Konformno preslikavanje i primjene

Konformno preslikavanje

Neka je $D$ područje u $C,$ neka je $f:D\rightarrow C$ analitička funkcija, neka je $z_0\in D$ i neka je $f'(z_0)\neq 0.$ Budući da je analitička, funkcija $f$ ima derivacije bilo kojeg reda. To znači da za proizvoljan $z\in D$ postoji $\zeta{}\in D,$ koji se nalazi na spojnici točaka $z_0$ i $z$ tako da vrijedi

$$f(z) = f(z_0) + f'(z_0)\,(z-z_0) + \frac{f''(\zeta)}{2}\,(z-z_0)^2.$$ (7.5)

Za $z\approx z_0$ je $(z-z_0)^2=\vert z-z_0\vert^2$ vrlo maleno, pa član $\frac{f''(\zeta)}{2}\,(z-z_0)^2$ vrlo malo utječe na ponašanje funkcije $f$ (kvadrat malenog pozitivnog broja je puno manji od samog broja). Zaključujemo da se funkcija $f$ lokalno u točki $z_0$ ponaša kao funkcija

$$h(z) = f(z_0) + f'(z_0)\,(z-z_0).$$

Preslikavanje $h$ je složeno od translacije za $-z_0$ i preslikavanja opisanog u primjeru 7.2. Ovo posljednje je kompozicija homotetije (rotacije za kut ${\rm Arg\,}f'(z_0)$ i rastezanja ili stezanja za faktor $\vert f'(z_0)\vert$), i translacije za $f(z_0).$ Prema tome to preslikavanje čuva kuteve, i kružnice oko $z_0$ preslikava u kružnice oko $f(z_0),$ s tim da se radius može pri tom povećati ili smanjiti. Preslikavanje, koje lokalno ima ta svojstva u svakoj točki nekog područja $D$ u kompleksnoj ravnini, zove se konformno preslikavanje.

Dakle, ako je $f$ analitička funkcija na području $D$ u kompleksnoj ravnini, i $f'(z)\neq 0$ za svaki $z\in D,$ onda je funkcijom $f$ definirano konformno preslikavanje područja $D$ u $z$-ravnini u njegovu $f$-sliku, područje $f(D)$ u $w$-ravnini. Vrijedi i obrat. Ako je preslikavanje područja $D$ u $z$-ravnini u područje $D^{\ast}$ u $w$-ravnini konformno, onda postoji analitička funkcija $f$ na $D$ takva da je $f'(z_0)\neq 0$ i da preslikava $D$ na $D^{\ast}.$

Osnovni problem se sastoji u tome da se za zadana područja $D$ i $D^{\ast}$ nađe funkcija koja ostvaruje konformno preslikavanje područja $D$ na područje $D^{\ast}.$

Teorem 40   (Riemann) Neka su $D$ i $D^{\ast}$ proizvoljna jednostruko povezana područja takva da im granice sadrže više od jedne točke, i neka su dani proizvoljni $z_0\in D,$ $w_0\in D^{\ast},$ i realan broj $\alpha_0.$

Slika 7.6: Konformno preslikavanje.

Tada postoji jedno i samo jedno konformno preslikavanje

$$f(z) = w$$

područja $D$ na područje $D^{\ast}$ takvo da je

$$f(z_0) = w_0,\qquad \arg f'(z_0) = \alpha_0.$$

Razlomljeno linearno preslikavanje

Funkcija zadana s kompleksnim brojevima $a,b,c,d$ formulom

$$w = f(z) = \frac{a\,z+b}{c\,z+d},$$   gdje je $$a\,d-b,c\neq{}0$$

se zove razlomljeno linearno preslikavanje, ili razlomljeno linearna funkcija.

Domena razlomljeno linearnog preslikavanja je $C\setminus{}\{-\frac{d}{c}\}.$ Derivacija je

$$f'(z) = \frac{a\,d-b\,c}{(c\,z+d)^2},$$

pa se vidi da uvjet na koeficijente $a,b,c,d$ osigurava konformnost razlomljeno linearnog preslikavanja.

