next up previous contents index
Next: Dijagonalizacija simetrične matrice. Različite Up: Problem vlastitih ... Previous: Vlastite vrijednosti i vlastiti   Sadržaj   Indeks


Dijagonalizacija simetrične matrice

Kako smo ranije definirali, matrica $ A=[a_{ij}]\in{\cal M}_{n}$ je simetrična, ako je $ A^T=A,$ tj. ako je

$\displaystyle a_{ij}=a_{ji},\hspace{1cm}\forall i,j.$

Ako je matrica $ A$ simetrična, onda vrijedi

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \boldsymbol{y}^T\,A\,\bolds...
...}= (A\,\boldsymbol{y})^T\,\boldsymbol{x}= \boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}$

za svaki par vektora $ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in{\cal R}_{n}.$

Teorem 9   Vlastite vrijednosti simetrične matrice $ A\in{\cal M}_{n}$ su realni brojevi.


Dokaz. Neka je $ A\in{\cal M}_{n}$ simetrična matrica, $ \lambda$ njezina vlastita vrijednost, i $ \boldsymbol{x}$ pripadni vlastiti vektor. Tada je

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$

Ako konjugiramo ovu jednakost, i uzmemo u obzir da je $ \bar{A}=A,$ jer su elementi matrice $ A$ realni brojevi, dobivamo

$\displaystyle A\,\bar{\boldsymbol{x}}=\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}.$

Odatle

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}=
\lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$

$\displaystyle \boldsymbol{x}\cdot A\,\bar{\boldsymbol{x}}=
\bar{\lambda}\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}.$

Zbog simetričnosti matrice $ A$ imamo

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}= \boldsymbol{x}\cdot
A\,\bar{\boldsymbol{x}}.$

Tako je

$\displaystyle \lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}} =
\bar{\lambda}\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$

tj.

$\displaystyle (\lambda-\bar{\lambda})\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}} =
0.$

Zbog $ \boldsymbol{x}\neq \textbf{0},$ skalarni produkt $ \boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}$ ne može biti jednak nuli, pa slijedi $ \lambda=\bar{\lambda}.$ $ \heartsuit$

Teorem 10   Vlastiti vektori simetrične matrice $ A\in{\cal M}_{n},$ koji pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, su međusobno okomiti.


Dokaz. Neka je $ \lambda$ vlastita vrijednost, i $ \boldsymbol{x}$ njoj pripadni vlastiti vektor matrice $ A.$ Također, neka je $ \mu$ vlastita vrijednost, i $ \boldsymbol{y}$ njoj pripadni vlastiti vektor. Neka je $ \lambda\neq \mu.$ Tada je $ A \boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x},$ i $ A \boldsymbol{y}=\mu\,\boldsymbol{y}.$ Odatle

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y},$

$\displaystyle \boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}=
\mu\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}.$

Zbog simetričnosti matrice $ A$ imamo

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}.$

Tako je

$\displaystyle \lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \mu\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y},$

tj.

$\displaystyle (\lambda-\mu)\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= 0.$

Kako je $ \lambda\neq
\mu,$ slijedi

$\displaystyle \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= 0,$

tj. vlastiti vektori su međusobno okomiti. $ \heartsuit$

Primjer 1.24 pokazuje da ovaj teorem ne vrijedi općenito. U tom primjeru kosinusi kuteva između vlastitih vektora iznose približno $ 0.816497,$ $ -0.866025,$ $ -0.942809,$ a kutevi u radijanima iznose približno $ 0.61548,$ $ 2.61799,$ $ 2.80176,$ odnosno $ 35^{\circ}15'8'',$ $ 149^{\circ}57'16'',$ $ 160^{\circ}30'17''.$



Subsections
next up previous contents index
Next: Dijagonalizacija simetrične matrice. Različite Up: Problem vlastitih ... Previous: Vlastite vrijednosti i vlastiti   Sadržaj   Indeks
2001-10-26