Problem vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora matrice

Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori

Definicija 13   Neka je $A$ kvadratna matrica reda $n.$ Za broj $\lambda$ kažemo da je vlastita (svojstvena) vrijednost matrice $A,$ a za vektor $\boldsymbol{x}\neq \textbf{0}$ kažemo da je vlastiti (svojstveni) vektor matrice $A,$ ako vrijedi

$$A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$$

Skup svih vlastitih vrijednosti matrice $A$ se zove spektar matrice $A.$

Na slici 1.15 je prikazano nekoliko vektora i njihovih slika dobivenih djelovanjem matrice $$% latex2html id marker 31788 \left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right].$$ Uočite razliku između djelovanja na vektore $\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{x}_4$ i na ostale vektore. Slike vektora $\boldsymbol{x}_3$ i $\boldsymbol{x}_4$ su ostale na pravcima određenim s tim vektorima (original i slika su kolinearni), dok druge vektore matrica zakreće.

Slika 1.15: Djelovanje matrice drugog reda na vektore u ravnini.

Neka je

$$A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$$

Tada je također

$$A\,(\alpha\,\boldsymbol{x}) = \alpha\,A\,\boldsymbol{x}= \alpha\,\lambda\,\boldsymbol{x}= \lambda\,(\alpha\,\boldsymbol{x}).$$

Dakle, ako je $\boldsymbol{x}$ vlastiti vektor za vlastitu vrijednost $\lambda,$ onda je i svaki s njim kolinearan vektor također vlastiti vektor koji pripada istoj vlastitoj vrijednosti. (Na slici 1.15 su crticama označeni pravci čija svaka točka predstavlja vrh nekog vlastitog vektora. Na jednom pravcu leže vlastiti vektori koji pripadaju vlastitoj vrijednosti $1,$ a na drugom oni koji pripadaju vlastitoj vrijednosti $3.$)

Jednadžba ${A}\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}$ se može drukčije napisati kao

$$({A}-\lambda\, {I})\,\boldsymbol{x}=\textbf{0}.$$

Da se nađe vlastiti vektor, potrebno je riješiti ovu matričnu jednadžbu. Ako je $A=[a_{ij}],$ i $\boldsymbol{x}=[x_i],$ ta jednadžba se može napisati kao sustav linearnih algebarskih jednadžbi

$$(a_{11}-\lambda)\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n = 0$$

$$a_{21}\,x_1+(a_{22}-\lambda)\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n = 0$$  (1.5)

$$\cdots$$

$$a_{n1}\,x_1+a_{n2}\,x_2+\cdots +(a_{nn}-\lambda)\,x_n = 0.$$

Ovo je homogen sustav i on ima netrivijalno rješenje, ako i samo ako je determinanta sustava jednaka nuli. Dakle,

$$\det(A-\lambda\, I)=\left\vert \begi... ...dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array} \right\vert=0.$$

Ako raspišemo ovu determinantu i jednadžbu pomnožimo s $(-1)^n,$ dobivamo algebarsku jednadžbu $n$-tog reda

$$\lambda^n - \sigma_1\,\lambda^{n-1} - \cdots - \sigma_{n-1}\,\lambda - \sigma_n=0.$$

Ova jednadžba se zove karakteristična jednadžba matrice $A.$ Polinom na lijevoj strani se zove karakteristični polinom matrice $A.$ Pri tom je $\sigma_1 = {\rm tr\,}A,\sigma_n = \det A.$

Poznato je da algebarska jednadžba $n$-tog reda ima $n$ općenito kompleksnih rješenja, računajući njihovu kratnost. Ta rješenja su vlastite vrijednosti.

Uvrštavanjem pojedinog rješenja u gornji homogeni sustav, dobivamo sustav jednadžbi koji, zbog toga što je homogen i što je determinanta jednaka nuli, ima beskonačno mnogo rješenja. To je u skladu s činjenicom da je svaki vektor, kolinearan s vlastitim vektorom, također vlastiti. Budući da vlastite vrijednosti mogu biti kompleksni brojevi, kao rješenja tog sustava možemo dobiti vektore čije su komponente kompleksni brojevi. Nas će prvenstveno interesirati slučaj kada su vlastite vrijednosti i vlastiti vektori realni.