Budući da se brojnik i nazivnik mogu podijeliti s onim od brojeva $a,b,c,d$ koji je različit od nule, vidimo da je razlomljeno linearno preslikavanje zadano s tri uvjeta. Tako zahtjev da određene tri točke $z$-ravnine budu preslikane u određene tri točke $w$-ravnine potpuno određuje razlomljeno linearno preslikavanje. Razlomljeno linearno preslikavanje je injekcija, tj. ne lijepi točke, i preslikava pravce i kružnice u pravce i kružnice.

Primjer 7.22   Odrediti ono razlomljeno linearno preslikavanje koje preslikava točke $z_1=0,z_2=1,z_3=i$ redom u točke $w_1=1,w_2=i,w_3=0.$

Slika 7.7: Linearno razlomljeno preslikavanje.

Rješenje. Iz uvjeta

$$\frac{a\,0+b}{c\,0+d} = 1,\quad \frac{a\,1+b}{c\,1+d} = i,\quad \frac{a\,i+b}{c\,i+d} = 0$$

slijedi

$$b = -a\,i,\qquad c = -a,\qquad d = -a\,i.$$

Traženo preslikavanje je dakle

$$w = \frac{a\,z-a\,i}{-a\,z-a\,i} = \frac{-z+i}{z+i}.$$

Da bismo vidjeli u što se preslikava realna os, nađimo sliku još jedne, treće točke na realnoj osi. Za $z=-1$ imamo

$$\frac{1+i}{-1+i} = \frac{2\,i}{i^2-1} = -i.$$

Dakle, točke $-1,0,1$ se preslikavaju u $-i,1,i,$ pa slijedi da se realna os preslikava u jediničnu kružnicu. Osim toga $i$ se preslikava u $0,$ pa se prema tome gornja poluravnina preslikava u jedinični krug.

Primjene

Dirichletov problem

Neka je dano područje $D,$ i neka je dana neprekidna funkcija $h$ na rubu $\partial{}D$ područja $D.$ Treba naći funkciju $u$ harmonijsku na području $D,$ neprekidnu na rubu $\partial{}D$ takvu da je $\left. u\right\vert _{\partial{}D} = h,$ tj. treba riješiti problem

$$\Delta\,u(x,y) = f(x,y), \quad D$$

$$u(x,y) = h(x,y), \quad \partial{}D.$$

Kad se radi o jediničnom krugu kao području, Dirichletov problem rješava Poissonov integral. Ako je $u(e^{it})$ neprekidna funkcija na jediničnoj kružnici, onda je funkcija

$$u(r\,e^{i\varphi}) = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{0}^{2\,\pi} u(e^{it})\,\frac{1-r^2}{1-2r\,\cos(t-\varphi)+r^2}\,dt$$

harmonijska u unutrašnjosti jediničnog kruga, neprekidna na jediničnoj kružnici, i prima vrijednosti $u(e^{it})$ na njoj.

Neka je $D$ proizvoljno jednostruko povezano područje čiji rub sadrži više od jedne točke, i neka je na njegovom rubu $\partial{}D$ zadana neprekidna funkcija $h.$ Prema Riemannovom teoremu postoji konformno preslikavanje $f$ sa $D$ na jedinični krug. Funkcija $f$ preslikava $h$ u funkciju $f\,{\scriptstyle\circ} h$ neprekidnu na jediničnoj kružnici. Ako sada primijenimo Poissonov integral na funkciju $f\,{\scriptstyle\circ} h=u(e^{it}),$ dobit ćemo harmonijsku funkciju $u$ u jediničnom krugu, koja se na jediničnoj kružnici poklapa s $f\,{\scriptstyle\circ} h.$ Kompozicija

$$\tilde{u}(z) = u(f(z))$$

je harmonijska funkcija na $D$ takva da se na rubu $\partial{}D$ od $D$ poklapa s $h,$ dakle rješenje Dirichletovog problema za područje $D.$

Ravninsko gibanje idealnog fluida

Razmotrimo stacionarno, bezvrtložno, ravninsko gibanje nestlačivog fluida u jednostruko povezanom području $D.$ Jednadžba kontinuiteta

