Varijacijske metode

Varijacijski princip

Neka je zadan rubni problem ravnoteže žice

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x) = 0,\hspace{1cm}u(0)=0,\;u'(\ell)=0,$$ (2.30)

i pretpostavimo da je $u$ ravnotežni položaj. Pretpostavljamo da je proizvoljni pomak iz položaja ravnoteže žice određen neprekidnom funkcijom $v,$ klase $C^1[0,\ell],$ takvom da je $v(0)=0.$

Nazovimo sve takve funkcije dopustivima. Funkciju $v$ ćemo zvati perturbacijom ravnotežnog stanja (položaja). Naglasimo da je $v$ pomak od ravnotežnog stanja a ne od osi $x.$

Ako jednadžbu iz (2.30) pomnožimo s $v(x)$ i integriramo duž žice, dobit ćemo

$$\int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,v(x)\, dx - \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx = 0.$$

Parcijalno integrirajmo prvi integral

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,v({\ell}) - p(0)\,u'(0)\,v(0) - \int_0^{\ell}\,p(x)\,u'(x)\,v'(x)\,dx$$

$$- \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx = 0.$$

Zbog $u'({\ell})=0,$ i $v(0)=0,$ slijedi

$$-\int_0^{\ell}\,p(x)\,u'(x)\,v'(x)\,dx - \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx = 0.$$ (2.31)

Jednakost (2.31) predstavlja Bernoullijev princip sačuvanja rada. Prvi član je rad kontaktne sile $p(x)\,u'(x)$ koja se opire deformaciji $v'(x),$ iz ravnotežnog stanja. Drugi član je rad sile otpora, a treći rad vanjske sile čija je gustoća $f.$ Bernoullijev princip tvrdi da je ukupni rad vanjskih i unutarnjih sila na perturbaciji ravnotežnog položaja jednak $0.$ Drugim riječima, ako žicu perturbiramo, svaki komadić žice prijeđe neki put iz ravnotežnog stanja. Vanjske sile na tom putu izvrše neki rad. Rad uslijed sile napetosti žice, koja nastoji vratiti žicu u ravnotežni položaj jednak je po apsolutnom iznosu radu vanjskih sila, ali suprotnog predznaka. Tako je suma svih radova jednaka nuli. Možemo zaključiti sljedeće. Ako $u$ rješava zadani rubni problem, onda vrijedi jednakost (2.31) za svaku dopustivu funkciju (perturbaciju) $v.$

Pretpostavimo da je funkcija $u$ takva da je $u(0)=0$ i da zadovoljava uvjet (Bernoullijev princip)

$$\int_0^{\ell}\,p(x)\,u'(x)\,v'(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx$$

za svaku dopustivu funkciju $v.$ Integrirajmo parcijalno prvi član na lijevoj strani. Dobivamo

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,v({\ell}) - p(0)\,u'(0)\,v(0) - \int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,v(x)\, dx +$$

$$\int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx.$$

Za dopustivu funkciju $v$ to je, zbog $v(0)=0,$

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,v({\ell}) - \int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(... ...x)\, dx + \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx.$$ (2.32)

Ovo vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i takvu za koju je $v(\ell)=0.$ Za takvu $v$ ova jednakost postaje

$$- \int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,v(x)\, dx + \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\,dx,$$

odnosno

$$\int_0^{\ell}\,\left[\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x)\right]v(x)\,dx = 0.$$

Lema 2   Neka je $h$ neprekidna funkcija na $[0,\ell],$ i neka je

$$\int_0^{\ell}\,h(x)\,v(x)\,dx=0,$$

za svaku funkciju $v\in C^1[0,\ell],$ takvu da je $v(0)=v(\ell)=0.$ Tada je $h=0,$ tj. $h(x)=0$ za svaki $x\in [0,\ell].$