Primjer 1.24   Nađimo vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice

$$A=\left[ \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -4 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right].$$

Rješenje. Karakteristična jednadžba je

$$\det(A-\lambda\, I)=\left\vert\begin... ...1 & -2 & -2-\lambda \end{array}\right\vert=-\lambda^3+2\,\lambda^2+\lambda-2=0.$$

Vlastite vrijednosti su dakle $\lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=2.$

Za $\lambda_1=1$ pripadni vlastiti vektor dobivamo (iz (1.5)) kao rješenje sustava

$$2\,x_1-2\,x_2-4\,x_3 = 0$$

$$-x_1\hspace{1.5cm}+x_3 = 0$$

$$x_1-2\,x_2-3\,x_3 = 0$$

Iz druge jednadžbe imamo $x_3=x_1.$ Uvrstimo u treću i dobivamo $x_2=-x_1.$ Tako je vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ -x_1 ... ...\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right].$$

Za $\lambda_2=-1$ imamo sustav

$$4\,x_1-2\,x_2-4\,x_3 = 0$$

$$-x_1+2\,x_2+x_3 = 0$$

$$x_1-2\,x_2-\,x_3 = 0$$

Rješenja su $x_2=0, x_3=x_1,$ pa je vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ 0 \\ ... ... \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right].$$

Za $\lambda_3=2$ imamo sustav

$$x_1-2\,x_2-4\,x_3 = 0$$

$$-x_1-x_2+x_3 = 0$$

$$x_1-2\,x_2-4\,x_3 = 0$$

Rješenja su $x_1=-2\,x_2, x_3=-x_2,$ pa je vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} -2\,x_2 \\ x... ...end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right].$$

Na slici 1.16 se vide vlastiti vektori i njihove slike.

Slika 1.16: Vlastiti vektori i njihove slike (različite vlastite vrijednosti).

Prvi vektor je preslikan u samog sebe. Isto se događa sa svakim drugim radijvektorom, kolinearnim s prvim vektorom. Drugi se preslika u sebi suprotan, što se događa i sa svakim s njim kolinearnim radijvektorom. Treći se preslika u dvostruko dulji (rastegne se), što se događa i sa svakim s njim kolinearnim radijvektorom. Vektor koji ne leži niti na jednom od pravaca određenih ovim vektorima, biva preslikan u vektor koji nije kolinearan sa svojim originalom.

Teorem 8   (Hamilton-Cayley) Ako je polinom

$$P_A(\lambda)=\lambda^n-\sigma_1\,\lambda^{n-1}-\cdots-\sigma_n$$

karakteristični polinom matrice $A,$ onda je $P_A(A)=O,$ tj.

$$A^n-\sigma_1\,A^{n-1}-\cdots-\sigma_n\,I=O.$$

Dokaz. $\heartsuit$

Dijagonalizacija simetrične matrice

Kako smo ranije definirali, matrica $A=[a_{ij}]\in{\cal M}_{n}$ je simetrična, ako je $A^T=A,$ tj. ako je

$$a_{ij}=a_{ji},\hspace{1cm}\forall i,j.$$

Ako je matrica $A$ simetrična, onda vrijedi

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \boldsymbol{y}^T\,A\,\bolds... ...}= (A\,\boldsymbol{y})^T\,\boldsymbol{x}= \boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}$$

za svaki par vektora $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in{\cal R}_{n}.$

Teorem 9   Vlastite vrijednosti simetrične matrice $A\in{\cal M}_{n}$ su realni brojevi.

Dokaz. Neka je $A\in{\cal M}_{n}$ simetrična matrica, $\lambda$ njezina vlastita vrijednost, i $\boldsymbol{x}$ pripadni vlastiti vektor. Tada je

$$A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$$

Ako konjugiramo ovu jednakost, i uzmemo u obzir da je $\bar{A}=A,$ jer su elementi matrice $A$ realni brojevi, dobivamo

$$A\,\bar{\boldsymbol{x}}=\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}.$$

Odatle

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}= \lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

$$\boldsymbol{x}\cdot A\,\bar{\boldsymbol{x}}= \bar{\lambda}\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}.$$

Zbog simetričnosti matrice $A$ imamo

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}= \boldsymbol{x}\cdot A\,\bar{\boldsymbol{x}}.$$

Tako je

$$\lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}} = \bar{\lambda}\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

tj.

$$(\lambda-\bar{\lambda})\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}} = 0.$$

Zbog $\boldsymbol{x}\neq \textbf{0},$ skalarni produkt $\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}$ ne može biti jednak nuli, pa slijedi $\lambda=\bar{\lambda}.$ $\heartsuit$

Teorem 10   Vlastiti vektori simetrične matrice $A\in{\cal M}_{n},$ koji pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, su međusobno okomiti.

