaju proizvoljne realne vrijednosti nezavisno jedan od drugog, predstavlja skup svih rješenja pripadnog homogenog sustava. Uočimo da je taj skup vektorski prostor razapet s vektorima $\boldsymbol{u}_1,\cdots, \boldsymbol{u}_{n-r},$ i da su vektori $\boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_{n-r}$ linearno nezavisni, pa prema tome čine bazu u tom vektorskom prostoru. S druge strane $\boldsymbol{b}'$ je jedno rješenje nehomogenog sustava, i to kad stavimo $x_{r+1}=x_{r+2}=\ldots =x_{n}=0.$ Tako vidimo da se skup svih rješenja sustava može dobiti tako da se nađe jedno rješenje nehomogenog sustava, to rješenje zovemo partikularnim, i da se zatim nađe neka baza vektorskog prostora svih rješenja pripadnog homogenog sustava. Jedna od tih baza je $\boldsymbol{u}_1,\cdots,\boldsymbol{u}_{n-r}.$

Ova diskusija omogućava da se u jednostavnijim slučajevima 'vidi' skup svih rješenja, što je sadržaj sljedećeg primjera.

Primjer 1.20   Razmotrimo ponovno primjer 1.18. U tom slučaju je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice, i iznosi $r=2,$ dok je $n=3.$ Osim toga je treći stupac linearna kombinacija prva dva. Dakle, svako rješenje je oblika

$$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}'+x_{3}\boldsymbol{u}_1,$$

odnosno

$$\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_... ...eft[ \begin{array}{c} -\frac{4}{5} \\ \frac{6}{5} \\ 1 \end{array}\right].$$

To se može drukčije napisati ovako

$$x_1 = \frac{1}{5} - \frac{4}{5}\,x_3$$

$$x_2 = -\frac{4}{5} + \frac{6}{5}\,x_3$$

$$x_3 = 0 + x_3,$$

što predstavlja parametarske jednadžbe pravca u prostoru. Prvi stupac desno od jednakosti čine koordinate točke kojom pravac prolazi, a drugi stupac čine komponente vektora smjera pravca. Rješenja su dakle točke na pravcu (slika 1.13) u prostoru (radijvektori u prostoru, čiji vrhovi leže na jednom pravcu). Rješenje pripadnog homogenog sustava se dobije tako da se izbaci prvi stupac desno od jednakosti (vektor $\boldsymbol{b}'$). U tom slučaju su rješenja točke na pravcu kroz ishodište, koji je paralelan gornjem pravcu.

Slika 1.13: Jednoparametarsko rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Kako su u gornjem sustavu samo dvije jednadžbe linearno nezavisne, i budući da svaka od njih predstavlja jednadžbu ravnine u prostoru, rješavanje ovog sustava se zapravo svodi na to da se želi dobiti jednadžba pravca u prostoru koji je zadan kao presjek dviju ravnina.

Primjer 1.21   Ako se sustav sastoji od dvije ili više jednadžbi s tri nepoznanice, od kojih je samo jedna linearno nezavisna, onda to znači da su ostale jednadžbe multipli prve. Kako je prva jednadžba linearna, skup točaka koji je zadovoljava predstavlja ravninu u prostoru. Dakle, skup svih rješenja takvog sustava je skup radijvektora (vektorstupaca), čiji vrhovi leže u ravnini u prostoru koja je zadana bilo kojom od jednadnadžbi sustava (slika 1.14). U pripadnom homogenom sustavu je i dalje samo jedna (bilo koja) jednadžba linearno nezavisna, pa kao rješenje homogenog sustava imamo također ravninu, paralelnu prethodnoj, ali koja prolazi ishodištem.

Slika 1.14: Dvoparametarsko rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.