Dokaz. Ako je $h(0)>0,$ onda zbog neprekidnosti funkcije $h,$ postoji točka $x_0\in \langle0,\ell\rangle$ blizu točke $0,$ takva da je $h(x_0)>0.$ Isto možemo zaključiti i za desni rub $\ell.$ Odatle slijedi da je dovoljno dokazati tvrdnju leme za $x\in \langle0,\ell\rangle.$
Pretpostavimo suprotno, da postoji $x_0\in \langle0,\ell\rangle$ takav da je $h(x_0)>0.$ Tada, zbog neprekidnosti funkcije $h,$ postoji interval $I$ oko točke $x_0$ takav da je $h(x)>0,$ za svaki $x\in I.$ Izaberimo neprekidnu funkciju $v$ tako da je $v(x)=0$ za svaki $x\in [0,\ell]\setminus I,$ i da je $v(x)>0$ za svaki $x\in I.$

Tada je

$$\int_0^{\ell}\,h(x)\,v(x)\,dx = \int_I h(x)\,v(x)\,dx > 0$$

što je u kontradikciji s pretpostavkom u iskazu leme. Prema tome nije moguće da bude $h(x_0)>0$ u nekoj točki $x_0\in [0,\ell].$ Na sličan način se dokazuje da nije moguće da bude $h(x_0)<0.$ Prema tome je $h(x)=0$ za svaki $x\in [0,\ell].$ $\heartsuit$

Na temelju ove leme zaključujemo da je nužno

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x) = 0.$$ (2.33)

Dakle $u$ zadovoljava diferencijalnu jednadžbu. Po pretpostavci zadovoljava homogeni kinematički uvjet $u(0)=0.$ Dokažimo na kraju da $u$ zadovoljava i dinamički uvjet $u'(\ell)=0.$ Zbog (2.33), jednadžba (2.32) se sada svodi na

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,v({\ell}) = 0.$$

Kako ona vrijedi za svaku dopustivu funkciju, vrijedi i za takvu za koju je $v(\ell)\neq 0.$ Osim toga je $p({\ell})>0,$ pa prema tome mora biti $u'(\ell)=0.$

Možemo zaključiti sljedeće. Ako $u$ zadovoljava Bernoullijev princip, i $u(0)=0,$ onda $u$ rješava rubni problem (2.30).

Tako smo dokazali sljedeći teorem.

Teorem 17  

1.

Neka je funkcija $u\in C^2[0,\ell]$ rješenje rubnog problema

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x) = 0,\hspace{1cm}u(0)=0,\;u'(\ell)=0.$$ (2.34)

Tada vrijedi

$$\int_0^{\ell}\,p(x)\,u'(x)\,v'(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx$$ (2.35)

za svaku dopustivu funkciju $v.$

2.

Neka je funkcija $u\in C^2[0,\ell],$ neka je $u(0)=0,$ i neka funkcija $u$ zadovoljava uvjet (2.35) za svaku dopustivu funkciju $v.$ Tada $u$ rješava rubni problem (2.34).

Primijetimo da se u drugoj tvrdnji zahtijeva od funkcije $u$ samo zadovoljavanje kinematičkog rubnog uvjeta, dok dinamički rubni uvjet, $u'({\ell})=0,$ nužno slijedi iz činjenice da $u$ zadovoljava Bernoullijev princip.

Promatrajmo i dalje rubni problem (2.34). Stavimo

$$w(x) = u(x) + v(x),$$

gdje je $u$ ravnotežni položaj, $v$ perturbacija, a $w$ rezultanta. Svakom takvom rezultantnom položaju $w$ možemo pridružiti broj

$$F(w) = \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p(x)\,(w'(x))^2\,dx - \int_0^{\ell}\,f(x)\,w(x)\,dx + \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q(x)\,w(x)^2\,dx.$$ (2.36)

Prema tome tu se radi o funkciji koja funkcijama $w$ pridružuje brojeve (kao na pr. kod Riemannovog integrala). Takva funkcija se zove funkcional. Prvi integral je unutrašnja potencijalna energija uslijed deformacije žice, drugi integral je potencijalna energija vanjske sile, dok je treći integral potencijalna energija elastične sile otpora. Zato se ovaj funkcional zove funkcional energije.