Dokaz. Neka je $\lambda$ vlastita vrijednost, i $\boldsymbol{x}$ njoj pripadni vlastiti vektor matrice $A.$ Također, neka je $\mu$ vlastita vrijednost, i $\boldsymbol{y}$ njoj pripadni vlastiti vektor. Neka je $\lambda\neq \mu.$ Tada je $A \boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x},$ i $A \boldsymbol{y}=\mu\,\boldsymbol{y}.$ Odatle

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y},$$

$$\boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}= \mu\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}.$$

Zbog simetričnosti matrice $A$ imamo

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}.$$

Tako je

$$\lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \mu\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y},$$

tj.

$$(\lambda-\mu)\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= 0.$$

Kako je $\lambda\neq \mu,$ slijedi

$$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= 0,$$

tj. vlastiti vektori su međusobno okomiti. $\heartsuit$

Primjer 1.24 pokazuje da ovaj teorem ne vrijedi općenito. U tom primjeru kosinusi kuteva između vlastitih vektora iznose približno $0.816497,$ $-0.866025,$ $-0.942809,$ a kutevi u radijanima iznose približno $0.61548,$ $2.61799,$ $2.80176,$ odnosno $35^{\circ}15'8'',$ $149^{\circ}57'16'',$ $160^{\circ}30'17''.$

Dijagonalizacija simetrične matrice. Različite vlastite vrijednosti.

Neka je $A\in{\cal M}_{n}$ simetrična matrica, i neka su njezine vlastite vrijednosti $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,$ međusobno različite. Tada $A$ ima $n$ međusobno okomitih vlastitih vektora $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n,$ i vrijedi

$$A\,\boldsymbol{x}_j = \lambda_j\,\boldsymbol{x}_j,\hspace{1cm}j=1,2,\ldots, n.$$

Neka je

$$\boldsymbol{x}_j = [x_{ij}] = \left[... ... x_{2j} \\ \vdots \\ x_{nj}\end{array} \right], \hspace{1cm}j=1,2,\ldots, n,$$

i neka je $X=[x_{ij}]$ matrica, čiji su stupci vektori $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n$

$$X = \left[\begin{array}{cccc} x_{11}... ...ots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \end{array}\right].$$

Budući da su njezini stupci međusobno okomiti vektori, različiti od nulvektora, oni su linearno nezavisni, i prema tome je matrica $X$ regularna.

Imamo

$$A\,X=A\, \left[\begin{array}{cccc} ... ...x}_1 & A\,\boldsymbol{x}_2 & \ldots & A\, \boldsymbol{x}_n \end{array} \right]=$$

$$\left[\begin{array}{cccc} \lambda_1... ...\, x_{ij}]= [x_{ij}]\, [\lambda_j\,\delta_{ij}]= X\, [\lambda_j\,\delta_{ij}].$$

Matrica $[\lambda_j\,\delta_{ij}]$ je dijagonalna s vlasitim vrijednostima matrice $A$ na glavnoj dijagonali. Ako ovu jednadžbu pomnožimo s lijeva s $X^{-1},$ dobivamo

$$X^{-1}A\,X=[\lambda_j\, \delta_{ij}]... ... & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right].$$

Dijagonalizacija simetrične matrice. Opći slučaj.

U općem slučaju se može dogoditi da neke vlastite vrijednosti budu višestruke. Razmotrimo sljedeći primjer.

Primjer 1.25   Naći vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice

$$A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \right].$$

Rješenje. Vlastite vrijednosti su $\lambda_1=1, \lambda_2=1, \lambda_3=3.$

Za $\lambda_3=3$ imamo vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} 0 \\ x_2 \\ ... ...\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right],$$

tj. vlastitih vektora ima beskonačno mnogo ali su svi međusobno kolinearni.