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+ {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}) = 0$$

u tom slučaju glasi

$${\rm div\,}\vec{v} = 0.$$

Bezvrtložnost se izražava jednadžbom

$${\rm rot\,}\vec{v} = \vec{0}.$$

Pretpostavimo da je polje brzina

$$\vec{v}(x,y)=v_1(x,y)\,\vec{\imath}+v_2(x,y)\,\vec{\jmath}.$$

Tada gornje jednadžbe daju

$$\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y} = 0 \hspace{.5cm}\Rightarrow\hspace{.5cm}\frac{\partial v_1}{\partial x}=- \frac{\partial v_2}{\partial y},$$

$$\frac{\partial v_1}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial x} = 0 \hspace{.5cm}\Rightarrow\hspace{.5cm}\frac{\partial v_1}{\partial y}= \frac{\partial v_2}{\partial x}.$$

To su Cauchy-Riemannove jednadžbe za funkcije $v_1$ i $-v_2$. Slijedi da je

$$g(z)=v_1(x,y)-i\,v_2(x,y),\hspace{1cm}z=x+i\,y,$$

analitička funkcija. Funkcija $g$ se zove kompleksna brzina.

Osim toga ${\rm rot\,}\vec{v} = \vec{0}$ na $D$ znači da je vektorsko polje brzina potencijalno, tj. da postoji skalarno polje (potencijal brzine) $\varphi$ na $D,$ takvo da je

$$\vec{v} =$$   grad$$\,\varphi .$$

Odatle

$${\rm div\,}\vec{v} ={\rm div\,}$$grad$$\,\varphi = \Delta\,\varphi=0.$$

Tako je $\varphi$ harmonijska funkcija na $D.$ Neka je $\psi$ konjugirana harmonijska funkcija. Tada je

$$w=\varphi +i\,\psi$$

analitička funkcija. Ona se zove kompleksni potencijal. Funkcija $\psi$ ima svojstvo da je konstantna na strujnicama (linijama toka) fluida. Zato se zove funkcija toka. Kad nju znamo, onda nam njezine nivokrivulje daju strujnice. S druge strane, nivokrivulje funkcije $\varphi$ nam daju linije istog potencijala brzine. I jedna i druga funkcija se pojavljuju kao rješenja Laplaceove jednadžbe.

Ravninski problem teorije elastičnosti

U teoriji elastičnosti prilikom analize deformacija čvrstog tijela u ravnini, dolazi se do Maxwellove jednadžbe

$$\Delta\Delta\,U(x,y)=\frac{\partial^4U(x,y)}{\partial x^4}+ 2\,\f... ...al^4U(x,y)}{\partial x^2\partial y^2}+ \frac{\partial^4U(x,y)}{\partial y^4}=0.$$

Pomoću funkcije $U$ se mogu dobro opisati naprezanja kojima je podvrgnuto tijelo i njegovi pomaci. Funkcije, koje rješavaju Maxwellovu jednadžbu, se zovu biharmonijske funkcije. Važnost funkcija kompleksne varijable u rješavanju problema elastičnosti ogleda se u činjenici da se i biharmonijske funkcije mogu opisati pomoću analitičkih funkcija.

Neka je $U$ proizvoljna biharmonijska funkcija. Tada je $\Delta U$ harmonijska, pa postoji analitička funkcija $f$ takva da je

$$f(z)=\Delta\,U(x,y)+i\,Q(x,y).$$

Umjesto funkcije $f$ pogodnije je promatrati četvrtinu njezine primitivne.

$$\varphi (z)=\frac{1}{4}\int f(z)\,dz=p+i\,q.$$

Funkcija $\varphi$ je također analitička, pa su $p$ i $q$ harmonijske. Pri tom je

$$\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial q}{\partial y}= \fra... ... \frac{\partial p}{\partial y}= -\frac{\partial q}{\partial x}=-\frac{1}{4}\,Q.$$

Iz ovih formula slijedi

$$\Delta(p\,x)=\Delta(q\,y)= \frac{1}{2}\Delta U.$$

Tako je funkcija

$$p_1=U-p\,x-q\,y$$

harmonijska, jer je

$$\Delta p_1=\Delta U-\Delta(p\,x)- \Delta(q\,y)=0.$$

Označimo s $\chi$ analitičku funkciju, čiji je realni dio funkcija $p_1.$ Tada je

$$U=$$Re$$\,[\bar{z}\,\varphi (z)+\chi(z)]= \frac{1}{2}(\bar{z}\,\varphi (z)+z\,\overline{\varphi (z)}+\chi(z)+ \overline{\chi(z)}).$$

Tako smo funkciju $U$ prikazali pomoću dvije analitičke funkcije $\varphi$ i $\chi.$

Pitanja

1.