Interesira nas čime se odlikuje ravnotežno stanje $u$, među svim mogućim funkcijama $w,$ u odnosu na ponašanje funkcionala $F,$ zadanog formulom (2.36). Neka je $v$ dopustiva funkcija. Podsjetimo da to znači da je $v$ klase $C^1[0,\ell],$ i da je $v(0)=0.$ Neka je $w=u+v.$ U formulama, koje slijede, nećemo pisati varijablu $x$ radi kratkoće.

$$F(w) = F(u+v) = \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,(u'+v')^2\,dx - \int_0^{\ell}\, f\,(u+v)\,dx + \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q\,(u+v)^2\,dx$$

$$=\frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,\left[u'\,^2+ 2\,u'\,v' + v'\,^2\... ...right]\,dx + \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q\,\left[u^2+ 2\,u\,v + v^2\right]\,dx$$

$$=\underbrace{\frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,u'\,^2\,dx - \int_0^{... ... \underbrace{\int_0^{\ell}\, \left[p\,u'\,v' + q\,u\,v - f\,v\right]\,dx}_{=0}.$$

Drugi član je nenegativan zato jer je takva podintegralna funkcija, a treći je nula zbog Bernoullijevog principa. Tako imamo

$$F(w)\geqslant F(u).$$

Dakle možemo zaključiti sljedeće. Od svih rezultanti $w$ ona rezultanta, koja predstavlja ravnotežni položaj, pridaje funkcionalu $F$ najmanju vrijednost. Za funkciju na kojoj funkcional $F$ poprima najmanju vrijednost kažemo da minimizira funkcional $F.$ Tako smo dokazali prvu tvrdnju sljedećeg teorema.

Teorem 18   (Varijacijski princip, Dirichletov princip)

1.

Neka je funkcija $u\in C^2[0,\ell]$ rješenje rubnog problema (2.34). Tada $u$ minimizira funkcional $F.$

2.

Neka je funkcija $u\in C^2[0,\ell],$ neka je $u(0)=0,$ i neka $u$ minimizira funkcional $F.$ Tada je $u$ rješenje rubnog problema (2.34).

Dokažimo drugu tvrdnju (obrat prve). Pretpostavimo da $u$ minimizira funkcional $F,$ tj. da je $F(u)\leqslant F(w),$ za proizvoljnu dopustivu funkciju $w.$ Ako je $v$ dopustiva funkcija, onda je i $\lambda v,$ za neki $\lambda\in R,$ dopustiva. Stavimo $w=u+\lambda v.$

$$F(w) = F(u+\lambda\,v) = \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,(u'+\lamb... ...\, f\,(u+\lambda\,v)\,dx + \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q\,(u+\lambda\,v)^2\,dx$$

$$= \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,\left[u'\,^2+ 2\,u'\,\lambda\,v'... ...{2}\,\int_0^{\ell}\,q\,\left[u^2+ 2\,u\,\lambda\,v + \lambda^2\,v^2\right]\,dx$$

$$= \lambda^2\,\underbrace{\frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,\left[p\,v'\... ...t_0^{\ell}\, \left[p\,u'\,^2 + q\,u^2\right]\,dx - \int_0^{\ell}\,f\,u\,dx}_{c}$$

$$= a\,\lambda^2 + b\,\lambda + c.$$

Tako vidimo da je $F$ polinom drugog stupnja u varijabli $\lambda.$ Graf polinoma drugog stupnja je parabola. Kako je koeficijent uz $\lambda^2$ pozitivan parabola ima u svom tjemenu minimum. Apscisa tjemena je $\lambda = -\frac{b}{2\,a}.$ Da bi se minimum dogodio za $\lambda = 0,$ što se mora desiti jer smo pretpostavili da je $F(u)\leqslant F(w),$ mora nužno biti $b = 0.$ To znači da mora biti

$$\int_0^{\ell}\,\left[p\,u'\,v' + q\,u\,v - f\,v\right]\,dx = 0.$$

Dopustiva funkcija $v$ je bila proizvoljna, pa prema tome ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju $v.$ Osim toga pretpostavka je da je $u(0)=0.$ Odatle, po Bernoullijevom principu slijedi da $u$ rješava rubni problem (2.34).

Primijetimo na kraju da teorem 18 izražava poznati mehanički princip da je ravnotežno stanje fizikalnog sustava ono stanje u kojem je njegova potencijalna energija minimalna.