Za $\lambda_1=\lambda_2=1$ imamo (iz (1.5))

$$0 = 0$$

$$x_2-x_3 = 0$$

$$-x_2+x_3 = 0.$$

Odavde $x_1$ je proizvoljan, i $x_3=x_2,$ pa je vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \... ...{array}\right]+\,x_2\, \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right],$$ (1.6)

tj. vlastitih vektora ima beskonačno mnogo ali sada su oni linearne kombinacije od dva linearno nezavisna vektora. Kako imamo slobodu izbora, možemo izabrati bilo koja dva međusobno okomita vektora, tako da i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti imamo međusobno okomite vlastite vektore.

Formula (1.6) se može shvatiti kao parametarske jednadžbe ravnine u prostoru, koja prolazi ishodištem i razapeta je vektorima

$$\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0... ...ht], \quad \quad \quad \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right].$$

Dakle svaki radijvektor u toj ravnini je vlastiti, s vlastitom vrijednošću $\lambda = 1.$

Na slici 1.17 je šatirana ravnina u kojoj je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću $1,$ i također je povučen pravac na kojem je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću $3.$

Slika 1.17: Vlastiti vektori i njihove slike (višestruke vlastite vrijednosti).

Općenito se događa sljedeće. $k$-struka vlastita vrijednost simetrične matrice vodi na sustav jednadžbi koji ima beskonačno mnogo rješenja određenih pomoću $k$ parametara. Izborom ovih parametara tako da jedan bude $1,$ a ostali $0,$ dobivamo $k$ linearno nezavisnih vektora. Ako tako napravimo za svaku višestruku vlastitu vrijednost, i dodamo vlastite vektore koji pripadaju jednostrukim vlastitim vrijednostima, dobit ćemo $n$ linearno nezavisnih vlastitih vektora simetrične matrice $A.$ Od njih kao stupaca formiramo matricu $X.$ Ona je regularna, i vrijedi

$$A\,X = X\, [\lambda_j\,\delta_{ij}].$$

Pomnožimo s lijeva matricom $X^{-1},$ i dobit ćemo, kao i prije

$$X^{-1}A\,X=[\lambda_j\,\delta_{ij}].$$

Definicija 14   Neka je $X$ regularna matrica i neka je

$$B= X^{-1}\,A\,X.$$

Tada kažemo da su matrice $A$ i $B$ slične. Ako među matricama sličnim matrici $A$ postoji dijagonalna, onda kažemo da se matrica $A$ može dijagonalizirati. Dijagonalizacija matrice je postupak nalaženja one regularne matrice $X,$ koja ima svojstvo da je $X^{-1}A\,X$ dijagonalna matrica.

U skladu s ovom definicijom, možemo zaključiti da se proizvoljna simetrična matrica $A$ može dijagonalizirati. U slučaju kad su vlastite vrijednosti međusobno različite, dijagonalizacija se vrši pomoću matrice čiji su stupci međusobno okomiti vlastiti vektori matrice $A.$

No, i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti matrica $X$ se može izabrati tako da su joj stupci međusobno okomiti. Doista, ako su $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_k,$ linearno nezavisni vlastiti vektori, onda su vektori $\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2,\ldots,\boldsymbol{y}_k,$ dobiveni po formulama

$$\boldsymbol{y}_1 = \boldsymbol{x}_1$$

$$\boldsymbol{y}_2 = \boldsymbol{x}_2-\left(\boldsymbol{x}_2\cdot\frac{\boldsymbol{y}_... ...dsymbol{y}_1\Vert}\right)\, \frac{\boldsymbol{y}_1}{\Vert\boldsymbol{y}_1\Vert}$$

$$\boldsymbol{y}_3 = \boldsymbol{x}_3 -\left(\boldsymbol{x}_3\cdot\frac{\boldsymbol{y}... ...dsymbol{y}_2\Vert}\right)\, \frac{\boldsymbol{y}_2}{\Vert\boldsymbol{y}_2\Vert}$$

$$\ldots$$

$$\boldsymbol{y}_k = \boldsymbol{x}_k -\left(\boldsymbol{x}_k\cdot\frac{\boldsymbol{y}... ...k-1}\Vert}\right)\, \frac{\boldsymbol{y}_{k-1}}{\Vert\boldsymbol{y}_{k-1}\Vert}$$

međusobno okomiti, i svaki od njih je vlastiti pripadajući istoj vlastitoj vrijednosti. Ovaj postupak se zove Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije.

