Vektori i matrice

Matrice

Definicija 1   Shemu brojeva

$$% latex2html id marker 29810 A=\left[ \begin{array}{cccc} a... ...dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right]$$

zovemo pravokutnom matricom tipa (m,n) ili jednostavno matricom tipa (m,n).

Ako je $m=n,$ onda kažemo da je $A$ kvadratna matrica reda $n$.

Elementi $a_{i1}, a_{i2},\ldots, a_{in}$ čine i-ti redak $a_{1j}, a_{2j},\ldots, a_{mj}$ čine j-ti stupac; dakle $a_{ij}$ je element matrice, koji se nalazi u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu.

S ${\cal M}_{mn}$ označavamo skup svih matrica tipa $(m,n).$ Ako je $m=n,$ onda se piše ${\cal M}_{n}$ umjesto ${\cal M}_{nn}.$

Matricu ćemo kraće zapisivati ovako

$$A=[a_{ij}].$$

Operacije s matricama

Za dvije matrice $A,B\in {\cal M}_{mn}$

$$A=[a_{ij}],\hspace{1cm}B=[b_{ij}]$$

kažemo da su jednake ako je $a_{ij}=b_{ij},\;\forall i,j.$

Zbrajanje matrica.

Zbrajati možemo samo matrice istog tipa. Neka su $A,B \in {\cal M}_{mn},$

$$A=[a_{ij}],\hspace{1cm}B=[b_{ij}]$$

Zbroj $A+B$ je matrica tipa $(m,n)$

$$A+B=\left[a_{ij}+b_{ij}\right].$$

Množenje matrice brojem.

Umnožak matrice $A=[a_{ij}]$ i broja $\lambda$ je matrica $\lambda A$ istog tipa kao i $A$

$$\lambda\, A=\left[\lambda\, a_{ij}\right].$$

Zbog svojstava zbrajanja i množenja brojeva, operacije zbrajanja matrica i množenja matrice brojem očito imaju sljedeća svojstva.

1.

$(A+B)+C=A+(B+C),\hspace{1cm} \forall A, B, C\in {\cal M}_{mn},$

2.

$A+B=B+A,\hspace{1cm} \forall A, B\in {\cal M}_{mn},$

3.

Postoji $O\in {\cal M}_{mn}$ takav da je $A+O=O+A,\hspace{1cm} \forall A\in {\cal M}_{mn},$
(To je matrica $O=[0],$ tj. $a_{ij}=0$ za svaki $i,j$),

4.

$\forall A\in {\cal M}_{mn}$ postoji $-A\in {\cal M}_{mn}$ takav da je $A+(-A)=(-A)+A=O,$
(To je matrica $-A=[-a_{ij}]$),

5.

$1\,A=A, \hspace{1cm} \forall A\in {\cal M}_{mn},$

6.

$\lambda\,(A+B)=\lambda\,A+\lambda\,B,\hspace{1cm} \forall \lambda \in R, \;\forall A, B\in {\cal M}_{mn},$

7.

$(\lambda+ \mu)\,A=\lambda\,A+ \mu\,A, \hspace{1cm} \forall \lambda, \mu \in R,\; \forall A\in {\cal M}_{mn},$

8.

$(\lambda\, \mu)\,A=\lambda\,( \mu\,A), \hspace{1cm} \forall \lambda, \mu \in R, \;\forall A\in {\cal M}_{mn}.$

S obzirom na to da su u skupu ${\cal M}_{mn}$ dane dvije operacije, zbrajanje i množenje brojem, i da te operacije imaju navedenih osam svojstva, skup ${\cal M}_{mn}$ zovemo vektorskim prostorom.

Množenje matrica.

Matrica $A=[a_{ij}]$ tipa $(m,n)$ i matrica $B=[b_{lk}]$ tipa $(p,q)$ se mogu pomnožiti tim redom samo ako je $p=n,$ tj. ako je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge matrice. U tom slučaju možemo indeks $l$ zamijeniti s $j,$ pa je

$$A=[a_{ij}],\hspace{1cm}B=[b_{jk}],$$

Produkt $AB$ je matrica tipa $(m,q)$

$$A\,B=\left[c_{ik}\right]= \left[\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,b_{jk}\right].$$

Množenje matrica ima ova svojstva.

1.

$(A\,B)\,C=A\,(B\,C),\hspace{1cm} \forall A, B, C.$

2.

$(A+B)\,C=A\,C+B\,C,\hspace{1cm} \forall A, B, C.$

3.

$A\,(B+C)=A\,B+A\,C,\hspace{1cm} \forall A, B, C.$

4.