Egzistencija rješenja

Rješenje rubnog problema treba biti funkcija iz $C^2[0,\ell].$ S druge strane za funkciju koja minimizira funkcional energije dovoljno je da bude iz $C^1[0,\ell].$

Sljedeći primjer pokazuje da rubni problem ne mora imati rješenja, dok za pripadni funkcional energije postoji funkcija koja ga minimizira. Radi jednostavnosti promatrat ćemo rubni problem u kojem je $p$ konstanta, i $q=0.$

Primjer 2.19   Neka je gustoća vanjske sile dana formulom

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, ... ...mbox{za }\frac{\ell{}}{2} \leqslant{} x \leqslant{} \ell{}. \end{array}\right.$$

Rubni problem

$$p\,u''(x) + f(x) = 0,\hspace{1cm}u(0)=0,\;u'(\ell)=0.$$ (2.37)

nema rješenja.

Problem minimizacije pripadnog funkcionala

$$F(w) = \frac{p}{2}\,\int_0^{\ell}\,(w'(x))^2\,dx - \int_0^{\ell}\,f(x)\,w(x)\,dx,$$

uz rubne uvjete $w(0)=0, w'(\ell)=0$ ima rješenje, tj. postoji funkcija $u$ takva da je $u(0)=0, u'(\ell)=0$ i da je $F(u)\leqslant F(w)$ za svaku isto takvu funkciju $w.$

Rješenje. Rubni problem ne može imati rješenje, jer ako funkcija $u\in C^2[0,\ell]$ rješava rubni problem, onda je

$$f(x) = - p\,u''(x),$$

neprekidna funkcija na $[0,\ell],$ što nije istina.

Da bismo našli funkciju koja minimizira funkcional, integrirajmo jednadžbu u (2.37) po području od $x$ do $\ell.$

$$p\,\int_x^{\ell} u''(\xi)\,d\xi + \int_x^{\ell} f(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p\,u'(\ell) - p\,u'(x) + \int_x^{\ell} f(\xi)\,d\xi = 0.$$

Zbog uvjeta $u'(\ell)=0$ na rubu, prvi član iščezava, pa je

$$u'(x) = \frac{1}{p}\,\Phi(x),$$ (2.38)

gdje je

$$\Phi(x) = \int_x^{\ell} f(\xi)\,d\xi... ...\mbox{za }\frac{\ell{}}{2} \leqslant{} x \leqslant{} \ell{}. \end{array}\right.$$

Nakon što integriramo (2.38) od 0 do $x,$ i uzmemo u obzir uvjet $u(0)=0,$ dobivamo

$$u(x) = \frac{1}{p}\,\int_0^x \Phi(\x... ...\mbox{za }\frac{\ell{}}{2} \leqslant{} x \leqslant{} \ell{} \end{array}\right.$$

$$= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\e... ...mbox{za }\frac{\ell{}}{2} \leqslant{} x \leqslant{} \ell{}. \end{array}\right.$$

Funkcija $\Phi$ je neprekidna, pa je tako $u\in C^1[0,\ell].$

Pokažimo sada da ova funkcija minimizira pripadni funkcional energije. Stavimo $w(x)=u(x)+v(x),$ gdje je $v$ proizvoljna dopustiva funkcija.

$$F(u+v) = \frac{p}{2}\,\int_0^{\ell}\,(u'+v')^2\,dx - \int_0^{\ell}\,f\,(u+v)\,dx$$

$$= \frac{p}{2}\,\int_0^{\ell}\,\left({u'}^2+2\,u'\,v'+{v'}^2\right)\,dx - \int_{\frac{\ell}{2}}^{\ell} u\,dx - \int_{\frac{\ell}{2}}^{\ell} v\,dx$$

$$= \frac{p}{2}\,\int_{0}^{\ell} {v'}^2\,dx + \frac{p}{2}\,\int_0^... ...{2}}^{\ell} \left(\frac{(\ell-x)^2}{p^2} + \frac{2\,(\ell-x)}{p}\,v'\right)\,dx$$

$$- \int_{\frac{\ell}{2}}^{\ell} \frac{8\,\ell\,x-\ell^2-4\,x^2}{8\... ...rac{p}{2}\,\frac{\ell^3}{8\,p^2} + \frac{\ell}{2}\,v\left(\frac{\ell}{2}\right)$$

$$+ \frac{p}{2}\,\frac{\ell^3}{24\,p^2} + \ell\,v(\ell) - \ell\,v\l... ...ll}{2}}^{\ell} v\,dx - \frac{\ell^3}{6\,p} - \int_{\frac{\ell}{2}}^{\ell} v\,dx$$

$$= \frac{\ell^3}{16\,p} + \frac{\ell^3}{48\,p} - \frac{\ell^3}{6\,... ...}\,{v'}^2\,dx = -\frac{\ell^3}{12\,p} + \frac{p}{2}\,\int_0^{\ell}\,{v'}^2\,dx.$$