Ideja Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije je jednostavna i prirodna. Prvi vektor ostavimo na miru. Njime je određen pravac. Drugi vektor projiciramo ortogonalno na taj pravac, i zatim tu projekciju odbijemo od drugog vektora. Time naravno dobivamo vektor koji je okomit na vektor na koji smo projicirali (sl. 1.18). S tako dobivenim vektorima razapnemo ravninu. Treći vektor projiciramo ortogonalno na tu ravninu, i odbijemo projekciju od njega. Time smo dobili vektor okomit na ravninu (sl. 1.19), itd.

Slika 1.18: Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije u ravnini.

Slika 1.19: Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije u prostoru.

Ako međusobno okomite vlastite vektore normiramo (podijelimo s njihovom duljinom), onda matrica $X=[x_{ij}],$ čiji su stupci vektori $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n,$ postaje ortogonalna. U tom slučaju je $X^{-1}=X^T,$ pa je

$$X^TA\,X=[\lambda_j\, \delta_{ij}].$$

Hamilton-Cayleyev teorem za simetrične matrice.

Dijagonalizacija simetrične matrice nam omogućava da teorem 8 dokažemo za simetrične matrice elegantno.

Uočimo najprije da je

$$A=X\,[\lambda_j\, \delta_{ij}]\,X^{-... ...s & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right]\,X^{-1}.$$

Odatle

$$A^2=X\,\left[\begin{array}{cccc} \la... ...s & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right]\,X^{-1}=$$

$$= X\,\left[\begin{array}{cccc} \lamb... ...& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^2 \end{array}\right]\,X^{-1}.$$

Indukcijom se može dokazati da općenito vrijedi

$$A^k= X\,\left[\begin{array}{cccc} ... ...& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k \end{array}\right]\,X^{-1},$$   za $$k=1,2,\ldots\,.$$

Prema tome i za proizvoljni polinom $p$ vrijedi

$$p(A)= X\,\left[\begin{array}{cccc} ... ... \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & p(\lambda_n) \end{array}\right]\,X^{-1}.$$

Neka je sada $p_A$ karakteristični polinom matrice $A.$ Budući da su $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,$ vlastite vrijednosti matrice $A,$ slijedi $p_A(\lambda_i) = 0$ za svaki $i.$ U tom slučaju je dijagonalna matrica na desnoj strani nulmatrica, pa je

$$p_A(A) = O.$$

Ortogonalne matrice

Pogledajmo kako djeluje ortogonalna matrica $Q$ na prostoru ${\cal R}_{n}.$ Iz

$$Q\boldsymbol{x}\cdot Q\boldsymbol{y}= (Q\boldsymbol{x})^T\,Q\bold... ...dsymbol{y}= \boldsymbol{x}^T\,\boldsymbol{y}= \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}$$

slijedi da $Q$ čuva skalarni produkt. Ako stavimo $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x},$ dobivamo

$$Q\,\boldsymbol{x}\cdot Q\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x},$$

odakle

$$\Vert Q\boldsymbol{x}\Vert=\Vert\boldsymbol{x}\Vert,$$

tj. ortogonalna matrica čuva duljinu vektora. Također

$$\cos\angle(Q\boldsymbol{x},Q\boldsymbol{y})=\frac{Q\boldsymbol{x}... ...l{x}\Vert\,\Vert\boldsymbol{y}\Vert}=\cos\angle(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),$$

pa prema tome ortogonalna matrica čuva i kuteve do na predznak, jer je kosinus kao parna funkcija neosjetljiv na predznak.