Postoji kvadratna matrica odgovarajućeg reda $I,$ takva da je $I\,A=A,\;\;\forall A,$ i također kvadratna matrica odgovarajućeg reda $I,$ takva da je $A\,I=A,\;\; \forall A.$

Matrica $I$ se zove jedinična matrica. Njezini elementi su $a_{ii}=1,$ za svaki $i,$ te $a_{ij}=0,$ za $i\neq j.$ Pomoću Kroneckerovog simbola

$$\delta_{ij}= \begin{cases}1, & \text{ako je } i=j \\ 0, & \text{ako je $i\neq j$} \end{cases}$$ (1.1)

možemo kratko zapisati jediničnu matricu kao

$$I=[\delta_{ij}].$$

Produkt nije komutativan, tj. ne vrijedi općenito $A\,B=B\,A.$ Naime, kod produkta $A\,B$ je nužno da broj stupaca matrice $A$ bude jednak broju redaka matrice $B,$ dok je u produktu $B\,A$ nužno da broj redaka matrice $A$ bude jednak broju stupaca matrice $B.$ Tako se može dogoditi da jedan produkt postoji, a drugi ne.

Transponiranje.

Neka je dana matrica $A$ tipa $(m,n)$

$$% latex2html id marker 29997 A=[a_{ij}]=\left[ \begin{array}... ...ots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right].$$

Matrica, koja se iz $A$ dobije kad reci postanu stupci, označava se sa $A^T,$ ona je tipa $(n,m),$ i zove se transponirana matrica matrice $A.$ Dakle,

$$% latex2html id marker 30007 A^T=[a^T_{ij}]=[a_{ji}]=\left[ ... ...ts \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right].$$

Transponiranje se prema operacijama s matricama odnosi kako slijedi.

1.

$(A+B)^T=A^T+B^T,\hspace{1cm} \forall A, B \in {\cal M}_{mn},$

2.

$(\lambda\, A)^T=\lambda\, A^T, \hspace{1cm} \forall \lambda \in R, \, \forall A\in {\cal M}_{mn},$

3.

$(A\,B)^T=B^TA^T,\hspace{1cm} \forall A, B\in{\cal M}_{mn}$

4.

$(A^T)^T=A,\hspace{1cm} \forall A\in {\cal M}_{mn}.$

Linearna nezavisnost.

Operacije, koje su dane u ${\cal M}_{mn},$ omogućavaju da pravimo linearne kombinacije matrica. Neka su dane matrice $A_1,A_2,\ldots,A_k$ istog tipa, i brojevi $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k.$ Linearnom kombinacijom matrica $A_1,A_2,\ldots,A_k$ zovemo matricu

$$\lambda_1\,A_1+\lambda_2\,A_2+\cdots+\lambda_k\,A_k.$$ (1.2)

Brojeve $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ zovemo koeficijentima linearne kombinacije (1.2).

Definicija 2   Za matrice $A_1,A_2,\ldots,A_k$ kažemo da su linearno nezavisne, ako

$$\lambda_1\,A_1+\lambda_2\,A_2+\cdots+\lambda_k\,A_k=O\;\;\Rightarrow \;\;\lambda_1=0,\lambda_2=0,\ldots,\lambda_k=0.$$

U protivnom kažemo da su linearno zavisne.

Kvadratne matrice

Definicija 3   U kvadratnoj matrici $A=[a_{ij}]$ reda $n$ elementi $a_{11},a_{22},\ldots ,a_{nn}$ čine glavnu dijagonalu. Zbroj elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo ${\rm tr\,}A.$ Dakle,

$${\rm tr\,}\,A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.$$

Kvadratne matrice imaju redaka koliko i stupaca, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku, no i u tom slučaju produkt nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.1   Neka su dane matrice $A,B\in {\cal M}_{2},$

$$A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ ... ...ght],\hspace{1cm}B=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right].$$

$$A\,B=\left[\begin{array}{cc} a & b \... ...],\hspace{1cm}B\,A=\left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ c & 0 \end{array}\right],$$

dakle $A\,B\neq B\,A.$

Definicija 4   Neka je $A$ kvadratna matrica. Matrica $A$ se zove

-

dijagonalna matrica, ako je $A=[a_{ij}\,\delta_{ij}],$ tj. ako su joj elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli,

-

skalarna matrica, ako je $A=[a\,\delta_{ij}],$ tj. ako je dijagonalna i ako su joj elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki,

-

gornja trokutasta, ako su joj elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli,

-

donja trokutasta, ako su joj elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Skalarna matrica je dijagonalna, dok obrat naravno ne vrijedi. Nulmatrica $O$ i jedinična matrica $I$ su skalarne matrice. Dapače, svaka skalarna matrica ima oblik $\lambda\,I.$

Budući da je $A\,I=I\,A$ za svaku kvadratnu matricu $A,$ bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom $A\in{\cal M}_{n}.$

Definicija 5   Neka je $A$ kvadratna matrica. Matrica $A$ se zove

-

simetrična matrica, ako je $A^T=A,$

-

antisimetrična matrica, ako je $A^T=-A,$

-

ortogonalna matrica, ako je $A^T\,A=I.$

Elementi na glavnoj dijagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbroj simetrične i antisimetrične marice:

$$A=\frac{1}{2}\,(A+A^T)+\frac{1}{2}\,(A-A^T).$$

Da je $A+A^T$ simetrična, a $A-A^T$ antisimetrična matrica, lako se vidi upotrebom gornjih svojstava.1.1.1