Jedino drugi član ovisi o $v,$ i on je nenegativan. Najmanju vrijednost poprima onda kada je $v'=0.$ No tada je $v=$const.$,$ pa zbog $v(0)=0$ je $v=0.$ Pri tom minimum iznosi $-\frac{\ell^3}{12\,p}.$ Prema tome funkcija $u$ doista minimizira funkcional $F.$ S druge strane $u'$ nema tangentu u $\frac{\ell}{2},$ pa ne postoji $u''$ na $[0,\ell].$ Tako $u$ ne može biti rješenje rubnog problema (2.37).

Primjer 2.20   Naći skalarnu funkciju $w$ na segmentu $[0,T],$ koja minimizira funkcional

$$\Phi(u) = \int_0^T \left(u'(t)^2 + u(t)^2\right)\,dt,$$ (2.39)

uz početni uvjet $w(0)=w_0,$ i izračunati minimum funkcionala $\Phi.$

Rješenje. Stavimo

$$u(t) = w(t) + \lambda\,v(t),$$

gdje je $v$ proizvoljna dopustiva funkcija (neprekidno derivabilna i $v(0)=0$), a $\lambda$ proizvoljan broj.

$$\Phi(w + \lambda\,v) = \int_0^T \left(\left(w'(t) + \lambda\,v(t)\right)^2 + \left(w(t) + \lambda\,v(t)\right)^2\right)\,dt$$

$$= \int_0^T \left({{\lambda}^2}\,{{v(t)}^2} + 2\,\lambda\,v(t)\,w(t)... ... {{\lambda}^2}\,{{v'(t)}^2} + 2\,\lambda\,v'(t)\,w'(t) + {{w'(t)}^2}\right)\,dt$$

$$= {\lambda}^2\,\int_0^T \left({{v(t)}^2} + {{v'(t)}^2} \right)\, dt... ...v'(t)\,w'(t)\right)\,dt + \int_0^T \left({{w(t)}^2} + {{w'(t)}^2} \right)\, dt.$$

Da bi $w$ minimizirala dani funkcional, mora $\Phi(w + \lambda\,v)$ imati minimalnu vrijednost za $\lambda=0.$ No, $\Phi(w + \lambda\,v)$ je polinom drugog stupnja u $\lambda,$ njegov graf je parabola, pa se minimalna vrijednost dostiže u tjemenu. Apscisa tjemena je

$$\lambda = -\frac{b}{2\,a}.$$

Kako se minimum ostvaruje za $\lambda = 0,$ nužno mora biti $b = 0.$ U ovom slučaju je

$$b = \int_0^T \left(2\,v(t)\,w(t) + 2\,v'(t)\,w'(t)\right)\, dt = 0.$$

Slijedi

$$\int_0^T v(t)\,w(t)\,dt + \int_0^T v'(t)\,w'(t)\,dt = 0.$$

Drugi integral parcijalno integriramo

$$\int_0^T v'(t)\,w'(t)\,dt = \left.v'(t)\,w'(t)\right\vert _0^T - \int_0^T v(t)\,w''(t)\,dt,$$

pa imamo, zbog $v(0)=0$

$$\int_0^T v(t)\,\left(w(t) - w''(t)\right)\,dt + v'(T)\,w'(T) = 0.$$ (2.40)

Ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i za svaku takvu za koju je $v'(T)=0.$ Zaključujemo da je

$$\int_0^T v(t)\,\left(w(t) - w''(t)\right)\,dt = 0$$

za svaku takvu funkciju $v.$ Odatle slijedi

$$w''(t) - w(t) = 0.$$

Prema tome integral u (2.40) iščezava, pa je

$$v'(T)\,w'(T) = 0$$

za svaku dopustivu funkciju, pa i za takve za koje je $v'(T)\neq 0.$ Slijedi

$$w'(T) = 0.$$

Dakle, problem minimizacije funkcionala (2.39) vodi na rješavanje rubnog problema

$$% latex2html id marker 35883\begin{cases} w''(t) - w(t) = 0,& \\ w(0)=w_0,\qquad w'(T) = 0. \end{cases}$$

Rješenje je

$$w(t) = w_0\,\frac{{\rm ch}\,(t - T)}{{\rm ch}\,T}.$$

Minimalna vrijednost funkcionala, uz zadani poz1etni uvjet $u(0)=w_0$ je

$$\Phi(u) = \frac{w_0^2\,{\rm sh}\,2\,T}{2\,{\rm ch}\,^2T}.$$

Varijacijski račun

U 2.4.1 smo razmatrali problem minimizacije funkcionala energije određenog rubnog problema. Ovdje ćemo razmatrati problem minimizacije općenitijeg funkcionala.

Neka je dana neprekidno derivabilna funkcija od tri varijable

$$\varphi:[0,\ell]\times R\times R\rightarrow R,\hspace{1cm}\varphi:(x,y,z)\mapsto \varphi(x,y,z).$$

Neka je $y=u(x)$ i $z=u'(x).$ Tada imamo kompoziciju funkcija (složenu funkciju) od jedne varijable

$$x\mapsto \varphi(x,u(x),u'(x)).$$

U vezi s tom funkcijom možemo promatrati sljedeći funkcional

$$\Phi(u) = \int_0^{\ell}\,\varphi(x,u(x),u'(x))\,dx.$$

Ovo je općenitiji funkcional od onih koje smo promatrali. Na pr. ako stavimo

$$\varphi(x,y,z) = \frac{1}{2}\,q(x)\,y^2 + \frac{1}{2}\,p(x)\,z^2 - f(x)\,y,$$

onda kompozicija kao gore daje funkcional energije (2.36).

Osim same formule, važno je odrediti domenu funkcionala. Kao što se iz formule vidi, funkcional $\Phi$ pridružuje funkciji $u$ broj. Važno je definirati kojem skupu funkcija pripada $u.$ To naravno ovisi o problemu o kojem se radi. Pretpostavimo da je funkcional $\Phi$ definiran na skupu

$$D(\Phi) = \{u\in C^2[0,\ell];\; u(0)=0\}.$$

Skup $D(\Phi)$ je vektorski prostor, jer je bilo koja linearna kombinacija elemenata iz $D(\Phi)$ opet element iz $D(\Phi).$ Elemente iz $D(\Phi)$ ćemo zvati dopustivim funkcijama.

Posebno nas interesiraju funkcije na kojima funkcional poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Svaka takva funkcija se zove ekstremala. Nađimo sada uvjet koji treba ispunjavati funkcija $u_0$ da bude ekstremala funkcionala $\Phi.$ U tu svrhu stavimo $u = u_0 + \lambda\,w,$ gdje je $w$ dopustiva funkcija.

$$\Phi(u) = \Phi(u_0+\lambda\,w) = \int_0^{\ell}\, \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,w(x),u'_0(x)+\lambda\,w'(x))\,dx$$

je funkcija od $\lambda,$ i za $\lambda=0$ ona ima ekstrem. Budući da je funkcija

$$\lambda\mapsto \Phi(u_0+\lambda\,w)$$

neprekidno derivabilna, to znači da mora biti

$$\left.\frac{d}{d\lambda}\,\Phi(u_0+\lambda\,w)\right\vert _{\lambda=0}=0.$$ (2.41)

Kako je $\varphi$ neprekidno derivabilna, imamo

$$\frac{d}{d\lambda}\,\Phi(u_0+\lambda\,w) = \frac{d}{d\lambda}\,\int_0^{\ell}\, \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,w(x),u'_0(x)+\lambda\,w'(x))\,dx$$

$$= \int_0^{\ell}\, \frac{d}{d\lambda}\, \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,... ...hi}{\partial u}\,w(x) + \frac{\partial \varphi}{\partial u'}\,w'(x)\right]\,dx.$$

