next up previous contents index
Next: Rubni problemi Up: Metode rješavanja Previous: Eulerova metoda   Sadržaj   Indeks


Dijagonalizacija matrice sustava

Sustav

$\displaystyle \boldsymbol{y}'(x)=A\,\boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x)$

možemo vrlo elegantno riješiti, ako se matrica $ A$ može dijagonalizirati. Pretpostavimo da je to moguće, i da je

$\displaystyle X^{-1}A\,X=[\lambda_j\,\delta_{ij}].$

Da bismo dobili dijagonalnu matricu pomnožimo jednadžbu s $ X^{-1}$ s lijeva.

$\displaystyle X^{-1}\,\boldsymbol{y}'(x) = X^{-1}A\,\boldsymbol{y}(x) + X^{-1}\,\boldsymbol{f}(x),
$

$\displaystyle X^{-1}\,\boldsymbol{y}'(x)=X^{-1}A\,X\,X^{-1}\,\boldsymbol{y}(x) + X^{-1}\,\boldsymbol{f}(x),
$

$\displaystyle X^{-1}\,\boldsymbol{y}'(x)=[\lambda_j\,\delta_{ij}]\,X^{-1}\,\boldsymbol{y}(x) + X^{-1}\,\boldsymbol{f}(x),
$

$\displaystyle \boldsymbol{z}'(x)=[\lambda_j\,\delta_{ij}]\,\boldsymbol{z}(x) + \boldsymbol{g}(x),
$

gdje smo stavili

$\displaystyle \boldsymbol{z}(x)=X^{-1}\,\boldsymbol{y}(x),\qquad \boldsymbol{g}(x)=X^{-1}\,\boldsymbol{f}(x)$

Ovaj sustav, kad se raspiše, svodi se na $ n$ nezavisnih jednadžbi

$\displaystyle z_i '(x)=\lambda_i\,z_i (x) + g_i(x),\hspace{1cm}i=1,2,\ldots, n.
$

Svaka od ovih jednadžbi je linearna diferencijalna jednadžba 1. reda, čije rješenje je

$\displaystyle z_i(x)=e^{\lambda_i\,x}\left(C_i +
\int g_i(x)\,e^{-\lambda_i\,x}\,dx\right),\hspace{1cm}i=1,2,\ldots,
n.$

Opće rješenje početnog sustava dobijemo tako da nađemo $ \boldsymbol{y}(x)$ po formuli

$\displaystyle \boldsymbol{y}(x) = X\,\boldsymbol{z}(x).$

Kada je dan Cauchyjev problem

$\displaystyle \boldsymbol{y}'(x) = A\,\boldsymbol{y}(x) + \boldsymbol{f}(x),\quad \boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0,
$

rješenje dobijemo određujući konstante $ C_i$ iz početnog uvjeta

$\displaystyle \boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0.$

Ova metoda omogućava elegantno rješavanje, ako je matrica simetrična. Neke nesimetrične matrice se također mogu dijagonalizirati, kao što pokazuje primjer 1.24. Riješimo sada metodom dijagonalizacije upravo jedan takav primjer sustava diferencijalnih jednadžbi.

Primjer 1.34   Riješimo sljedeći sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda s konstantnim koeficijentima metodom dijagonalizacije.
$\displaystyle y'_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3\,y_1-2\,y_2-4\,y_3 + x\,\sin x$  
$\displaystyle y'_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -y_1+y_2+y_3 + \cos 2\,x$  
$\displaystyle y'_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_1-2\,y_2-2\,y_3 + x^2-1.$  

Rješenje. Matrica sustava je

% latex2html id marker 33283
$\displaystyle A=\left[ \begin{array}{ccc}
3 & -2 & -4 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & -2
\end{array} \right].$

U primjeru 1.24 smo ustanovili da su vlastite vrijednosti $ \lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=2.$ Vlastiti vektori su

% latex2html id marker 33287
$\displaystyle \left[\begin{array}{c}
1 \\  -1 \\ ...
...ray}\right],\quad
\left[\begin{array}{c}
-2 \\  1 \\  -1
\end{array}\right].$

Tako imamo

% latex2html id marker 33289
$\displaystyle X = \left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 ...
... \left[\begin{array}{c}
x\,\sin x \\  \cos 2\,x \\  x^2-1
\end{array}\right].$

Zatim

% latex2html id marker 33291
$\displaystyle X^{-1}\,A\,X = \left[\begin{array}{c...
...\,\sin x \\  -1 + x^2 + \cos 2\,x \\
-1 + x^2 - x\,\sin x \end{array}\right].$

Tako se sustav raspada na tri nezavisne linearne diferencijalne jednadžbe 1. reda.
$\displaystyle z'_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle z_1 -1 + x^2 - \cos 2\,x - x\,\sin x$  
$\displaystyle z'_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -z_2 -1 + x^2 + \cos 2\,x$  
$\displaystyle z'_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\,z_3 -1 + x^2 - x\,\sin x.$  