Determinanta

Definicija 6   Neka je dana kvadratna matrica $A=\left[a_{ij}\right]$ reda $n.$ Determinantom matrice $A$ zovemo broj

$$\det A=a_{11}\,A_{11}+a_{12}\,A_{21}+ \cdots + a_{1n}\,A_{n1} = \sum_{j=1}^n a_{1j}\,A_{j1},$$

gdje je $A_{ij}$ determinanta one matrice $n-1$-og reda koja se dobije kad se u matrici $A$ prekriže $j$-ti redak i $i$-ti stupac, pomnožena s $(-1)^{i+j},$ tj.

Broj $A_{ij}$ se zove algebarski komplement matričnog elementa $a_{ij}.$ Determinantu matrice reda $n$ ćemo kraće zvati determinantom $n$-tog reda.

Ova definicija svodi računanje determinanti $n$-tog reda na računanje determinanti $n-1$-og reda, ovih opet po istoj formuli na računanje determinanti $n-2$-og reda, itd. Tako dolazimo na kraju do determinanti trećeg ili drugog reda koje znamo izračunati

$$% latex2html id marker 30151 \left\vert \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right\vert=a\,d-b\,c,$$

$$% latex2html id marker 30153 \left\vert \begin{array}{ccc} ... ...ray}{cc} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array} \right\vert=$$

$$a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1$$

Računanje determinante po ovoj formuli je nepraktično, jer se s povećanjem reda jako povećava broj determinanti drugog ili trećeg reda koje treba izračunati. Zato ćemo navesti neka svojstva determinanti koja mogu bitno pojednostavniti njihovo računanje.

Svojstva determinanti.

1.

Ako su svi elementi nekog retka ili stupca nule, onda je determinanta jednaka nuli.

2.

Ako su ispod ili iznad glavne dijagonale nule, onda je determinanta jednaka produktu brojeva na glavnoj dijagonali.

3.

Ako dva stupca ili dva retka zamijene mjesta, onda determinanta mijenja znak.

4.

Ako su dva stupca ili dva retka jednaka, onda je determinanta jednaka nuli.

5.

Ako nekom stupcu ili retku dodamo linearnu kombinaciju preostalih stupaca ili redaka, onda se determinanta ne mijenja.

6.

Determinanta se množi brojem tako da se neki redak ili stupac pomnoži tim brojem.

7.

(Binet-Cauchyjev teorem) Determinanta produkta dvije matrice jednaka je produktu determinanti, tj.

$$\det (A\,B)=\det A\;\det B.$$

8.

Ako je neki stupac ili redak linearna kombinacija preostalih stupaca ili redaka, onda je determinanta jednaka nuli.

9.

$\det A=\det A^T.$

Primjer 1.2   Riješite jednadžbu

$$\left\vert\begin{array}{cccc} x-1 & ... ...\\ x-1 & x-2 & x-3 & x-3 \\ x-1 & x-2 & x-3 & x-4 \end{array}\right\vert=0.$$

Rješenje. Da se vidi o kojoj algebarskoj jednadžbi se radi, treba izračunati determinantu. Umjesto računanja determinante po definiciji, jednostavnije je koristiti svojstva determinante. Množenjem prvog retka s $-1,$ i dodavanjem drugom, trećem i četvrtom retku, dobivamo

$$\left\vert\begin{array}{cccc} x-1 & ... ...1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \end{array}\right\vert.$$

Da izbjegnemo minuse pomnožimo drugi, treći i četvrti redak s $-1.$ Time se promijeni predznak determinante, ali kako se radi o jednadžbi u kojoj je na desnoj strani $0,$ to nema utjecaja na rezultat. Zatim nastavimo slično s drugim, trećim i četvrtim retkom sa svrhom da ispod glavne dijagonale dobijemo nule, kako bismo je po svojstvu 2 lako izračunali . Na kraju dobivamo

$$\left\vert\begin{array}{cccc} x-1 & ... ...\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right\vert.$$

Prema tome jednadžba je

$$x -1 = 0,$$

i rješenje je $x=1.$

Inverzna matrica

Definicija 7   Neka je dana matrica $A\in{\cal M}_{n}.$ Matrica $B\in{\cal M}_{n}$ sa svojstvom

$$A\,B=B\,A=I$$

se zove inverzna matrica matrice $A,$ i piše se $B=A^{-1}.$ Kvadratna matrica, koja ima inverznu, se zove regularna. Kvadratna matrica, koja nema inverznu, se zove singularna.

Teorem 1   Inverzna matrica, ukoliko postoji, jedinstvena je.