Preciznije

$$\frac{d}{d\lambda}\,\Phi(u_0+\lambda\,w) = \int_0^{\ell}\, \frac{... ... \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,w(x),u'_0(x)+\lambda\,w'(x))}{\partial u}\,w(x)\,dx$$

$$+ \int_0^{\ell}\,\frac{\partial \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,w(x),u'_0(x)+\lambda\,w'(x))}{\partial u'} \,w'(x)\,dx.$$

Zbog (2.41) imamo

$$\int_0^{\ell}\, \frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partia... ...{\ell}\, \frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\,w'(x)\,dx = 0.$$ (2.42)

Jednom parcijalno integrirajmo drugi integral

$$\int_0^{\ell}\, \frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partia... ...rac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\,w(x)\right\vert _0^{\ell}$$

$$- \int_0^{\ell}\,\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\right)\,w(x)\,dx.$$

Funkcija $w$ je dopustiva, pa je $w(0)=0.$ Tako imamo

$$\int_0^{\ell}\,\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\,w'(x)\,dx =$$

$$- \int_0^{\ell}\,\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \varphi(x,u_0(x... ...,dx + \frac{\partial \varphi(\ell,u_0(\ell),u'_0(\ell))}{\partial u'}\,w(\ell).$$

Kad to uvrstimo u (2.42), dobivamo

$$\int_0^{\ell}\,\left[\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\p... ...+ \frac{\partial \varphi(\ell,u_0(\ell),u'_0(\ell))}{\partial u'}\,w(\ell) = 0.$$ (2.43)

Ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i za takve za koje je $w(\ell)=0.$ Za takve dopustive funkcije imamo

$$\int_0^{\ell}\,\left[\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\p... ...c{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\right)\right]\,w(x)\,dx = 0.$$

Na osnovu leme 2 slijedi

$$\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\right) = 0,$$

ili kraće

$$\frac{\partial \varphi}{\partial u} - \frac{d}{dx}\frac{\partial \varphi}{\partial u'} = 0.$$ (2.44)

Ako se s time vratimo u jednadžbu (2.43), te zbog proizvoljnosti dopustive funkcije $w,$ uzmemo $w$ takvu da je $w(\ell)\neq 0,$ slijedi da mora vrijediti također

$$\frac{\partial \varphi(\ell,u_0(\ell),u'_0(\ell))}{\partial u'} = 0.$$

Ova jednakost se zove prirodni uvjet na rubu $x=\ell.$

Jednadžba (2.44) se zove Eulerova diferencijalna jednadžba za dani funkcional. Dakle, da bi funkcija $u$ bila ekstremala funkcionala $\Phi,$ nužno mora zadovoljavati pripadnu Eulerovu diferencijalnu jednadžbu. To je nužan uvjet, ali ne i dovoljan. Dovoljne uvjete ovdje nećemo razmatrati. Napomenimo da se iz prirode problema često može zaključiti da li ekstremala postoji ili ne. Ako postoji, i ima neprekidne derivacije dovoljno visokog reda, onda je dovoljno naći rješenje Eulerove jednadžbe, koje zadovoljava rubne uvjete.

Primjer 2.21   Problem brahistohrone. Interesira nas koji oblik putanje treba izabrati tako da se za najkraće vrijeme, u polju sile teže, stigne iz točke $O$ u točku $C.$

Krivulja s tim svojstvom se zove brahistohrona.^2.1

Rješenje. Zakon o sačuvanju energije glasi

$$E_k + E_p =$$   konst.

Nadalje

$$E_k = \frac{m\,v^2}{2},\hspace{1cm}E_p = -m\,g\,h.$$

Predznak $-$ dolazi stoga što smo pozitivni dio osi $y$ okrenuli prema dolje. Tako je

$$\frac{m\,v^2}{2} -m\,g\,h =$$   konst.