Budući da je $Q^TQ=I,$ ortogonalna matrica je regularna i $Q^{-1}=Q^T.$ Nadalje, iz svojstava determinante (Binet-Cauchyjevog teorema) slijedi

$$\det (Q^TQ)=\det Q^T\,\det Q=(\det Q)^2=\det I=1.$$

Prema tome je $\det Q=\pm 1.$

Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori ortogonalnih matrica

Neka je $\lambda$ vlastita vrijednost, a $\boldsymbol{x}$ pripadni vlastiti vektor ortogonalne matrice $Q.$ Tada je

$$Q\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$$

Konjugirajmo ovu jednakost

$$Q\,\bar{\boldsymbol{x}}=\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}.$$

Zbog svojstva ortogonalnih matrica,

$$Q\,\boldsymbol{x}\cdot Q\,\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

$$\lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

$$\vert\lambda\vert^2\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

$$\left(\vert\lambda\vert^2-1\right)\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}=0.$$

Budući da je

$$\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}\neq 0,$$

slijedi $\vert\lambda\vert^2=1,$ tj. kompleksan broj $\lambda$ se nalazi na jediničnoj kružnici u Gaussovoj ravnini. Specijalno, ako je $\lambda$ realan broj, onda je $\lambda=1$ ili $\lambda=-1.$

Pogledajmo sada što se može reći o ortogonalnim matricama drugog i trećeg reda i o preslikavanjima koja one predstavljaju.

Ortogonalne matrice drugog reda

Ortogonalne matrice drugog reda možemo shvatiti kao funkcije (linearne operatore) koje preslikavaju ${\cal R}_{2}$ u ${\cal R}_{2}.$ Neka je

$$Q=\left[ \begin{array}{cc} q_{11} & q_{12} \\ q_{21} & q_{22} \end{array} \right]$$

proizvoljna ortogonalna matrica drugog reda. Ona preslikava kanonsku bazu u svoje stupce.

$$\left[ \begin{array}{cc} q_{11} & q_... ...nd{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} q_{12} \\ q_{22} \end{array} \right]$$

Prema tome stupci su međusobno okomiti, i njihova duljina jednaka je $1,$ pa se pripadne točke nalaze na jediničnoj kružnici.

Uočimo prvi od njih. Prema upravo rečenom, postoji $\varphi\in R$ takav da je

$$q_{11}=\cos \varphi,\hspace{1cm} q_{21}=\sin \varphi.$$

Slika 1.20: Djelovanje ortogonalne matrice u ravnini.

Budući da je drugi stupac okomit na prvi, pripadna točka se nalazi na jediničnoj kružnici na pravcu okomitom na radijvektor koji pripada prvom stupcu. Takvih točaka imamo dvije, kao što se vidi na sl. 1.20.

1. slučaj.

Radijvektor koji pripada točki zatvara kut $\varphi +\pi/2$ prema pozitivnom dijelu osi $x,$ i prema tome

$$q_{12}=-\sin \varphi,\hspace{1cm} q_{22}=\cos \varphi.$$

Tako imamo matricu

$$Q= \left[ \begin{array}{cc} \cos {\... ... & -\sin {\varphi } \\ \sin {\varphi } & \cos {\varphi } \end{array} \right],$$

koja predstavlja rotaciju u ravnini oko ishodišta za kut $\varphi.$

U ovom slučaju je očito $\det Q=1.$

Nadalje

$$\left\vert \begin{array}{cc} \cos {... ...bda \end{array} \right\vert = {{\lambda}^2} - 2\,\lambda\,\cos \varphi + 1 = 0.$$

To je kvadratna jednadžba koja nema realnih rješenja, osim u slučajevima kad je $\varphi=0$ ili $\varphi=\pi.$ U tim slučajevima rotacija je identično preslikavanje ili simetrija u odnosu na ishodište. Dakle, možemo zaključiti da rotacija u ravnini za kut $\varphi\in \langle 0,\pi\rangle$ nema realnih vlastitih vektora, što je geometrijski jasno.

2. slučaj.

Radijvektor koji pripada točki zatvara kut $\varphi-\pi/2$ s pozitivnim dijelom osi $x,$ pa imamo

$$q_{12}=\sin \varphi,\hspace{1cm} q_{22}=-\cos \varphi.$$

Matrica je sada

$$Q= \left[ \begin{array}{cc} \cos {\... ... & \sin {\varphi } \\ \sin {\varphi } & -\cos {\varphi } \end{array} \right],$$

simetrična je, pa se može dijagonalizirati. Karakteristična jednadžba je

$$\lambda^2-\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=0.$$

Vlastite vrijednosti su $\lambda_1=1,$ $\lambda_2=-1,$ a vlastiti vektori su

$$\left[ \begin{array}{c} \cos\frac{\v... ...ray}{c} -\sin\frac{\varphi }{2} \\ \cos\frac{\varphi }{2} \end{array} \right].$$

Ako formiramo matricu $X$ od ovih vektora, onda je

$$X^{-1}Q\,X=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]$$

U ovom slučaju se radi o simetriji u ravnini u odnosu na pravac čiji je koeficijent smjera $k={\rm tg}\,\frac{\varphi }{2}$ (sl. 1.21).