Dokaz. Neka je $A\in{\cal M}_{n}.$ Pretpostavimo da su $B$ i $C$ njoj inverzne matrice. Tada je

$$B\,A-C\,A=O.$$

Pomnožimo ovu jednakost s desne strane s $B.$ Dobivamo

$$(B\,A-C\,A)\,B=O,$$

$$(B-C)\,A\,B=O,$$

$$B-C=O.$$

Dakle, $B=C.$ $\heartsuit$

Svojstva skupa regularnih matrica.

1.

Produkt regularnih matrica je regularna matrica i vrijedi $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$

2.

Jedinična matrica $I$ je regularna, i $I^{-1}=I.$

3.

$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1},$ za svaki $\lambda\neq 0.$

4.

$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}.$

5.

$(A^{-1})^{-1}=A.$

6.

Ako je $A$ regularna matrica, onda je $\det A\neq 0.$

Nulmatrica množena s bilo kojom matricom daje nulmatricu, pa tako ne postoji njezin inverz. Dakle, nulmatrica je singularna. No to nije jedina singularna matrica kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.3   Matrica

$$A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$$

nema inverznu.

Rješenje. Iz primjera 1.1 se vidi da je

$$A\,\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ ... ...\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right].$$

Pretpostavimo da postoji inverz $B$ matrice $A.$ Tada je

$$BA\,\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\... ...d{array}\right]=B\,\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],$$

tj.

$$\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0... ...\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],$$

što je u kontradikciji s definicijom jednakosti matrica.

Može se dokazati da vrijedi

$$\det A=a_{i1}\,A_{1i}+a_{i2}\,A_{2i}+ \cdots + a_{in}\,A_{ni}$$

za svaki $i.$ No, ako algebarske komplemente elemenata jednog retka množimo s elementima drugog retka i zbrojimo, dobivamo nulu

$$a_{i1}\,A_{1j}+a_{i2}\,A_{2j}+ \cdots + a_{in}\,A_{nj}=0,$$   za $$j\neq i$$

To slijedi odatle što je lijeva strana jednaka determinanti u kojoj je umjesto $j$-tog retka napisan $i$-ti. Tako u determinanti imamo dva retka jednaka, pa je ona jednaka nuli. Dakle za svaki $i,j$ vrijedi

$$a_{i1}\,A_{1j}+a_{i2}\,A_{2j}+ \cdots + a_{in}\,A_{nj}=\delta_{ij} \,\det A.$$

Na lijevoj strani ove jednakosti se nalazi $ij$-ti element produkta matrice $A=[a_{ij}]$ i matrice $B=[A_{ij}].$ Vidimo da je

$$[a_{ij}]\,[A_{ij}] = \det A\,[\delta_{ij}],$$

tj.

$$A\,B = (\det A)\,I.$$

Odgovarajuće formule vrijede ako se uzmu stupci matrice $A$ umjesto redaka, pa se može slično dobiti formula

$$B\,A = (\det A)\,I.$$

Odavde je jasno da je

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,[A_{ij}].$$

Matrica $B = [A_{ij}]$ se zove adjunkta matrice $A.$

Na temelju ove diskusije može se zaključiti da vrijedi i obrat 6. svojstva skupa regularnih matrica 1.1.2. Tako vrijedi

6'. Matrica $A$ je regularna ako i samo ako je $\det A\neq 0.$

Vektori

Definicija 8   $n$-torku realnih brojeva

$$\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]$$

zovemo vektorstupcem, a

$$\boldsymbol{x}^{T}=\left[\begin{array}{cccc} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_n \end{array} \right]$$

vektorretkom. Uglavnom ćemo raditi s vektorstupcima, pa ćemo njih jednostavno zvati vektorima. Kraće ćemo ih zapisivati

$$\boldsymbol{x}=[x_i].$$

Skup svih vektorstupaca ćemo označavati s ${\cal R}_n,$ a svih vektorredaka s ${\cal R}^T_n.$

Kako je vektor $\boldsymbol{x}$ u ${\cal R}_{2}$ zadan s dva realna broja, od kojih se zna koji je prvi, a koji drugi, možemo $\boldsymbol{x}$ identificirati s uređenim parom realnih brojeva, dakle točkom u ravnini, a prema tome i s radijvektorom u ravnini.

Slika 1.1: Vektorstupac u ${\cal R}_{2}$ kao vektor u ravnini

Vektor $\boldsymbol{x}$ u ${\cal R}_{3}$ je zadan s tri realna broja, od kojih se zna koji je prvi, koji je drugi, a koji je treći. Tako možemo $\boldsymbol{x}$ identificirati s uređenom trojkom realnih brojeva, dakle točkom u prostoru, a prema tome i s radijvektorom u prostoru.

Slika 1.2: Vektorstupac u ${\cal R}_{3}$ kao vektor u prostoru

Kao što smo vidjeli ${\cal M}_{mn}$ je vektorski prostor. Tako su i ${\cal R}_n={\cal M}_{n1}$ i ${\cal R}^T_n={\cal M}_{1n}$ vektorski prostori.

