Metoda separacije varijabli

Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda

Definicija 45   Neka je $\Omega$ područje u $R^2,$ neka je $f:\Omega\rightarrow R,$ neprekidna funkcija na $\Omega$. Jednadžbu

$$y' = f(x,y),$$ (6.1)

gdje je $y' =\frac{dy}{dx},$ zovemo običnom diferencijalnom jednadžbom 1. reda.

Osnovni problem je riješiti diferencijalnu jednadžbu (6.1), a to znači naći funkciju $y$ klase $C^1$ na nekom intervalu $I=\langle a,b\rangle,$ tako da je

1.

$(x,y(x))\in \Omega ,\hspace{.8in} \forall x\in I,$

2.

$y'(x) = f(x,y(x)) ,\hspace{.5in} \forall x\in I.$

Takva funkcija, ako postoji, zove se rješenje jednadžbe (6.1). Ako je $y$ rješenje jednadžbe (6.1) i $\Gamma_y$ njezin graf, onda je jednadžbom (6.1) određen koeficijent smjera tangente na $\Gamma_y$ u točki $(x,y(x))$, i to za svaki $x\in I$. Općenito je jednadžbom (6.1) u svakoj točki $(x,y)\in \Omega$ zadan koeficijent smjera $y'=f(x,y)$ tangente na neku krivulju. Stoga kažemo da je jednadžbom (6.1) zadano na $\Omega$ polje smjerova (v. sl. 6.1).

Slika 6.1: a) Geometrijsko značenje diferencijalne jednadžbe. b) Polje smjerova diferencijalne jednadžbe $y'=x^2+y^2$ na području $[-1,1]\times {}[-1,1].$

Za neki $x_0$ općenito postoji beskonačno mnogo $y$ takvih da je $(x_0,y)\in \Omega$ i u svakoj točki postoji smjer. Odatle se može naslutiti da postoji mnogo rješenja diferencijalne jednadžbe (6.1). Da se to zaista događa, pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 6.1   Treba riješiti diferencijalnu jednadžbu

$$y'=x.$$

Rješenje. Očito $f(x,y)=x$ i podrazumijeva se da je $D(f)=R$. Funkcija $y(x)=\frac{1}{2}\,x^2 +C$ je rješenje na cijelom R i to za bilo koju konstantu $C.$

Ipak u prethodnom primjeru postoji samo jedna funkcija, rješenje, takva da je $y(0)=0,$ tj. rješenje čiji graf prolazi točkom $(0,0)$. To pokazuje da govoriti o samo jednom rješenju ima smisla ako stavimo neki dodatni uvjet. S tim u vezi imamo sljedeću definiciju.

Definicija 46   Problem početnog uvjeta ili Cauchyjev problem se sastoji u tome da za danu točku $(x_0,y_0)\in \Omega$ treba naći interval $I$ i funkciju $y$ na $I$ tako da je $x_0\in I$ i

$$y' = f(x,y),\qquad y(x_0) =y_0.$$ (6.2)

Jednakost

$$y(x_0) = y_0.$$ (6.3)

se zove početni uvjet.

Drugim riječima Cauchyjev problem je problem da se nađe ono rješenje diferencijalne jednadžbe (6.1) koje zadovoljava početni uvjet (6.3).

Primjer 6.2   Treba riješiti Cauchyjev problem

$$y'= \sqrt{\mid y\mid } ,\hspace{.5in} y(0) = 0.$$ (6.4)

Rješenje. Za $C > 0$ stavimo

$$y_C(x)=\left \{ \begin{array}{ll} 0 & ,\,x\leqslant C \\ \frac{(x-C)^2}{4} & ,\,x>C \end{array}\right. .$$

Lako je provjeriti da funkcija $y_C(x)$ rješava Cauchyjev problem (6.4) ma kakav bio $C > 0$. Zatim, očito $y(x)=0$, za svaki $x\in R$, rješava (6.4).

Grafovi nekih funkcija $y_C$ su dani na sljedećoj slici

Vidimo da Cauchyjev problem (6.4) ima beskonačno mnogo rješenja. Dakle, zadavanje početnog uvjeta još ne garantira jedinstvenost rješenja. U daljnjem razmatramo specijalne slučajeve običnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda u kojima Cauchyjev problem ima jedno i samo jedno rješenje, tj. rješenje postoji i jedinstveno je.