Slika 1.21: Simetrija u ravnini.

U ovom slučaju je očito $\det Q=-1.$

Zaključak.

Ortogonalne matrice drugog reda se dijele u dvije klase. U jednoj su one čija je determinanta jednaka $1,$ i one predstavljaju rotacije u ravnini oko ishodišta. U drugoj su one čija je determinanta jednaka $-1,$ one su simetrične, i predstavljaju simetrije oko pravaca kroz ishodište.

Ortogonalne matrice trećeg reda

Ortogonalne matrice trećeg reda možemo shvatiti kao funkcije koje preslikavaju ${\cal R}_{3}$ u ${\cal R}_{3}.$ Vektor $\boldsymbol{x}$ u ${\cal R}_{3}$ možemo identificirati s uređenom trojkom realnih brojeva, dakle točkom u prostoru, a prema tome i s radijvektorom u prostoru.

Neka je $Q$ ortogonalna matrica trećeg reda. Njezin karakteristični polinom je polinom trećeg reda s realnim koeficijentima, pa ima točno jedan ili točno tri realna korijena (kompleksni korijeni u tom slučaju dolaze u konjugiranim parovima). Realni korijeni mogu biti samo $1$ ili $-1.$

1. slučaj.

Ako su sva tri korijena realni, onda se može pokazati da je matrica simetrična, i tada se ona može dijagonalizirati, pa dobivamo jedan od sljedećih oblika

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0... ...n{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right].$$

Te matrice predstavljaju redom identitet, simetriju u odnosu na ravninu kroz ishodište (sl. 1.22), simetriju u odnosu na pravac kroz ishodište (sl. 1.23), simetriju u odnosu ishodište (sl. 1.24).

Slika 1.22: Simetrija u odnosu na ravninu.

Slika 1.23: Simetrija u odnosu na pravac.

Slika 1.24: Simetrija u odnosu na ishodište.

2. slučaj.

Ako je samo jedna realna vlastita vrijednost, onda postoji vektor $\boldsymbol{x}\in {\cal R}_{3}$ takav da je

$$Q\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x},\hspace{.5cm}{\rm ili}\hspace{.5cm}Q\,\boldsymbol{x}=-\boldsymbol{x}.$$

Neka je $\boldsymbol{y}$ okomit na $\boldsymbol{x}.$ Tada

$$Q\,\boldsymbol{x}\cdot Q\,\boldsymbol{y}= \pm\boldsymbol{x}\cdot Q\,\boldsymbol{y}= \pm\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}= 0,$$

pa se vidi da matrica $Q$ preslikava vektore koji su okomiti na $\boldsymbol{x}$ u vektore koji su i dalje okomiti na $\boldsymbol{x}.$ To znači da točke u ravnini kroz ishodište okomitoj na pravac kroz radijvektor pridružen vektoru $\boldsymbol{x}$ ostaju nakon preslikavanja u toj ravnini. Preslikavanje u toj ravnini se može opisati ortogonalnom matricom drugog reda. Ta matrica nema realne vlastite vrijednosti, jer bi ih u protivnom matrica $Q$ imala više od jedne. Tako ova matrica drugog reda predstavlja rotaciju. Dakle, u ovom slučaju imamo ove tipove

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0... ...sin {\varphi } \\ 0 & \sin {\varphi } & \cos {\varphi } \end{array} \right].$$

Te matrice predstavljaju rotaciju u prostoru oko osi kroz ishodište (sl. 1.25) i rotaciju u prostoru oko osi kroz ishodište zajedno sa simetrijom u odnosu na ravninu rotacije (sl. 1.26).

Slika 1.25: Rotacija oko osi kroz ishodište.

Slika 1.26: Simetrija u odnosu na ravninu i rotacija oko osi okomite na tu ravninu.

Uočite da smo i u slučaju ortogonalnih matrica trećeg reda dobili samo rotacije i simetrije.