Koje karakteristike treba imati preslikavanje $z$-ravnine u $w$-ravninu, da bude konformno?

2.

Kada funkcija kompleksne varijable ostvaruje konformno preslikavanje?

3.

Kako glasi Riemannov teorem o konformnom preslikavanju?

4.

Što je razlomljeno linearno preslikavanje, i koja su njegova svojstva?

5.

Izrecite Dirichletov problem.

6.

Na koji način se rješava Dirichletov problem za jedinični krug?

7.

Na koji način se rješava Dirichletov problem za proizvoljno jednostruko povezano područje čiji rub sadrži više od jedne točke?

8.

Kako glasi osnovna jednadžba stacionarnog, bezvrtložnog, ravninskog gibanja nestlačivog fluida?

9.

Objasnite pojmove kompleksna brzina, potencijal brzine, kompleksni potencijal, funkcija toka.

10.

Kako glasi Maxwellova jednadžba?

11.

Što su to biharmonijske funkcije?

12.

Kako se biharmonijska funkcija može opisati pomoću analitičkih funkcija?

Riješeni zadaci

1.

Naći linearno razlomljeno preslikavanje, ako je

(a)

$w(0) = 0,\quad w(1+i) = \infty,\quad w(2i) = 2\,i,$

(b)

$w(i) = -2,\quad w(\infty) = 2\,i,\quad w(-i) = 2,$

i naći u što se preslikava poluravnina $Re\,z>0.$

Rješenje.

(a)

Koeficijente linearnog razlomljenog preslikavanja ćemo dobiti rješavajući jednadžbe

$$a\,0 + b = 0,\quad c\,(1+i) + d = 0,\quad \frac{a\,2\,i+b}{c\,2\,i+d} = 2\,i.$$

To su tri jednadžbe s četiri nepoznanice. Ako stavimo $a$ kao parametar, dobivamo

$$b = 0,\quad c = \left( -{\frac{1}{2}} - {\frac{i}{2}} \right) \,a,\quad d = i\,a,$$

pa je tako traženo preslikavanje

$$w(z) = \frac{a\,z}{\left( -{\frac{1}{2}} - {\frac{i}{2}} \right) \,a\,z + i\,a} = \frac{2\,z}{-(1+i)\,z+2\,i}.$$

Da bismo vidjeli u što se preslika poluravnina ${\rm Re}\,z,$ dovoljno je vidjeti u što se preslika rub poluravnine i jedna unutrašnja točka. Imamo

$$w(0) = 0,\quad w(2i) = 2\,i,\quad w(\infty) = -1+i,$$

pa se rub poluravnine preslikava u kružnicu sa središtem u $i$ i radiusom $1.$ Budući da se $1+i$ preslikava u $\infty,$ poluravnina ${\rm Re}\,z$ se preslikava u neograničeni dio ravnine određen ovom kružnicom kao rubom.

(b)

Jednadžbu iz drugog uvjeta ćemo dobiti tako da linearno razlomljeno preslikavanje prepišemo ovako

$$\frac{a\,z+b}{c\,z+d} = \frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}},$$

i zatim uzmemo limes kad $z\rightarrow{}\infty{}.$ Tako imamo jednadžbe

$$\frac{a\,i+b}{c\,i+d} = -2,\quad \frac{a}{c} = 2\,i,\quad \frac{a\,(-i)+b}{c\,(-i)+d} = 2.$$

Rješavajući ove jednadžbe uz parametar $a$ dobivamo

$$b = -a,\quad c = \frac{-i}{2}\,a,\quad d = \frac{-i}{2}\,a.$$

Tako je traženo preslikavanje

$$w(z) = \frac{a\,z-a}{\frac{-i}{2}\,a\,z+\frac{-i}{2}\,a} = \frac{2\,i\,(z-1)}{z+1}.$$

Iz zadanih točaka preslikavanja slijedi da se rub poluravnine preslikava u kružnicu sa središtem u ishodištu i radiusom $2.$ Kako je $w(1)=0,$ poluravnina se preslikava u ograničeni dio kompleksne ravnine omeđen ovom kružnicom.