Separacija varijabli

Teorem 25   Neka je $f:\langle a,b\rangle\rightarrow R$ nepekidna funkcija na $\langle a,b\rangle$, $\; g:\langle c,d\rangle\rightarrow R$ neprekidna na $\langle c,d\rangle$ i $g(y)\neq 0$ za svaki $y\in \langle c,d\rangle$. Tada, za svaki par brojeva $x_0\in \langle a,b\rangle,\; y_0\in \langle c,d\rangle$, Cauchyjev problem

$$y' = f(x)\,g(y) , \hspace{.5in} y(x_0) =y_0$$ (6.5)

ima jedno i samo jedno rješenje.

Slika 6.2: Područje početnog uvjeta linearnu diferencijalnu jednadžbu kod koje se mogu separirati varijable.

Dokaz. Zbog $g(y)\neq 0$ jednadžbu možemo prepisati u obliku

$$\frac{y'}{g(y)} = f(x).$$

Pretpostavimo da je $\varphi$ rješenje. Tada

$$\int_{x_0}^x\frac{\varphi'(t)}{g(\varphi(t))}\,dt=\int_{x_0}^x f(t)\,dt.$$

Po teoremu o integraciji supstitucijom (v. 44)

$$\int _{\varphi(x_0)}^{\varphi(x)} \frac{d\tau }{g(\tau )} =\int _{x_0}^x f(t)\,dt.$$

Neka je $F$ primitivna od $f$, a $G$ primitivna od $\frac{1}{g}$. Tada je

$$G(\varphi (x))-G(\varphi (x_0))=F(x)-F(x_0)$$

$$G(\varphi (x)) =F(x)+G(\varphi (x_0))-F(x_0).$$

$\varphi$ je rješenje, pa je tako $\varphi (x_0)=y_0$. Dakle

$$G(\varphi (x))=F(x)+G(y_0)-F(x_0).$$ (6.6)

Formula (6.6) očito ne ovisi o tome koje primitivne funkcije $F$ i $G$ uzmemo. Iz neprekidnosti $g$ na $\langle c,d\rangle$ i $g(y)\neq 0$ za $y\in \langle c,d\rangle$ slijedi

$$G'(y)=\frac{1}{g(y)} >0,\hspace{.5in} y\in \langle c,d\rangle$$

ili

$$G'(y)=\frac{1}{g(y)} <0,\hspace{.5in} y\in \langle c,d\rangle.$$

Prema tome (v. 43) je $G$ strogo monotona funkcija na $\langle c,d\rangle$. Tako postoji inverzna funkcija $G^{-1}$. Dakle iz (6.6)

$$\varphi (x)=G^{-1} (F(x)+G(y_0)-F(x_0)).$$ (6.7)

Iz pretpostavke da je $\varphi$ rješenje dobili smo formulu (6.7).Budući da ta formula određuje jednu funkciju, zaključujemo da rješenje postoji, a budući da formula (6.6) pa prema tome i (6.7) ne ovise o tome koje funkcije $F$ i $G$ izaberemo, zaključujemo da je rješenje jedinstveno. $\heartsuit$

Ako nije zadan početni uvjet, onda su $x_0$ i $y_0$ u formuli (6.7) neodređeni (osim što su vezani zahtjevom $y(x_0)=y_0$), pa prema tome imamo

$$\varphi (x)=G^{-1} (F(x) + C),$$

gdje je $C$ neodređena konstanta.

Definicija 47   Neka je

$$y'= f(x,y)$$ (6.8)

obična diferencijalna jednadžba 1. reda. Skup funkcija

$$\{ \varphi (x)=F(x,C);\;C\; \}$$ (6.9)

takav da proizvoljnim izborom konstante $C$ možemo dobiti rješenje jednadžbe (6.8) zovemo općim rješenjem jednadžbe (6.8).

Primjer 6.3   Treba riješiti Cauchyjev problem

$$y'=\frac{\sin x}{\sin y},\hspace{1cm}y(0)=\frac{\pi}{2}.$$ (6.10)

Rješenje. Imamo

$$f(x)=\sin x,\quad g(y)=\frac{1}{\sin y},\quad x_0=0,\quad y_0=\frac{\pi}{2},\quad D(g)=\langle 0,\pi\rangle.$$

Dakle

$$F(t) = -\cos t = G(t).$$

Funkcija $G^{-1}$ postoji na intervalu $\langle 0,\pi \rangle,$ i jednaka je

$$G^{-1}(t)={\rm Arccos}\,(-t),$$

pa imamo

$$y(x)={\rm Arccos}\,(\cos x+\cos \frac{\pi }{2} - \cos 0)$$

$$y(x)={\rm Arccos}\,(\cos x - 1).$$

Interval $I$ na kojem je zadano rješenje je određen s

$$-1\leqslant \cos x-1\leqslant 1.$$

Odatle $\cos x\geqslant 0$, pa je zbog početnog uvjeta taj interval $\langle -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\rangle$, tj. rješenje je funkcija

$$y:\langle -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\rangle \rightarrow R$$

zadana formulom

$$y(x)={\rm Arccos}\,(\cos x-1).$$

Na sljedećoj slici vidimo polje smjerova ove diferencijalne jednadžbe, točku određenu početnim uvjetom, i graf rješenja.