U točki $O$ je $h=0,$ i $v=0,$ pa slijedi da je konstanta jednaka nuli. Odatle

$$v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\,g\,u(x)},$$

jer ćemo u daljnjem visinu označavati s $u(x).$ Zadatak je naći funkciju $u(x).$

S druge strane brzina je

$$v = \frac{ds}{dt} = \sqrt{1+u'(x)^2}\,\frac{dx}{dt}.$$

Odatle je

$$\frac{dt}{dx} = \frac{\sqrt{1+u'(x)^2}}{\sqrt{2\,g\,u(x)}},$$

pa je vrijeme gibanja po krivulji

$$T(u) = \int_0^{\ell}\,\frac{\sqrt{1+u'(x)^2}}{\sqrt{2\,g\,u(x)}}\,dx.$$

Od svih puteva $u(x)$ treba izabrati onaj uz koji ovaj funkcional poprima najmanju vrijednost uz uvjete

$$u(0) = 0,\hspace{1cm}u(\ell{}) = u_1.$$

Budući da konstanta $\frac{1}{\sqrt{2\,g}}$ ne utječe na to da li je $u$ ekstremala ili ne, možemo uzeti

$$\varphi(x,u,u') = \sqrt{\frac{1+u'(x)^2}{u(x)}}.$$

Budući da u $\varphi$ ne dolazi eksplicitno $x,$ Eulerova jednadžba glasi

$$\frac{\partial \varphi}{\partial u} - \frac{d}{dx}\frac{\partial ... ...tial u\partial u'}\,u' - \frac{\partial{}^2\varphi}{\partial{}{u'}^2}\,u'' = 0.$$

S druge strane

$$\frac{d}{dx}\left(\varphi - \frac{\partial{}\varphi}{\partial{}u'... ...arphi}{\partial{}{u'}^2}\,u''\,u' - \frac{\partial{}\varphi}{\partial{}u'}\,u''$$

$$= u'\left(\frac{\partial \varphi}{\partial u} - \frac{\partial^2 ... ...partial u'}\,u' - \frac{\partial{}^2\varphi}{\partial{}{u'}^2}\,u''\right) = 0,$$

jer je izraz u zagradi upravo lijeva strana Eulerove jednadžbe. Dakle

$$\frac{d}{dx}\left(\varphi - \frac{\partial{}\varphi}{\partial{}u'}\,u'\right) = 0.$$

Odatle

$$\varphi - \frac{\partial{}\varphi}{\partial{}u'}\,u' = C.$$

U našem slučaju

$$\sqrt{\frac{1+u'(x)^2}{u(x)}} - u'(x)\,\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)(1+u'(x)^2)}} = C,$$

$$\frac{1}{\sqrt{u(x)(1+u'(x)^2)}} = C,$$

tj.

$$u(x)\,(1+u'(x)^2) = D.$$

Stavimo

$$u' = {\rm ctg}\,\psi{},$$

gdje je $\psi$ parametar.

$$1+{u'}^2 = 1+{\rm ctg}\,^2\psi{} = \frac{1}{\sin^2\psi{}},$$

pa je

$$u = D\,\sin^2\psi{} = \frac{D}{2}\,(1-\cos 2\psi{}).$$

Sada treba $x$ izraziti kao funkciju od $\psi{},$ pa ćemo tako dobiti parametarski određenu traženu krivulju.

$$du = u'\,dx = {\rm ctg}\,\psi{}\,dx.$$

Isto tako

$$du = \left(\frac{D}{2}\,(1-\cos 2\psi{})\right)'d\psi{} = D\,\sin 2\psi{}\,d\psi{}.$$

Tako je

$$dx = 2\,D\,\sin^2\psi{}\,d\psi{}.$$

Odatle

$$x = 2\,D\int \sin^2\psi{}\,d\psi{} = D\,\left(\psi{}-\frac{\sin 2\psi{}}{2}\right) + D_1.$$

Mora biti $D_1=0,$ da bi istovremeno $x$ i $\psi$ težili k nuli. Stavimo $2\psi{}=\phi{}.$ Tada je

$$x = \frac{D}{2}\,(\phi{}-\sin\phi{}),$$

dok je

$$u = \frac{D}{2}\,(1-\cos\phi{}).$$

Konstanta $D$ se određuje iz preostalog rubnog uvjeta $u(\ell{})=u_1,$ ili preciznije $\left. u\right\vert _{x=\ell}=u_1.$ Ove parametarske jednadžbe predstavljaju cikloidu.