Budući da su vektori ustvari jednostupčaste matrice, znamo ih zbrajati i množiti brojem. Također znamo što je vektor 0 i taj vektor zovemo nulvektorom.

Operacije, koje su dane u ${\cal R}_n,$ omogućavaju da pravimo linearne kombinacije vektora. Neka su dani vektori $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_k$ istog tipa, i brojevi $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k.$ Linearnom kombinacijom vektora $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_k$ zovemo vektor

$$\lambda_1\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,\boldsymbol{x}_2+\cdots+\lambda_k\,\boldsymbol{x}_k.$$ (1.3)

Brojeve $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ zovemo koeficijentima linearne kombinacije (1.3).

Definicija 9   Za vektore $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_k$ kažemo da su linearno nezavisni, ako

$$\lambda_1\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,\boldsymbol{x}_2+\cdots+\lambda_k\,\boldsymbol{x}_k=$$   0$$\hspace{3mm}\Rightarrow \hspace{3mm} \lambda_1=0,\lambda_2=0,\ldots,\lambda_k=0.$$

U protivnom kažemo da su linearno zavisni.

Primjer 1.4   Neka su dana tri vektora

$$\boldsymbol{x}_1=\left[ \begin{array... ...t],\quad \boldsymbol{x}_3=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -2 \end{array}\right].$$

Tada je

$$2\boldsymbol{x}_1+\frac{3}{2}\boldsymbol{x}_2 + \frac{5}{2}\boldsymbol{x}_3 = \textbf{0}.$$

Kako su koeficijenti u linearnoj kombinaciji različiti od $0,$ ti vektori su linearno zavisni.

Na slici 1.3 su vektori u ravnini reprezentirani radijvektorima, i pokazano je kako linearna kombinacija iščezava.

Slika 1.3: Linearna zavisnost vektora

Pokušajte se uvjeriti crtežom da linearna kombinacija dva od njih, na pr. $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2$ daje $\textbf{0}$ samo u slučaju da su koeficijenti linearne kombinacije jednaki $0.$

Primjer 1.5   Ispitati linearnu nezavisnost sljedećih vektora u odnosu na parametre $a$ i $b.$

$$\boldsymbol{x}_1 = \left[\begin{arra... ...ldsymbol{x}_4 = \left[\begin{array}{c} a \\ 1 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right].$$

Rješenje. Jednakost

$$\lambda{}_1\,\boldsymbol{x}_1 + \lambda{}_2\,\boldsymbol{x}_2 + \lambda{}_3\,\boldsymbol{x}_3 + \lambda{}_4\,\boldsymbol{x}_4 = \textbf{0}$$

vodi na sustav jednadžbi

$$7 \,\lambda_2+b \,\lambda_3+a \,\lambda_4 = 0$$

$$\,\lambda_1+4 \,\lambda_2+3 \,\lambda_3+\,\lambda_4 = 0$$

$$\,\lambda_2 = 0$$

$$2 \,\lambda_1+8 \,\lambda_2+4 \,\lambda_3+5 \,\lambda_4 = 0.$$

Slijedi $\lambda_2=0.$ Ostaju tri jednadžbe s tri nepoznanice. Eliminiramo nepoznanicu $\lambda_1.$ Ostaju dvije jednadžbe s nepoznanicama $\lambda_3$ i $\lambda_4.$

$$b \,\lambda_3+a \,\lambda_4 = 0$$

$$-2 \,\lambda_3+ 3 \,\lambda_4 = 0.$$

Odatle dobivamo jednu jednadžbu

$$(3\,b + 2\,a)\,\lambda_4 = 0.$$

Ako je $3\,b + 2\,a \neq 0,$ onda je $\lambda{}_4=0,$ i zatim $\lambda{}_3=0,$ i kad se s tim vratimo u početni sustav dobivamo i $\lambda{}_1 =0.$ Dakle, za

$$a \neq -\frac{3}{2}\,b$$

vektori su linearno nezavisni.

U protivnom, ako je

$$3\,b + 2\,a = 0,$$

onda $\lambda{}_4$ može biti proizvoljan broj, prema tome i različit od $0.$ Tako su, u tom slučaju, vektori linearno zavisni.

Skalarni produkt.

U ${\cal R}_{n}$ možemo definirati skalarni produkt na sljedeći način.

Definicija 10   Neka su $\boldsymbol{x}=\left[x_{i}\right]$ i $\boldsymbol{y}=\left[y_{i}\right]$ proizvoljni vektori u ${\cal R}_{n}.$ Skalarni produkt vektora $\boldsymbol{x}$ i $\boldsymbol{y}$ je broj (skalar)

$$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+ \cdots +x_{n}\,y_{n}= \sum_{i=1}^n x_{i}\,y_{i}.$$

Vektore možemo shvatiti kao jednostupčaste matrice. U tom slučaju se skalarni produkt može zapisati kao

$$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^T\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T\,\boldsymbol{y}.$$

Skalarni produkt ima sljedeća svojstva.

1.