Slika 6.3: Polje smjerova i rješenje.

Homogena diferencijalna jednadžba

Ako je u diferencijalnoj jednadžbi (6.1)

$$f(x,y)=\varphi \left(\frac{y}{x}\right)$$

onda takvu jednadžbu, tj. jednadžbu

$$y' = \varphi \left(\frac{y}{x}\right)$$

zovemo homogenom diferencijalnom jednadžbom 1. reda. Stavimo $y=u(x)\,x.$ Tada

$$x\,u'+u=y'$$

$$x\,u'+u=\varphi (u)$$

$$x\,u'=\varphi (u)-u$$

$$u'=\frac{1}{x}\, (\varphi (u)-u),$$

a to je slučaj kad se mogu separirati varijable, naravno uz dodatni uvjet $\varphi (u)\neq u$. Tako imamo sljedeći teorem.

Teorem 26   Neka je $\varphi :\langle a,b\rangle\rightarrow R$ neprekidna funkcija i neka je $\varphi (u)\neq u,\;\; \forall u\in \langle a,b\rangle$. Tada, za svaki par brojeva $x_0,y_0\in R,$ takvih da je $\frac{y_0}{x_0}\in \langle a,b\rangle,$ (v. sl. 6.4) postoji jedno i samo jedno rješenje Cauchyjevog problema

$$y'=\varphi \left(\frac{y}{x}\right),\hspace{.5in} y(x_0) =y_0.$$ (6.11)

Slika 6.4: Područje početnog uvjeta za homogenu diferencijalnu jednadžbu.

Primjer 6.4   Riješimo diferencijalnu jednadžbu

$$y'=f\left(\frac{a\,x+b\,y+c}{a_1\,x+b_1\,y+c_1}\right)$$ (6.12)

Rješenje. 1. slučaj. Pretpostavimo da je $ab_1-a_1b\neq 0$. Tada sustav

$$a\,x+b\,y+c=0$$

$$a_1\,x+b_1\,y+c_1=0$$

ima jedinstveno rješenje $(x_0,y_0)$ i vrijedi

$$a\,x+b\,y+c=a(x-x_0)+b(y-y_0)$$

$$a_1\,x+b_1\,y+c_1=a_1(x-x_0)+b_1(y-y_0).$$

Stavimo $x-x_0=\xi ,\; y-y_0=\eta .\; y$ je funkcija od $x$, a $x$ od $\xi$ pa je tako $\eta$ funkcija od $\xi$.

$$\frac{d\eta }{d\xi }=\frac{d(y-y_0)}{dx}\,\frac{dx}{d\xi }=\frac{dy}{dx}.$$

Dakle

$$y'=\frac{d\eta}{d\xi}=f\left(\frac{a\,\xi+b\,\eta}{a_1\,\xi+b_1\,... ...a+b\,\eta/\xi}{a_1+b_1\,\eta/\xi}\right)= \varphi\left(\frac{\eta}{\xi}\right).$$

Tako smo jednadžbu (6.12) sveli na homogenu.

2. slučaj. $ab_1-a_1b=0$. Tada je

$$\frac{b_1}{b}= \frac{a_1}{a}=\lambda \Rightarrow b_1=\lambda\,b, a_1=\lambda\,a,$$

pa je

$$a_1\,x+b_1\,y+c_1=\lambda\, (a\,x+b\,y)+c_1.$$

Stavimo $z(x)=a\,x+b\,y(x).$

$$z'=a+b\,y'$$

i odatle

$$\frac{1}{b} \left(z' -a\right)= f\left(\frac{z+c}{\lambda z+c_1}\right),$$

tj.

$$z'=a+b\,f\left(\frac{z+c}{\lambda z+c_1}\right)=h(z)$$

a to je specijalan slučaj separacije varijabli.

Pitanja

1.

Što je obična diferencijalna jednadžba 1. reda?