Svaku od njih riješimo, na pr. po formuli za rješenje linearne diferencijalne jednadžbe 1. reda. Rješenje je
$\displaystyle {z_1(x)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {-1 - 2\,x - x^2 + C_1\,e^x + \frac{1}{2}\,\cos x +
\frac{1}{2}\,x\,\cos x + \frac{1}{5}\,\cos 2\,x +
\frac{1}{2}\,x\,\sin x}$  
    $\displaystyle {- \frac{2}{5}\,\sin 2\,x,}$  
$\displaystyle {z_2(x)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {1 - 2\,x + x^2 + C_2\,e^{-x} + \frac{1}{5}\,\cos 2\,x +
\frac{2}{5}\,\sin 2\,x,}$  
$\displaystyle {z_3(x)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle { \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\,x - \frac{1}{2}\,x^2 +
C_3\,e^{2\,x} + \frac{4}{25}\,\cos x + \frac{1}{5}\,x\,\cos x +
\frac{3}{25}\,\sin x +}$  
    $\displaystyle {+ \frac{2}{5}\,x\,\sin x.}$  

Da dobijemo rješenje zadanog sustava, trebamo naći $ \boldsymbol{y}(x)=X\,\boldsymbol{z}(x).$ To znači
$\displaystyle y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle z_1 + z_2 - 2\,z_3$  
$\displaystyle y_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -z_1 + z_3$  
$\displaystyle y_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle z_1 + z_2 - z_3$  

tj.
$\displaystyle y_1(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -{\frac{1}{2}} - 3\,x + x^2 + C_1\,e^x + {C_2\,e^{-x}} -
2\,C_3\,{e^{2\,x}} + {\frac{1}{50}\,\left( 9 + 5\,x \right) \,\cos x} +$  
    $\displaystyle + {\frac{2}{5}\,\cos 2\,x} - {\frac{6}{25}\,\sin x} -
{\frac{3}{10}\,x\,\sin x},$  
$\displaystyle y_2(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{5}{4} + \frac{3}{2}\,x + \frac{1}{2}\,x^2 - C_1\,e^x
+ C_3\...
...} - \frac{1}{50}\,\left( 17 + 15\,x \right) \,\cos x
- \frac{1}{5}\,\cos 2\,x +$  
    $\displaystyle +\frac{3}{25}\,\sin x -
\frac{1}{10}\,x\,\sin x + \frac{2}{5}\,\sin 2\,x,$  
$\displaystyle y_3(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -{\frac{1}{4}} - {\frac{7}{2}\,x} +
{\frac{1}{2}\,x^2} + C_1\,e^x...
...{-x}} -
C_3\,{e^{2\,x}} + {\frac{1}{50}\,\left( 17 + 15\,x \right) \,
\cos x} +$  
    $\displaystyle +{\frac{2}{5}\,\cos 2\,x} - {\frac{3}{25}\,\sin x} +
{\frac{1}{10}\,x\,\sin x}.$  

Na slici 1.29 su dani grafovi rješenja uz zadani početni uvjet

$\displaystyle y_1(0) = -1,\qquad y_2(0) = 1,\qquad y_3(0) = 0,$

koje je
$\displaystyle y_1(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\,e^{-x} + \frac{3}{10}\,{e^x}
- \frac{59}{50}\,e^{2\,x} - 3\,x + x^2 +
\frac{1}{50}\left( 9 + 5\,x \right) \,\cos x +$  
    $\displaystyle +\frac{2}{5}\,\cos 2\,x - \frac{6}{25}\,\sin x -
\frac{3}{10}\,x\,\sin x,$  
$\displaystyle y_2(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{5}{4} - \frac{3}{10}\,{e^x} +
\frac{59}{100}\,e^{2\,x} + \f...
...}{2}\,x + \frac{1}{2}\,x^2 -
\frac{1}{50}\,\left( 17 + 15\,x \right) \,\cos x -$  
    $\displaystyle -\frac{1}{5}\,\cos 2\,x + \frac{3}{25}\,\sin x -
\frac{1}{10}\,x\,\sin x + \frac{2}{5}\,\sin 2\,x,$  
$\displaystyle y_3(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\,e^{-x} + \frac{3}{10}\,e^x
- \frac{59...
...7}{2}\,x + \frac{1}{2}\,{x^2} +
\frac{1}{50}\left(17 + 15\,x \right) \,\cos x +$  
    $\displaystyle +\frac{2}{5}\,\cos 2\,x - \frac{3}{25}\,\sin x + \frac{1}{10}\,x\,\sin x.$  

Slika 1.29: Rješenje sustava uz navedeni početni uvjet.
% latex2html id marker 8170
\includegraphics{m3prsustdifdijag.eps}

No postoje matrice koje se ne mogu dijagonalizirati. Najjednostavniji oblik na koji se proizvoljna matrica može svesti je Jordanova forma. U slučaju međusobno različitih vlastitih vrijednosti Jordanova forma je dijagonalna matrica s vlastitim vrijednostima na glavnoj dijagonali, dok u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti, na pr. trostruke vlastite vrijednosti $ \lambda,$ Jordanova forma matrice trećeg reda je jedna od sljedeće tri matrice

% latex2html id marker 33414
$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}
\lambda & ...
...
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right].$

Detaljnije o Jordanovoj formi u [4].


next up previous contents index
Next: Rubni problemi Up: Metode rješavanja Previous: Eulerova metoda   Sadržaj   Indeks
2001-10-26