$(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{z}+\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{z},$

2.

$(\lambda\,\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{y}=\lambda\,(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}),$

3.

$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{x},$

4.

$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x}\geq 0,$

5.

$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x}=0$ ako i samo ako je $\boldsymbol{x}=\textbf{0}.$

U vektorskom prostoru radijvektora (usmjerenih dužina) smo pomoću skalarnog produkta računali duljine vektora, kuteve između njih, i prema tome rješavali određene geometrijske probleme. Koristeći skalarni produkt to možemo sada i u ${\cal R}_{n}.$ Tako kažemo da je duljina vektora $\boldsymbol{x}$

$$\Vert\boldsymbol{x}\Vert=\sqrt{\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x}}=\sqrt{\boldsymbol{x}^T\,\boldsymbol{x}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},$$

a kut $\phi$ između vektora $\boldsymbol{x}$ i $\boldsymbol{y}$ se računa iz formule

$$\cos\phi=\frac{\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}}{\Vert\boldsymbol{x}\Vert\,\Vert\boldsymbol{y}\Vert}.$$

Pomoću skalarnog produkta vektora možemo kraće zapisati umnožak dvije matrice. Označimo s $\boldsymbol{a}_{i\cdot}$ $i$-ti redak matrice $A,$ a s $\boldsymbol{b}_{\cdot k}$ $k$-ti stupac matrice $B.$ Iz uvjeta za postojanje produkta matrica slijedi da ti vektori imaju jednak broj elemenata, tj. oni pripadaju istom vektorskom prostoru, pa se mogu skalarno množiti. Prema definiciji umnoška matrica možemo pisati

$$A\,B=\left[\boldsymbol{a}_{i\cdot}^T\cdot\boldsymbol{b}_{\cdot k}\right].$$

Produkt matrice i vektora.

Neka je $A=[a_{ij}]$ matrica tipa $(m,n),$ i $\boldsymbol{x}=[x_j]\in {\cal R}_{n}$ proizvoljan vektor. Vektor možemo shvatiti kao jednostupčastu matricu, te možemo pomnožiti $A$ i $\boldsymbol{x}.$ Dobivamo

$$\boldsymbol{y}=A\,\boldsymbol{x},$$

ili raspisano

$$y_1 = a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n$$

$$y_2 = a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n$$

$$\cdots$$

$$y_m = a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n.$$

Dakle $\boldsymbol{y}$ je vektor u ${\cal R}_m.$ Tako množenje matricom $A$ tipa $(m,n)$ možemo shvatiti kao funkciju koja preslikava vektore iz ${\cal R}_{n}$ u vektore iz ${\cal R}_m.$

Primjer 1.6   Na pr. matrica

$$\left[\begin{array}[center]{cc} 2 & 3 \\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right]$$

djeluje kao preslikavanje iz ${\cal R}_{2}$ u ${\cal R}_{3}.$ Na slici 1.4 su prikazani vektorstupci

$$\boldsymbol{x}= \left[ \begin{array}... ...ght],\quad \boldsymbol{z}= \left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right]$$

kad radijvektori. Slika 1.5 predstavlja njihove slike nakon djelovanja matrice (nakon množenja s matricom).

Slika 1.4: Vektori u ${\cal R}_{2}.$

Slika 1.5: Slike vektora iz ${\cal R}_{2}.$

To preslikavanje je linearno, jer vrijedi

$$A\,(\lambda_1\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,\boldsymbol{x}_2)= \lambda_1\,A\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,A\,\boldsymbol{x}_2$$

za bilo koje brojeve $\lambda_1,\lambda_2,$ i bilo koje vektore $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2.$

Definicija 11   Neka su $V$ i $W$ dva vektorska prostora, i neka je ${\cal A}\,:V\rightarrow W$ funkcija sa svojstvom

$${\cal A}\,(\lambda\,\boldsymbol{v}_1+\mu\,\boldsymbol{v}_2)=\lambda\,{\cal A}\,(\boldsymbol{v}_1)+ \mu\,{\cal A}\,(\boldsymbol{v}_2),$$

za svaki par vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\in V,$ i za svaki par brojeva $\lambda,\mu.$ Takvu funkciju zovemo linearnim operatorom.

U skladu s ovom definicijom, matricu $A$ tipa $(m,n)$ možemo smatrati linearnim operatorom s prostora ${\cal R}_{n}$ u prostor ${\cal R}_m.$

Slike 1.6 i 1.7 pokazuju kako djeluje matrica

$$\left[\begin{array}[center]{ccc} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right]$$

kao preslikavanje iz ${\cal R}_{3}$ u ${\cal R}_{2},$ kad vektorstupce

$$\boldsymbol{x}_1 = \left[\begin{arra... ...dsymbol{x}_3 = \left[\begin{array}[center]{c} -3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]$$

identificiramo s radijvektorima.