2.

Što znači riješiti običnu diferencijalnu jednadžbu 1. reda? Što je rješenje?

3.

Polje smjerova. Interpretirajte geometrijski običnu diferencijalnu jednadžbu 1. reda.

4.

Definirajte Cauchyjev problem (problem početnog uvjeta) za običnu diferencijalnu jednadžbu 1. reda.

5.

Da li zadavanje početnog uvjeta osigurava jedinstvenost rješenja? Primjer.

6.

Iskažite teorem o postojanju i jedinstvenosti rješenja diferencijalne jednadžbe koja spada u klasu jednadžbi kod kojih se mogu separirati varijable. Da li ga možete dokazati?

7.

Što je opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe 1. reda?

8.

Kako izgleda homogena diferencijalna jednadžba 1. reda? Kako se rješava?

9.

U kojem području se može birati početni uvjet za homogenu diferencijalnu jednadžbu?

Riješeni zadaci

1.

U posudu, koja sadrži $10\,l$ vode, ulijeva se otopina, koja sadrži $0,3\, kg$ soli po jednoj litri, brzinom od $3\, l$ u minuti. Otopina se potpuno izmiješa i nakon toga istječe iz posude brzinom od također $3\, l$ u minuti. Koliko će soli biti u posudi kada $t\rightarrow\infty ?$ Kada će u posudi biti polovina te količine?

Rješenje. Označimo s $x(t)$ količinu soli u otopini u trenutku $t.$ Količina soli, koja uđe u vremenskom intervalu $\Delta{}t$ minuta, je

$$3\times{}0.3\,\Delta{}t\,$$kg$$= 0.9\,\Delta{}t\,$$kg$$.$$

Količina soli, koja izađe u vremenskom intervalu $\Delta{}t$ minuta, je

$$\frac{3}{10}\,x(t)\,\Delta{}t\,$$kg$$= 0.3\,x(t)\,\Delta{}t\,$$kg$$.$$

Dakle, prirast količine soli u vremenskom intervalu od $\Delta{}t$ minuta iznosi

$$\Delta{}x(t) = 0.9\,\Delta{}t - 0.3\,x(t)\,\Delta{}t.$$ (6.13)

Ovo je približni račun koji je to točniji što je manji vremenski interval $\Delta{}t.$ Stoga podijelimo jednadžbu (6.13) s $\Delta{}t$ i pustimo da $\Delta{}t\rightarrow{}0.$ Dobivamo

$$x'(t) = 0.9 - 0.3\,x(t).$$

Na početku je u posudi bilo $0\,kg$ soli. Tako imamo sljedeći Cauchyjev problem

$$x'(t) = 0.9 - 0.3\,x(t),\qquad x(0)=0.$$

Ovaj problem se očito može riješiti separacijom varijabli. Pri tom je

$$f(t) = 1,\qquad g(x) = 0.9 - 0.3\,x(t).$$

Odatle

$$F(t) = t,\qquad G(x) = \int \frac{dx}{0.9 - 0.3\,x} = \frac{-1}{0.3}\,\ln (0.9 - 0.3\,x).$$

Iz

$$s = \frac{-1}{0.3}\,\ln (0.9 - 0.3\,x)$$

dobit ćemo inverznu funkciju $G^{-1}$ tako da $x$ izrazimo kao funkciju od $s$

$$G^{-1}(s) = 3 - \frac{10}{3}\,e^{-0.3\,s}.$$

Prema formuli (6.7), uzimajući u obzir da je $t_0=0$ i $x_0=0,$ i uvrštavajući

$$s = F(t) + G(x_0) - F(t_0) = t - \frac{1}{0.3}\,\ln 0.9,$$

imamo rješenje

$$x(t) = 3\,\left(1 - e^{-0.3\,t}\right).$$

Kad vrijeme raste u beskonačnost, imamo

$$\lim_{t\rightarrow{}\infty{}} x(t) = \lim_{t\rightarrow{}\infty{}} 3\,\left(1 - e^{-0.3\,t}\right) = 3.$$

Dakle količina soli u otopini teži prema iznosu od $3\,kg.$

Da dobijemo vrijeme kad će biti polovica te količine, treba izračunati $t$ iz jednadžbe

$$1.5 = 3\,\left(1 - e^{-0.3\,t}\right),$$

što daje

$$t = \frac{\ln 2}{0.3}\,$$min.$$,$$

jer su jedinice u kojima smo izvodili jednadžbu bile kilogram i minuta.