Slika 1.6: Vektori u ${\cal R}_{3}.$

Slika 1.7: Slike vektora iz ${\cal R}_{3}.$

Baza

Definicija 12   Neka je $V$ vektorski prostor. Bazom u vektorskom prostoru $V$ zovemo uređenu $k$-torku vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k,$ ako su ti vektori

1.

linearno nezavisni,

2.

razapinju vektorski prostor $V$, tj. ako se svaki vektor iz $V$ može napisati kao linearna kombinacija vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k.$

Vidjeli smo da se vektorstupci u ${\cal R}_{2}$ i ${\cal R}_{3}$ mogu identificirati s radijvektorima, i prema tome crtati u ravnini i prostoru. U ravnini, preciznije u vektorskom prostoru radijvektora u ravnini, bilo koja dva nekolinearna vektora čine bazu. Na slici 1.8 se vidi kao se vektor $\boldsymbol{x}$ može prikazati kao linearna kombinacija dva nekolinearna vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2.$

Slika 1.8: Baza u ${\cal R}_{2}.$

Također, u vektorskom prostoru radijvektora u prostoru bilo koja tri nekomplanarna vektora čine bazu. Na slici 1.9 se vidi kao se vektor $\boldsymbol{x}$ može prikazati kao linearna kombinacija tri nekomplanarna vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3.$

Slika 1.9: Baza u ${\cal R}_{3}.$

Primjer 1.7   Neka su zadani vektori u ${\cal R}_{n}$

$$\boldsymbol{e}_1=\left[\begin{array}... ...ymbol{e}_n=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right].$$

Ovi vektori čine bazu u ${\cal R}_n,$ i ta baza se zove kanonska baza u ${\cal R}_{n}.$

Rješenje. Zaista,

$$\left[\begin{array}{c} a_{1} \\ a_... ...a_{1}\,\boldsymbol{e}_1+a_{2}\,\boldsymbol{e}_2+\cdots+a_{n}\,\boldsymbol{e}_n,$$

i također

$$\lambda_1\left[\begin{array}{c} 1 \... ...y} \right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right]$$

povlači $\lambda_1= \lambda_2= \ldots=\lambda_n=0.$ Prema tome ovi vektori razapinju ${\cal R}_n,$ i linearno su nezavisni.

Primjer 1.8   Neka su zadane matrice u ${\cal M}_{mn}$

$$E_{11}=\left[\begin{array}{cccc} 1 &... ... \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array} \right].$$

One čine bazu u ${\cal M}_{mn},$ i ta baza se zove kanonska baza u ${\cal M}_{mn}.$

Rješenje. Zaista,

$$\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a... ...\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right] +$$

$$\cdots+a_{mn}\left[\begin{array}{ccc... ...ts & 1 \end{array} \right]=a_{11}\,E_{11}+a_{12}\,E_{12}+\cdots+a_{mn}\,E_{mn},$$

i također

$$\lambda_{11}\left[\begin{array}{cccc... ... \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array} \right]$$

$$=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{... ... \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right]$$

povlači $\lambda_{11}= \lambda_{12}= \ldots=\lambda_{mn}=0.$ Prema tome ovi vektori razapinju ${\cal M}_{mn},$ i linearno su nezavisni.

Teorem 2   Svaki vektor se na jedinstven način prikazuje kao linearna kombinacija vektora baze.

Dokaz. Neka je $V$ vektorski prostor, neka je $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k$ baza u $V$ i neka je $\boldsymbol{x}\in V$ proizvoljan. Zbog drugog svojstva baze imamo

$$\boldsymbol{x}=\lambda_1\,\boldsymbol{v}_1 +\lambda_2\,\boldsymbol{v}_2 +\ldots +\lambda_k\,\boldsymbol{v}_k.$$

Pretpostavimo da je također

$$\boldsymbol{x}=\mu_1\,\boldsymbol{v}_1 +\mu_2\,\boldsymbol{v}_2 +\ldots +\mu_k\,\boldsymbol{v}_k.$$

Tada je

$$\textbf{0}=(\lambda_1-\mu_1)\,\boldsymbol{v}_1 +(\lambda_2-\mu_2)\,\boldsymbol{v}_2,\ldots +(\lambda_k-\mu_k)\,\boldsymbol{v}_k.$$

Zbog linearne nezavisnosti baze, slijedi

$$\lambda_1-\mu_1=0,\; \lambda_2-\mu_2=0,\; \ldots,\; \lambda_k-\mu_k=0.$$

Dakle, nije moguće da $\boldsymbol{x}$ ima dva različita prikaza u $V$ u odnosu na izabranu bazu. $\heartsuit$

Teorem 3   [1, str. 141] Neka je u vektorskom prostoru $V$ dano $m+1$ međusobno različitih vektora $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1},$ i neka se svaki od njih može napisati kao linearna kombinacija od $m$ vektora $\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\ldots,\boldsymbol{a}_{m}\in V.$ Tada su vektori $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1}$ linearno zavisni.

Dokaz. Teorem ćemo dokazati matematičkom indukcijom. Za $m=1$ tvrdnja vrijedi, jer iz $\boldsymbol{v}_1=\lambda \,\boldsymbol{a}_1$ i $\boldsymbol{v}_2=\mu\,\boldsymbol{a}_1$ slijedi

$$\mu\,\boldsymbol{v}_1-\lambda \,\boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$$

odakle

$$\boldsymbol{v}_1-\frac{\lambda}{\mu} \,\boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$$

pa su vektori $\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2}$ linearno zavisni. Ako je $\mu=0,$ onda se ne može dijeliti s $\mu,$ no u tom slučaju je $\boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$ pa su vektori $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}$ linearno zavisni, jer vrijedi

$$0\,\boldsymbol{v}_1 + 1\,\boldsymbol{v}_2 = \textbf{0}.$$

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $k\leq m.$ Dokažimo da tvrdnja vrijedi i za $m+1.$ Po pretpostavci imamo

$$\lambda_{11}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{12}\,\boldsymbol{a}_2+ \cdots+ \lambda_{1n}\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_1$$

$$\lambda_{21}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{22}\,\boldsymbol{a}_2+ \cdots +\lambda_{2n}\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_2$$

$$\cdots$$

$$\lambda_{m+1\,1}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{m+1\,2}\,\boldsymbol{a}_2+\cdots +\lambda_{m+1\,m}\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_{m+1}$$

Kad bi svaki koeficijent uz $\boldsymbol{a}_1$ bio jednak nuli, onda bismo imali situaciju da su vektori $\boldsymbol{v}_i$ linearne kombinacije od $m-1$ vektora, pa bi po pretpostavci indukcije bili linearno zavisni. Stoga možemo pretpostaviti da je na primjer $\lambda_{11}\neq 0.$ Pomnožimo prvu jednadžbu s $-\lambda_{21}/\lambda_{11},$ i dodajmo je drugoj. Time vektor $\boldsymbol{a}_1$ iščezne iz druge jednadžbe. Zatim, pomnožimo prvu jednadžbu s $-\lambda_{31}/\lambda_{11},$ i dodajmo je trećoj. Time vektor $\boldsymbol{a}_1$ iščezne iz treće jednadžbe, itd. Nakon tog postupka druga, treća i ostale jednadžbe izgledaju ovako

$$\lambda_{22}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{23}'\,\boldsymbol{a}_3+ \cdots+ \lambda_{2n}'\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_2'$$

$$\lambda_{32}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{33}'\,\boldsymbol{a}_3+ \cdots +\lambda_{2n}'\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_3'$$

$$\cdots$$

$$\lambda_{m+1\,2}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{m+1\,3}'\,\boldsymbol{a}_3+\cdots +\lambda_{m+1\,m}'\,\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{v}_{m+1}'.$$

Po pretpostavci indukcije slijedi da su vektori $\boldsymbol{v}_2',\ldots,\boldsymbol{v}_{m+1}'$ linearno zavisni. Pri tom je

$$\boldsymbol{v}_2' = \boldsymbol{v}_2 - \frac{\lambda_{21}}{\lambd... ...\boldsymbol{v}_{m+1} - \frac{\lambda_{m+1\,1}}{\lambda_{11}}\,\boldsymbol{v}_1.$$

To znači da postoje brojevi $\alpha{}_2,\alpha{}_3,\ldots{},\alpha{}_{m+1},$ od kojih je barem jedan različit od nule, takvi da je

$$\alpha{}_2\,\boldsymbol{v}_2' + \alpha{}_3\,\boldsymbol{v}_3' + \cdots + \alpha{}_{m+1}\,\boldsymbol{v}_{m+1}' = \textbf{0},$$

odnosno vrijedi

$$-\left(\alpha{}_2\,\frac{\lambda_{21}}{\lambda_{11}} + \cdots{} +... ...\,\boldsymbol{v}_3 + \cdots + \alpha{}_{m+1}\,\boldsymbol{v}_{m+1} = \textbf{0}$$

za barem jedan $\alpha{}_i$ različit od nule, pa su prema tome vektori $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1}$ linearno zavisni. Kako su time ispunjene pretpostavke aksioma matematičke indukcije, tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $m.$ $\heartsuit$

Posljedice.

1.

Svaka četiri vektora u ${\cal R}_{3}$ su linearno zavisna.

2.

Ako su vektori $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_k$ iz ${\cal R}_{n}$ linearno nezavisni, onda je $k\leq n.$

3.

Ako je svaki vektor iz ${\cal R}_{n}$ linearna kombinacija vektora $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n,$ onda su vektori $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n$ linearno nezavisni, i prema tome čine bazu.

4.

Svaka baza u vektorskom prostoru $V$ ima jednaki broj elemenata. (Broj vektora u bazi se zove dimenzija prostora $V$ i označava s $\dim\,V.$)

5.

$\dim\,{\cal R}_n=n,\hspace{1cm} \dim\, {\cal M}_{mn}=m\cdot n.$